Guide de résolution — Bac Polynésie J1 17 juin 2025

Partie A

On sait qu'en 2020, 17 % de la population des États-Unis habite en zone rurale et 83 % en zone urbaine.

Parmi les enfants vivant en zone rurale, 6,2 % sont atteints d'allergie alimentaire.

9 % des enfants des États-Unis sont atteints d'allergie alimentaire.

On interroge au hasard un enfant et on note :

\(R\) : « l'enfant interrogé habite en zone rurale » ;
\(A\) : « l'enfant interrogé est atteint d'allergie alimentaire ».

Sauf mention contraire, les probabilités seront données sous forme exacte.

Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité. Cet arbre pourra être complété par la suite.
1. Calculer la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire.
2. En déduire la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire.
3. L'enfant interrogé habite en zone urbaine. Quelle est la probabilité qu'il soit atteint d'allergie alimentaire ? Arrondir le résultat à \(10^{-4}\).

Méthodes de cours

Traduire les données en probabilités :

\(P(R) = 0{,}17\), \(P(\overline{R}) = 0{,}83\)
\(P_R(A) = 0{,}062\) (6,2 % des ruraux atteints), donc \(P_R(\overline{A}) = 0{,}938\)
\(P(A) = 0{,}09\) est donné globalement

Les probabilités sur les branches de \(\overline{R}\) vers \(A\) et \(\overline{A}\) sont à déterminer par le calcul (questions 2b et 2c).

La probabilité d'une feuille = produit des probabilités sur le chemin :

\[P(R \cap A) = P(R) \times P_R(A)\]

\(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l'univers. Par la formule des probabilités totales :

\[P(A) = P(R \cap A) + P(\overline{R} \cap A)\]

On connaît \(P(A) = 0{,}09\) et \(P(R \cap A)\) calculé en 2a, donc :

\[P(\overline{R} \cap A) = P(A) - P(R \cap A)\]

La probabilité cherchée est conditionnelle :

\[P_{\overline{R}}(A) = \dfrac{P(\overline{R} \cap A)}{P(\overline{R})}\]

💡 Il faut arrondir le résultat à \(10^{-4}\) comme demandé. La valeur exacte \(\dfrac{3973}{41500}\) peut être conservée dans les calculs intermédiaires.

Avions Alpha et Bêta — Géométrie dans l'espace

Deux avions sont en approche d'un aéroport. On munit l'espace d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)\) dont l'origine O est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan \(P_0\) d'équation \(z = 0\). L'unité des axes correspond à 1 km.

L'avion Alpha est en A\((-7~;~1~;~7)\) et sa trajectoire est dirigée par \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}\).

L'avion Bêta a une trajectoire définie par la droite \(d_{\mathrm{B}}\) :

\[\left\{\begin{array}{lcl}x &=& -11 + 5t \\ y &=& -5 + t \\ z &=& 11 - 4t\end{array}\right.,\quad t \in \mathbb{R}\]

S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point S en lequel l'avion Bêta touchera le sol.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d_{\mathrm{A}}\) caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha.
2. Les deux avions peuvent-ils entrer en collision ?
1. Démontrer que l'avion Alpha passe par la position E\((-3~;~-1~;~1)\).
2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan \(P_{\mathrm{E}}\) passant par E et perpendiculaire à la droite \(d_{\mathrm{A}}\) est : \(2x - y - 3z + 8 = 0\).
3. Vérifier que le point F\((-1~;~-3~;~3)\) est le point d'intersection du plan \(P_{\mathrm{E}}\) et de la droite \(d_{\mathrm{B}}\).
4. Calculer la valeur exacte de la distance EF, puis vérifier que cela correspond à une distance de 3 464 m, à 1 m près.
La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut 1 852 m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en E et F au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée ?

Méthodes de cours

Le sol a pour équation \(z = 0\). Résoudre \(z = 0\) dans la représentation paramétrique de \(d_{\mathrm{B}}\) : \(11 - 4t = 0 \Rightarrow t = \ldots\)

Reporter dans les deux autres équations pour obtenir les coordonnées de S.

Droite passant par A\((-7;1;7)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;-3)\) :

\[\left\{\begin{array}{l}x = -7 + 2s \\ y = 1 - s \\ z = 7 - 3s\end{array}\right.,\quad s \in \mathbb{R}\]

Les avions entrent en collision si les droites \(d_{\mathrm{A}}\) et \(d_{\mathrm{B}}\) se croisent au même paramètre temporel. Résoudre le système à 3 équations en \((s, t)\). Si le système est incompatible, pas de collision.

Le vecteur directeur de \(d_{\mathrm{A}}\) est un vecteur normal au plan \(P_{\mathrm{E}}\).

Équation de la forme \(2x - y - 3z + d = 0\). Substituer les coordonnées de E pour trouver \(d\).

\[\mathrm{EF} = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2 + (z_F-z_E)^2}\]

Exprimer en km, puis convertir en m (×1000) pour comparer à 3 464 m.

Convertir EF en milles nautiques : diviser la distance en mètres par 1 852.

Comparer à la limite réglementaire de 3 milles nautiques.

Partie A — Étude des fonctions \(f_n\) pour \(n \geqslant 1\)

Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \([0~;~+\infty[\) par :

\[f_0(x) = \mathrm{e}^{-x} \qquad \text{et, pour } n \geqslant 1,\quad f_n(x) = x^n\mathrm{e}^{-x}\]

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathcal{C}_n\) la courbe représentative de \(f_n\).

On considère un entier naturel \(n \geqslant 1\).

1. On admet que la fonction \(f_n\) est dérivable sur \([0~;~+\infty[\). Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\) : \[f'_n(x) = (n - x)\,x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}\]
2. Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous :

Tableau de variations de \(f_n\) sur \([0~;~+\infty[\)

Justifier par le calcul que le point A\!\left(1~;~\mathrm{e}^{-1}\right) appartient à la courbe \(\mathcal{C}_n\).

Méthodes de cours

\(f_n = u \cdot v\) avec \(u(x) = x^n\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{-x}\) :

\(u'(x) = nx^{n-1}\)
\(v'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\)

\(f_n'(x) = nx^{n-1}\mathrm{e}^{-x} + x^n(-\mathrm{e}^{-x}) = (nx^{n-1} - x^n)\mathrm{e}^{-x}\)

Factoriser par \(x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}\) : \(f_n'(x) = (n-x)x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}\).

Sur \([0~;~+\infty[\) : \(\mathrm{e}^{-x} > 0\) et \(x^{n-1} \geqslant 0\), donc le signe de \(f_n'(x)\) est celui de \((n - x)\) :

\(n - x > 0 \iff x < n\) → \(f_n' > 0\) : croissance
\(f_n'(n) = 0\) : maximum en \(x = n\)
\(n - x < 0 \iff x > n\) → \(f_n' < 0\) : décroissance

Valeur en \(x = n\) : \(f_n(n) = n^n \mathrm{e}^{-n} = \left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\).

Limite en \(+\infty\) : croissances comparées → \(\lim_{x\to+\infty} x^n\mathrm{e}^{-x} = 0\).

Pour tout \(n \geqslant 1\) : \(f_n(1) = 1^n \cdot \mathrm{e}^{-1} = \mathrm{e}^{-1}\).

Donc le point A\(\left(1 ; \mathrm{e}^{-1}\right)\) appartient à \(\mathcal{C}_n\) pour tout \(n \geqslant 1\).

💡 Toutes les courbes \(\mathcal{C}_n\) (pour \(n \geqslant 1\)) passent par le même point A visible sur le graphique en annexe.

Partie B — Intégrales \(I_n\) et convergence

On considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[I_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\]

ANNEXE — Courbes \(\mathcal{C}_0\), \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_{10}\) et \(\mathcal{C}_{100}\) sur \([0~;~1]\)

Sur le graphique en ANNEXE, on a représenté les courbes \(\mathcal{C}_0,\,\mathcal{C}_1,\,\mathcal{C}_2,\,\mathcal{C}_{10}\) et \(\mathcal{C}_{100}\).
1. Donner une interprétation graphique de \(I_n\).
2. Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite \((I_n)\) ?
Calculer \(I_0\).
1. Soit \(n\) un entier naturel. Démontrer que pour tout \(x \in [0~;~1]\) : \(0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\).
2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) : \(0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n\).
Démontrer que la suite \((I_n)\) est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera \(\ell\).
En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \[I_{n+1} = (n+1)\,I_n - \dfrac{1}{\mathrm{e}}\]
1. Démontrer que si \(\ell > 0\), l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.
2. Démontrer que \(\ell = 0\). On pourra utiliser la question 6a.
Que renvoie mystere(100) dans le contexte de l'exercice ?
def mystere(n): I = 1 - 1/e L = [I] for i in range(n): I = (i + 1)*I - 1/e L.append(I) return L

Méthodes de cours

\(I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x\) représente l'aire de la surface délimitée par la courbe \(\mathcal{C}_n\), l'axe des abscisses et les droites \(x = 0\) et \(x = 1\) (les \(f_n\) étant positives sur \([0;1]\)).

Graphiquement, les surfaces s'emboîtent et semblent tendre vers 0.

\(I_0 = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1 = -\mathrm{e}^{-1} + 1 = 1 - \mathrm{e}^{-1}\)

Sur \([0;1]\) : \(0 \leqslant x \leqslant 1\). Multiplier par \(x^n \geqslant 0\) donne \(0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\).

Multiplier par \(\mathrm{e}^{-x} > 0\) : \(0 \leqslant f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x)\).

Par positivité et croissance de l'intégrale : \(0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_n\).

De la question 3 :

\(I_{n+1} \leqslant I_n\) → suite décroissante
\(I_n \geqslant 0\) → suite minorée par 0

Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Poser \(u(x) = x^{n+1}\) et \(v'(x) = \mathrm{e}^{-x}\), d'où \(u'(x) = (n+1)x^n\) et \(v(x) = -\mathrm{e}^{-x}\).

\(\displaystyle I_{n+1} = \Big[-x^{n+1}\mathrm{e}^{-x}\Big]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^n\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = -\mathrm{e}^{-1} + (n+1)I_n\)

Si \(\ell > 0\) : passer à la limite dans \(I_{n+1} = (n+1)I_n - 1/\mathrm{e}\).

Le membre droit : \((n+1)I_n \to +\infty\) (car \(\ell > 0\) et \(n+1 \to +\infty\)). Donc \(I_{n+1} \to +\infty\).

Contradiction : la suite converge vers \(\ell\) (fini). Donc \(\ell > 0\) est impossible, i.e. \(\ell \leqslant 0\). Combiné avec \(\ell \geqslant 0\) → \(\ell = 0\).

La variable I est initialisée à \(I_0 = 1 - 1/\mathrm{e}\). À chaque itération (i de 0 à \(n-1\)), on applique la relation \(I \leftarrow (i+1)I - 1/\mathrm{e}\), ce qui calcule successivement \(I_1, I_2, \ldots, I_n\). Chaque valeur est ajoutée à la liste \(L\).

mystere(100) renvoie donc la liste des 101 valeurs \([I_0, I_1, \ldots, I_{100}]\).

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Affirmation 1 — Équation différentielle

On considère l'équation différentielle :

\[(E)\quad y' = \dfrac{1}{2}y + 4\]

Affirmation 1 : Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(f\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = k\,\mathrm{e}^{\frac{1}{2}x} - 8, \quad k \in \mathbb{R}\]

Méthodes de cours

L'équation \(y' = ay + b\) (avec \(a \neq 0\)) a pour solutions les fonctions :

\[x \mapsto k\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}, \quad k \in \mathbb{R}\]

Ici : \(a = \dfrac{1}{2}\), \(b = 4\). La solution constante particulière est \(y_p = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{1/2} = -8\).

💡 Vérifier : si \(f(x) = k\mathrm{e}^{x/2} - 8\), alors \(f'(x) = \frac{k}{2}\mathrm{e}^{x/2}\) et \(\frac{1}{2}f(x) + 4 = \frac{k}{2}\mathrm{e}^{x/2} - 4 + 4 = \frac{k}{2}\mathrm{e}^{x/2}\). ✓

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter le corrigé.

Bac Polynésie
17 juin 2025 — Sujet 1

Partie A

Méthodes de cours

Partie B

Méthodes de cours

Partie C

Méthodes de cours

Avions Alpha et Bêta — Géométrie dans l'espace

Méthodes de cours

Partie A — Étude des fonctions \(f_n\) pour \(n \geqslant 1\)

Méthodes de cours

Partie B — Intégrales \(I_n\) et convergence

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Équation différentielle

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Dénombrement

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Suite \((v_n)\)

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Produit scalaire et angle

Méthodes de cours

Affirmation 5 — Convexité

Méthodes de cours

Bac Polynésie17 juin 2025 — Sujet 1

Partie A

Méthodes de cours

Partie B

Méthodes de cours

Partie C

Méthodes de cours

Avions Alpha et Bêta — Géométrie dans l'espace

Méthodes de cours

Partie A — Étude des fonctions \(f_n\) pour \(n \geqslant 1\)

Méthodes de cours

Partie B — Intégrales \(I_n\) et convergence

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Équation différentielle

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Dénombrement

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Suite \((v_n)\)

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Produit scalaire et angle

Méthodes de cours

Affirmation 5 — Convexité

Méthodes de cours

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