Guide de résolution — Bac Métropole J2 10 sept. 2025

Partie A — Premier modèle

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à \(0{,}4\) ;
la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.

On note \(X\) la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
1. Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
2. Calculer \(P(X \leqslant 2)\). Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
Calculer \(E(X)\). Interpréter ce résultat.

Méthodes de cours

Une variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) quand on répète \(n\) fois une épreuve de Bernoulli de façon indépendante.

Les 4 conditions à vérifier :

Nombre fixé \(n\) d'épreuves identiques
Épreuves indépendantes
Deux issues à chaque épreuve : succès (prob. \(p\)) ou échec
\(X\) compte le nombre de succès

Ici : identifier \(n\), le succès et \(p\) à partir de l'énoncé.

💡 Les conditions sont explicitement données dans l'énoncé : les justifier une par une dans la rédaction.

Formule binomiale : \(P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}\)

Probabilité cumulative : \(P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\)

Sur calculatrice : fonction de répartition de la loi binomiale (binomcdf).

💡 Pour interpréter \(P(X \leqslant 2)\), rédiger en français avec les mots du contexte : « la probabilité que le phénomène soit dominant au plus 2 années sur 10 est… »

Formule : \(E(X) = n \times p\)

L'espérance représente la valeur moyenne de \(X\) sur un grand nombre d'expériences.

💡 Interpréter dans le contexte : « en moyenne, sur une période de 10 ans, le phénomène est dominant … années ».

Partie B — Second modèle (chaîne de Markov)

Après une étude plus importante sur 50 ans, une autre modélisation apparaît :

si El Niño est dominant une année, la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est \(0{,}5\) ;
si El Niño n'est pas dominant une année, la probabilité qu'il le soit l'année suivante est \(0{,}3\).

On note, pour tout entier naturel \(n\) : \(E_n\) l'événement « El Niño est dominant l'année \(2023 + n\) » et \(p_n = P(E_n)\). En 2023, El Niño n'était pas dominant : \(p_0 = 0\).

Recopier et compléter l'arbre pondéré.

Justifier que \(p_1 = 0{,}3\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \(p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}3\).
1. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite \((p_n)\).
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) : \(p_n \leqslant \dfrac{3}{8}\).
3. Déterminer le sens de variation de la suite \((p_n)\).
4. En déduire la convergence de la suite \((p_n)\).
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = p_n - \dfrac{3}{8}\) pour tout entier naturel \(n\).
1. Montrer que \((u_n)\) est géométrique de raison \(0{,}2\) et préciser son premier terme.
2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) : \(p_n = \dfrac{3}{8}\!\left(1 - 0{,}2^n\right)\).
3. Calculer la limite de la suite \((p_n)\).
4. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Méthodes de cours

Les branches de l'arbre portent les probabilités conditionnelles :

De \(E_n\) vers \(E_{n+1}\) : \(P_{E_n}(E_{n+1}) = 0{,}5\), vers \(\overline{E_{n+1}}\) : \(0{,}5\)
De \(\overline{E_n}\) vers \(E_{n+1}\) : \(P_{\overline{E_n}}(E_{n+1}) = 0{,}3\), vers \(\overline{E_{n+1}}\) : \(0{,}7\)
La branche vers \(\overline{E_n}\) porte \(1 - p_n\)

💡 Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut 1.

\(E_n\) et \(\overline{E_n}\) forment une partition de l'univers. Par la formule des probabilités totales :

\[p_{n+1} = P(E_n)\cdot P_{E_n}(E_{n+1}) + P(\overline{E_n})\cdot P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})\]

Soit : \(p_{n+1} = p_n \times 0{,}5 + (1 - p_n) \times 0{,}3\). Développer et simplifier.

💡 Pour la Q2 (\(p_1 = 0{,}3\)), utiliser \(p_0 = 0\) : \(p_1 = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 = 0{,}3\).

Pour montrer \(p_n \leqslant \tfrac{3}{8}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

Initialisation : vérifier pour \(n = 0\) : \(p_0 = 0 \leqslant \tfrac{3}{8}\) ✓

Hérédité : supposer \(p_n \leqslant \tfrac{3}{8}\). Calculer \(p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}3\), multiplier l'hypothèse par \(0{,}2\) (positif → sens conservé), puis ajouter \(0{,}3\).

💡 Multiplier par \(0{,}2 > 0\) : \(0{,}2 \times \tfrac{3}{8} = \tfrac{3}{40} = 0{,}075\). Puis \(0{,}075 + 0{,}3 = 0{,}375 = \tfrac{3}{8}\).

Calculer \(p_{n+1} - p_n\) à partir de la relation de récurrence :

\(p_{n+1} - p_n = (0{,}2\,p_n + 0{,}3) - p_n = -0{,}8\,p_n + 0{,}3\)

Comme \(p_n \geqslant 0\) (c'est une probabilité) et \(p_n \leqslant \tfrac{3}{8}\), encadrer \(-0{,}8\,p_n + 0{,}3\) pour en déterminer le signe.

Le changement de variable \(u_n = p_n - L\) (où \(L\) est le point fixe de la relation \(L = 0{,}2L + 0{,}3\)) linéarise la suite.

Résoudre \(L = 0{,}2L + 0{,}3\) pour trouver \(L = \tfrac{3}{8}\).

Calculer \(u_{n+1} = p_{n+1} - \tfrac{3}{8}\), substituer la relation de récurrence de \((p_n)\), factoriser pour faire apparaître \(u_n = p_n - \tfrac{3}{8}\).

💡 On obtient \(u_{n+1} = 0{,}2\,u_n\) : suite géométrique de raison \(0{,}2\) et de premier terme \(u_0 = p_0 - \tfrac{3}{8} = -\tfrac{3}{8}\).

Terme général : \(u_n = u_0 \times q^n\), donc \(p_n = u_n + \tfrac{3}{8}\).

Limite : si \(|q| < 1\) (ici \(q = 0{,}2\)), alors \(\lim_{n\to+\infty} q^n = 0\), donc \(\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\) et \(\lim_{n\to+\infty} p_n = \tfrac{3}{8}\).

💡 \(\tfrac{3}{8} = 0{,}375\) : à long terme, la probabilité annuelle qu'El Niño soit dominant tend vers \(37{,}5\,\%\), indépendamment de la condition initiale.

Affirmation 1 — Groupes de quatre élèves

Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.

Affirmation 1 : Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.

Méthodes de cours

Quand l'ordre ne compte pas (un groupe, pas une liste ordonnée), on utilise les combinaisons :

\[\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

Pour choisir 2 filles parmi 14 et 2 garçons parmi 10, on utilise le principe multiplicatif :

\(\binom{14}{2} \times \binom{10}{2}\)

L'affirmation dit qu'il est possible de constituer 272 groupes, non pas que c'est le nombre maximum.

La question est donc : le nombre total de groupes possibles est-il supérieur ou égal à 272 ?

💡 Calculer \(\binom{14}{2}\) et \(\binom{10}{2}\), puis leur produit. Comparer avec 272 pour conclure.

Partie A — Étude du signe de \(f\)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;~8]\) par

\[f(x) = \dfrac{10\ln(-x^2 + 7x + 9)}{x}\]

Soit \(C_f\) la représentation graphique de \(f\) dans un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0\).
En déduire que pour tout \(x \in ]0~;~8]\), on a \(f(x) \geqslant 0\).
Interpréter graphiquement ce résultat.

Méthodes de cours

Pour \(-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0\), rechercher les racines de \(-x^2 + 7x + 8 = 0\).

Factorisation : \(-x^2 + 7x + 8 = -(x^2 - 7x - 8) = -(x-8)(x+1)\)

Racines : \(x = 8\) et \(x = -1\).

Le coefficient de \(x^2\) est \(-1 < 0\) → le trinôme est positif entre ses racines.

💡 Solution : \(x \in [-1~;~8]\). Pour tout \(x \in ]0~;~8]\), l'inégalité est donc vérifiée.

Sur \(]0~;~8]\), on a montré \(-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0\). En ajoutant 1 à chaque membre :

\(-x^2 + 7x + 9 \geqslant 1\)

Comme \(\ln\) est croissante et \(\ln(1) = 0\) : \(\ln(-x^2 + 7x + 9) \geqslant 0\).

De plus sur \(]0~;~8]\), \(x > 0\). Donc \(f(x) = \dfrac{10 \times (\geqslant 0)}{(> 0)} \geqslant 0\).

\(f(x) \geqslant 0\) pour tout \(x \in ]0~;~8]\) signifie que la courbe \(C_f\) est au-dessus de l'axe des abscisses (ou sur cet axe) sur tout l'intervalle \(]0~;~8]\).

Partie B — Aire du rectangle ONMP

La courbe \(C_f\) est représentée dans un repère. Soit \(M\) le point de \(C_f\) d'abscisse \(x \in ]0~;~8]\). On appelle \(N\) et \(P\) les projetés orthogonaux de \(M\) respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. On s'intéresse à l'aire \(\mathcal{A}(x)\) du rectangle ONMP.

Donner les coordonnées des points \(N\) et \(P\) en fonction de \(x\).
Montrer que pour tout \(x \in ]0~;~8]\) : \[\mathcal{A}(x) = 10\ln(-x^2 + 7x + 9)\]
Existe-t-il une position du point \(M\) pour laquelle l'aire du rectangle ONMP est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.

Méthodes de cours

Si \(M(x_0 ; y_0)\) est un point du repère :

\(N\), projeté sur l'axe des abscisses : \(N(x_0 ; 0)\)
\(P\), projeté sur l'axe des ordonnées : \(P(0 ; y_0)\)

Ici \(M\left(x ; f(x)\right)\), donc \(N(x ; 0)\) et \(P\!\left(0 ; f(x)\right)\).

L'aire du rectangle ONMP vaut \(\mathrm{ON} \times \mathrm{OP}\) car les côtés sont orthogonaux.

\(\mathrm{ON} = x\) (abscisse de N) et \(\mathrm{OP} = f(x)\) (ordonnée de P, positive d'après la partie A).

Donc \(\mathcal{A}(x) = x \times f(x) = x \times \dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x}\). Simplifier.

\(\mathcal{A}(x) = 10\ln(-x^2+7x+9)\) est une composition \(10\ln(u(x))\) avec \(u(x) = -x^2+7x+9\).

Dérivée : \(\mathcal{A}'(x) = 10 \times \dfrac{u'(x)}{u(x)} = 10 \times \dfrac{-2x+7}{-x^2+7x+9}\)

Sur \(]0~;~8[\), \(u(x) > 0\) donc le signe de \(\mathcal{A}'(x)\) est celui de \(-2x + 7\).

💡 Annulation en \(x = 7/2\). Vérifier que c'est bien un maximum (signe de \(\mathcal{A}'\) : \(+\) avant, \(-\) après).

Partie C — Algorithme Python

On considère un réel strictement positif \(k\). On souhaite déterminer la plus petite valeur de \(x\), approchée au dixième, appartenant à \([3{,}5~;~8]\) pour laquelle l'aire \(\mathcal{A}(x)\) devient inférieure ou égale à \(k\). En Python, \(\ln(x)\) s'écrit log(x).

from math import *

def A(x) :
  return 10*log(-1* x**2 + 7*x + 9)
  
def pluspetitevaleur(k) :
  x = 3.5
  while A(x) .......... :
    x = x + 0.1
  return ...

Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l'algorithme.
Quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?
Que se passe-t-il lorsque \(k = 35\) ? Justifier.

Méthodes de cours

La boucle while condition: s'exécute tant que la condition est vraie.

On veut parcourir \(x\) depuis \(3{,}5\) en incrémentant de \(0{,}1\), tant que \(\mathcal{A}(x) > k\) (c'est-à-dire tant qu'on n'a pas atteint la valeur cible).

La boucle s'arrête dès que \(\mathcal{A}(x) \leqslant k\), et on retourne ce \(x\).

💡 Condition à compléter ligne 8 : A(x) > k. Valeur retournée ligne 10 : x.

Pour pluspetitevaleur(30) : chercher le premier \(x \in \{3{,}5;\, 3{,}6;\, \ldots\}\) tel que \(\mathcal{A}(x) \leqslant 30\). Utiliser le maximum de \(\mathcal{A}\) (trouvé en partie B, valeur en \(x = 3{,}5\)).

Pour \(k = 35\) : vérifier si la condition initiale \(\mathcal{A}(3{,}5) > 35\) est vraie ou fausse. Si fausse, la boucle ne s'exécute pas et la fonction retourne immédiatement \(3{,}5\).

💡 Le maximum de \(\mathcal{A}\) est atteint en \(x = 7/2 = 3{,}5\). Calculer \(\mathcal{A}(3{,}5) = 10\ln\!\left(-\tfrac{49}{4} + \tfrac{49}{2} + 9\right) = 10\ln\!\left(\tfrac{85}{4}\right) \approx 30{,}6\). Donc \(\mathcal{A}(3{,}5) < 35\).

Questions 1 et 2 — Non-coplanarité et plan médiateur de [AB]

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)\). On considère les points :

A\((4~;~-1~;~3)\), B\((-1~;~1~;~-2)\), C\((0~;~4~;~5)\) et D\((-3~;~-4~;~6)\).

1. Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.
On admet qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : \(29x + 30y - 17z = 35\).
1. Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Justifier.
Soit \(P_1\) le plan médiateur du segment \([\mathrm{AB}]\).
1. Déterminer les coordonnées du milieu du segment \([\mathrm{AB}]\).
2. En déduire qu'une équation cartésienne de \(P_1\) est : \(5x - 2y + 5z = 10\).

Méthodes de cours

A, B, C sont non alignés si et seulement si \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) sont non colinéaires.

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Calculer \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\), puis vérifier si les ratios \(\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} = \dfrac{z_1}{z_2}\) sont tous égaux.

Un point de coordonnées \((x_0 ; y_0 ; z_0)\) appartient au plan d'équation \(ax + by + cz = d\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation :

\[a\,x_0 + b\,y_0 + c\,z_0 = d\]

Substituer les coordonnées de D et vérifier si l'égalité est satisfaite.

Le plan médiateur de [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et de B. Il :

Passe par le milieu I de [AB]
Est orthogonal à \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), donc \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) est un vecteur normal au plan

Milieu de [AB] : \(I = \left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\,\dfrac{y_A+y_B}{2};\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\)

Équation du plan : \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IM}} = 0\), où M\((x;y;z)\).

💡 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (-5;2;-5)\) est le vecteur normal. Écrire \(-5(x-x_I)+2(y-y_I)-5(z-z_I)=0\), puis substituer les coordonnées de I.

Questions 3 et 4 — Plan médiateur de [CD] et droite \(\Delta\)

On note \(P_2\) le plan médiateur du segment \([\mathrm{CD}]\).
1. Soit M un point du plan \(P_2\) de coordonnées \((x~;~y~;~z)\). Exprimer \(\mathrm{MC}^2\) et \(\mathrm{MD}^2\) en fonction des coordonnées de M. En déduire qu'une équation cartésienne du plan \(P_2\) est : \(-3x - 8y + z = 10\).
2. Justifier que les plans \(P_1\) et \(P_2\) sont sécants.
Soit \(\Delta\) la droite dont une représentation paramétrique est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& -2 - 1{,}9\,t \\ y &=& t \\ z &=& 4 + 2{,}3\,t \end{array}\right.\quad t \in \mathbb{R}\] Démontrer que \(\Delta\) est la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\).

Méthodes de cours

M appartient au plan médiateur de [CD] \(\iff\) MC = MD \(\iff\) \(\mathrm{MC}^2 = \mathrm{MD}^2\).

Développer chaque distance au carré, soustraire, et simplifier pour obtenir l'équation du plan.

Les termes \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) se simplifient lors de la soustraction \(\mathrm{MC}^2 - \mathrm{MD}^2 = 0\).

💡 Méthode systématique : \(\mathrm{MC}^2 = (x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 + (z-z_C)^2\). Développer complètement avant de soustraire.

Deux plans sont sécants si et seulement si leurs vecteurs normaux sont non colinéaires.

Lire les vecteurs normaux dans les équations cartésiennes :

\(P_1 : 5x - 2y + 5z = 10\) → \(\vec{n_1}(5 ; -2 ; 5)\)
\(P_2 : -3x - 8y + z = 10\) → \(\vec{n_2}(-3 ; -8 ; 1)\)

Vérifier que ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Pour montrer que \(\Delta\) est la droite d'intersection de \(P_1\) et \(P_2\) :

Montrer que tout point de \(\Delta\) appartient à \(P_1\) : substituer la représentation paramétrique dans l'équation de \(P_1\) et vérifier l'égalité pour tout \(t\).
Même démarche pour \(P_2\).

💡 Substituer \(x = -2-1{,}9t\), \(y = t\), \(z = 4+2{,}3t\) dans \(5x - 2y + 5z\) et vérifier que l'on obtient \(10\) (identique en \(t\)).

Questions 5 et 6 — Trouver le point équidistant H

On note \(P_3\) le plan médiateur du segment \([\mathrm{AC}]\). On admet qu'une équation cartésienne de \(P_3\) est : \(8x - 10y - 4z = -15\).

Démontrer que la droite \(\Delta\) et le plan \(P_3\) sont sécants.
Justifier que le point d'intersection entre \(\Delta\) et \(P_3\) est le point H équidistant des quatre points A, B, C, D.

On rappelle que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.

Méthodes de cours

Une droite de vecteur directeur \(\vec{d}\) et un plan de vecteur normal \(\vec{n}\) sont sécants si et seulement si \(\vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0\).

(Si \(\vec{d} \cdot \vec{n} = 0\), la droite est parallèle au plan.)

Vecteur directeur de \(\Delta\) : lire dans la représentation paramétrique → \(\vec{d}(-1{,}9 ; 1 ; 2{,}3)\).

Vecteur normal de \(P_3\) : \(\vec{n_3}(8 ; -10 ; -4)\).

💡 Calculer le produit scalaire \(\vec{d}\cdot\vec{n_3}\). S'il est non nul, la droite et le plan sont bien sécants.

Le raisonnement repose sur les définitions des plans médiateurs :

H \(\in P_1\) (médiateur de [AB]) \(\implies\) HA = HB
H \(\in P_2\) (médiateur de [CD]) \(\implies\) HC = HD
H \(\in \Delta = P_1 \cap P_2\) \(\implies\) HA = HB et HC = HD
H \(\in P_3\) (médiateur de [AC]) \(\implies\) HA = HC

Par transitivité : HA = HB = HC = HD, donc H est équidistant des quatre points.

💡 L'unicité de H est garantie par le fait que A, B, C, D ne sont pas coplanaires (admis en question 1b).

Substituer la représentation paramétrique de \(\Delta\) dans l'équation de \(P_3\) :

\(8(-2-1{,}9t) - 10(t) - 4(4+2{,}3t) = -15\)

Résoudre en \(t\), puis reporter dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées de H.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Métropole
10 septembre 2025 — Sujet 2

Partie A — Premier modèle

Méthodes de cours

Partie B — Second modèle (chaîne de Markov)

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Groupes de quatre élèves

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Tangente à la courbe de \(f\)

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Primitive de \(f\)

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Solution d'une équation différentielle

Méthodes de cours

Affirmation 5 — Convexité des solutions

Méthodes de cours

Partie A — Étude du signe de \(f\)

Méthodes de cours

Partie B — Aire du rectangle ONMP

Méthodes de cours

Partie C — Algorithme Python

Méthodes de cours

Questions 1 et 2 — Non-coplanarité et plan médiateur de [AB]

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Plan médiateur de [CD] et droite \(\Delta\)

Méthodes de cours

Questions 5 et 6 — Trouver le point équidistant H

Méthodes de cours

Bac Métropole10 septembre 2025 — Sujet 2

Partie A — Premier modèle

Méthodes de cours

Partie B — Second modèle (chaîne de Markov)

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Groupes de quatre élèves

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Tangente à la courbe de \(f\)

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Primitive de \(f\)

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Méthodes de cours

Affirmation 5 — Convexité des solutions

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Questions 1 et 2 — Non-coplanarité et plan médiateur de [AB]

Méthodes de cours

Questions 3 et 4 — Plan médiateur de [CD] et droite \(\Delta\)

Méthodes de cours

Questions 5 et 6 — Trouver le point équidistant H

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10 septembre 2025 — Sujet 2