Guide de résolution — Bac Métropole J2 2025

Partie A — Questions 1 à 4

Dans cet exercice on s’intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours du week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

On choisit au hasard une personne ayant souscrit à la formule d'initiation au roller (deux séances). On note :

\(A\) : « la personne chute pendant la première séance » ;
\(B\) : « la personne chute pendant la deuxième séance ».

On admet que \(P(A) = 0{,}6\), \(P_A(B) = 0{,}3\) et \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4\).

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer \(P\!\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)\) et interpréter le résultat.
Montrer que \(P(B) = 0{,}34\).
La personne ne chute pas lors de la deuxième séance. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.

Méthodes de cours

Structure : deux premières branches A et \(\overline{A}\) avec leurs probabilités, puis deux branches B et \(\overline{B}\) pour chaque issue du premier niveau.

Branche A : probabilité \(P(A) = 0{,}6\) ; branche \(\overline{A}\) : probabilité \(1 - 0{,}6 = 0{,}4\)
À partir de A : \(P_A(B) = 0{,}3\), \(P_A(\overline{B}) = 0{,}7\)
À partir de \(\overline{A}\) : \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4\), \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}6\)

💡 Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud doit valoir 1.

Formule : \(P(X \cap Y) = P(X) \times P_X(Y)\)

Sur l'arbre, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités de chaque branche empruntée.

\(P\!\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = P\!\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}\!\left(\overline{B}\right) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24\)

💡 Interprétation : 24 % des personnes n'ont chuté lors d'aucune des deux séances.

Principe : \(\{A ; \overline{A}\}\) est un système complet d'événements, donc :

\[P(B) = P(A \cap B) + P\!\left(\overline{A} \cap B\right) = P(A) \cdot P_A(B) + P\!\left(\overline{A}\right) \cdot P_{\overline{A}}(B)\]

Calculer chaque terme séparément (produit des branches de l'arbre), puis additionner.

💡 Cette formule correspond à « additionner les probabilités de tous les chemins aboutissant à B ».

Formule : \(P_{\overline{B}}\!\left(\overline{A}\right) = \dfrac{P\!\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)}{P\!\left(\overline{B}\right)}\)

Numérateur : \(P\!\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 0{,}24\) (calculé en Q2)
Dénominateur : \(P\!\left(\overline{B}\right) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}34 = 0{,}66\)

💡 On connaît l'événement \(\overline{B}\) (pas de chute en séance 2) et on cherche la probabilité que l'événement \(\overline{A}\) ait eu lieu « en remontant » l'arbre.

Question 5 — Loi binomiale

On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 personnes, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. Onassimile le choix d’un échantillon de 100 personnes à untirage avec remise. On admet que la probabilité qu'une personne ne chute pas lors des deux séances est 0,24.

Montrer que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Quelle est la probabilité d'avoir au moins 20 personnes ne chutant ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
Calculer l'espérance \(E(X)\) et interpréter dans le contexte.

Méthodes de cours

Quatre conditions à vérifier :

\(n = 100\) épreuves identiques
Épreuves indépendantes (tirage avec remise)
Deux issues possibles : succès (ne chute pas aux deux séances) / échec
Même probabilité de succès \(p = 0{,}24\) à chaque épreuve

Donc \(X \sim \mathcal{B}(100~;~0{,}24)\).

💡 Rédige explicitement les 4 conditions dans ta réponse. Le barème les attend souvent une par une.

Méthode : l'événement « au moins 20 » est le complémentaire de « au plus 19 » :

\[P(X \geqslant 20) = 1 - P(X \leqslant 19)\]

Utiliser la calculatrice (fonction loi binomiale cumulative) pour évaluer \(P(X \leqslant 19)\) avec \(n = 100\), \(p = 0{,}24\).

💡 Sur la plupart des calculatrices : chercher « loi binomiale cumulative » ou « binomcdf ». Ne pas oublier la complémentarité.

Formule : Si \(X \sim \mathcal{B}(n~;~p)\), alors \(E(X) = n \times p\).

Ici : \(E(X) = 100 \times 0{,}24 = 24\).

💡 L'interprétation contextuelle est indispensable au baccalauréat : « En moyenne, parmi 100 personnes ayant souscrit à la formule, … ne chutent lors d'aucune des deux séances. »

Partie B — Espérance et Bienaymé-Tchebychev

On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisport. On note \(T_1\) et \(T_2\) les variables aléatoires donnant les temps d'attente (en minutes) le samedi et le dimanche, avec :

\(E(T_1) = 40\), \(\sigma(T_1) = 10\)
\(E(T_2) = 60\), \(\sigma(T_2) = 16\)
\(T_1\) et \(T_2\) indépendantes

On pose \(T = T_1 + T_2\) (temps total d'attente sur le week-end).

Déterminer \(E(T)\). Interpréter.
Montrer que \(V(T) = 356\).
À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que \(P(60 < T < 140) > 0{,}77\).

Méthodes de cours

Linéarité de l'espérance : pour toutes variables \(T_1\) et \(T_2\) (même dépendantes) :

\[E(T_1 + T_2) = E(T_1) + E(T_2)\]

Ici : \(E(T) = 40 + 60 = 100\).

💡 La linéarité de l'espérance est vraie toujours, indépendamment de toute hypothèse d'indépendance.

Formule (variables indépendantes) : \(V(T_1 + T_2) = V(T_1) + V(T_2)\)

Or la variance est le carré de l'écart-type : \(V = \sigma^2\).

\(V(T_1) = 10^2 = 100\)
\(V(T_2) = 16^2 = 256\)
\(V(T) = 100 + 256 = 356\)

💡 L'addition des variances n'est vraie que pour des variables indépendantes. C'est précisément l'hypothèse donnée dans l'énoncé.

Énoncé : Pour tout \(\varepsilon > 0\) :

\[P\!\left(|T - E(T)| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{V(T)}{\varepsilon^2} \quad \Longleftrightarrow \quad P\!\left(|T - E(T)| < \varepsilon\right) \geqslant 1 - \frac{V(T)}{\varepsilon^2}\]

Étape clé : centrer l'intervalle sur l'espérance.

\(60 < T < 140 \iff |T - 100| < 40\), donc \(\varepsilon = 40\)
Calculer \(1 - \dfrac{356}{40^2} = 1 - \dfrac{356}{1600} = \dfrac{1244}{1600} \approx 0{,}7775 > 0{,}77\)

💡 Vérifie toujours que l'intervalle est bien centré en \(E(T) = 100\) : \(100 - 60 = 40\) et \(140 - 100 = 40\). ✓

Partie A — Questions 1 à 4

On munit l'espace d'un repère orthonormé \(\left(\text{O};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)\). On considère :

les points A\((-1~;~2~;~1)\), B\((1~;~-1~;~2)\) et C\((1~;~1~;~1)\) ;
la droite \(d\) : \(\left\{\begin{array}{l}x = \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 + t\\z = 3 - t\end{array}\right.\), \(t \in \mathbb{R}\) ;
la droite \(d'\) : \(\left\{\begin{array}{l}x = s\\y = \frac{3}{2} + s\\z = 3 - 2s\end{array}\right.\), \(s \in \mathbb{R}\).

Montrer que \(d\) et \(d'\) sont sécantes au point S\(\!\left(-\tfrac{1}{2}~;~1~;~4\right)\).
1. Montrer que \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (ABC).
2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est \(x + 2y + 4z - 7 = 0\).
Démontrer que A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
1. Démontrer que H\((-1~;~0~;~2)\) est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC).
2. En déduire qu'il n'existe aucun point M du plan (ABC) tel que \(\text{S}M < \dfrac{\sqrt{21}}{2}\).

Méthodes de cours

Méthode : deux droites sont sécantes s'il existe \(t\) et \(s\) réels tels que leurs coordonnées coïncident. Écrire le système :

\[\frac{3}{2} + 2t = s, \quad 2 + t = \frac{3}{2} + s, \quad 3 - t = 3 - 2s\]

Résoudre en \(t\) et \(s\), puis vérifier que les coordonnées obtenues coïncident bien avec S.

💡 Commence par les équations les plus simples (ex. la 3ème) pour trouver \(t\) ou \(s\) rapidement, puis déduis les autres.

Méthode : \(\vec{n}\) est normal au plan (ABC) si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)
Vérifier \(\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0\)
Préciser que \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas colinéaires

💡 \(\vec{n} \cdot \vec{u} = n_x u_x + n_y u_y + n_z u_z\). Les deux produits scalaires doivent être nuls simultanément.

Si \(\vec{n}(a~;~b~;~c)\) est normal au plan, tout point M\((x~;~y~;~z)\) du plan vérifie :

\[ax + by + cz + d = 0\]

Pour trouver \(d\) : substituer les coordonnées d'un point connu du plan (ex. C).

💡 Ici \(\vec{n}(1~;~2~;~4)\) donc l'équation est \(x + 2y + 4z + d = 0\). Pose C(1;1;1) : \(1 + 2 + 4 + d = 0 \Rightarrow d = -7\).

A, B, C définissent un plan. Pour montrer que S n'est pas dans ce plan, il suffit de vérifier que ses coordonnées ne vérifient pas l'équation cartésienne du plan.

Calculer \(x_S + 2y_S + 4z_S - 7\) et vérifier que c'est différent de 0.

💡 Si le résultat est \(\neq 0\), S est bien hors du plan, donc les 4 points ne sont pas coplanaires.

H est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC) si et seulement si :

Condition 1 : H \(\in\) plan (ABC) — vérifier l'équation cartésienne
Condition 2 : \(\vec{SH}\) est colinéaire à \(\vec{n}\) — vérifier que \(\vec{SH} = \lambda \vec{n}\) pour un certain \(\lambda\)

💡 Calcule \(\vec{SH}\), puis cherche si \(\vec{SH} = \lambda \vec{n}\) : cela revient à vérifier que les rapports de coordonnées sont tous égaux.

Le projeté orthogonal H est le point du plan le plus proche de S. Pour tout M distinct de H dans le plan :

\[\text{SM}^2 = \text{SH}^2 + \text{HM}^2 > \text{SH}^2 \quad \text{(Pythagore dans SMH)}\]

Calculer SH à partir de \(\vec{SH}\), puis conclure que SH est la distance minimale.

💡 \(\text{SH}^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = \frac{1}{4} + 1 + 4 = \frac{21}{4}\), donc \(\text{SH} = \frac{\sqrt{21}}{2}\).

Questions 1 à 4 — Vrai ou Faux (justifier)

Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : La suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 + 3^n}\) converge vers \(\dfrac{5}{3}\).

Affirmation 2 : La suite \((w_n)\) est définie par \(w_0 = 0\) et \(w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3\). Pour tout entier naturel \(n\), \(w_n \geqslant n\).

Affirmation 3 : D'après le graphique (Fig. 1 du sujet), la fonction \(f\) est convexe sur son ensemble de définition \(]0~;~+\infty[\).
(T est la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point A d'abscisse 8 ; l'axe des abscisses est la tangente horizontale à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse 1.)

Affirmation 4 : Pour tout réel \(x > 0\), \(\ln(x) - x + 1 \leqslant 0\).

Méthodes de cours

Idée : identifier quel terme « domine » au numérateur et au dénominateur.

Diviser numérateur et dénominateur par \(5^n\) :

\[u_n = \frac{1 + 5^n}{2 + 3^n} = \frac{\frac{1}{5^n} + 1}{\frac{2}{5^n} + \left(\frac{3}{5}\right)^n}\]

\(\frac{1}{5^n} \to 0\) et \(\frac{2}{5^n} \to 0\) car \(5^n \to +\infty\)
\(\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0\) car \(0 < \frac{3}{5} < 1\)

Le dénominateur tend vers 0 : que se passe-t-il pour \(u_n\) ?

💡 Attention : si le dénominateur tend vers 0 par valeurs positives et le numérateur tend vers une valeur strictement positive, la limite est \(+\infty\). Ce n'est donc pas \(\frac{5}{3}\).

Structure d'une preuve par récurrence :

Initialisation : vérifier la propriété au rang \(n = 0\) (ici : \(w_0 = 0 \geqslant 0\) ✓)
Hérédité : supposer \(w_n \geqslant n\) et montrer \(w_{n+1} \geqslant n + 1\)

Pour l'hérédité : partir de \(w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3\) et utiliser l'hypothèse \(w_n \geqslant n\) pour minorer \(3w_n\), puis conclure.

💡 Pour obtenir \(w_{n+1} \geqslant n+1\), montre que \(3w_n - 2n + 3 \geqslant n + 1\). L'hypothèse \(w_n \geqslant n\) donne \(3w_n \geqslant 3n\), soit \(3w_n - 2n + 3 \geqslant n + 3 > n + 1\). ✓

Définition graphique :

Courbe convexe : elle est en-dessous de ses tangentes (portion « souriante »)
Courbe concave : elle est au-dessus de ses tangentes (portion « triste »)

Observer sur le graphique (Fig. 1) : en A (abscisse 8), la courbe \(\mathcal{C}_f\) est-elle au-dessus ou en-dessous de la tangente T ?

💡 La réponse à cette observation graphique suffit à conclure sur la convexité en ce point. Mais si la courbe n'est pas partout du même côté de ses tangentes, la convexité globale est fausse.

Méthode : poser \(g(x) = \ln(x) - x + 1\) et étudier le signe de \(g\) sur \(]0~;~+\infty[\).

Calculer \(g'(x) = \dfrac{1}{x} - 1\)
Trouver le signe de \(g'(x)\) selon \(x\) : \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Dresser le tableau de variation de \(g\)
Calculer \(g(1) = \ln(1) - 1 + 1 = 0\)

Le maximum de \(g\) est 0, atteint en \(x = 1\) : donc \(g(x) \leqslant 0\) pour tout \(x > 0\).

💡 Cette inégalité classique (\(\ln x \leqslant x - 1\)) sert régulièrement en analyse ; mémorise la méthode de preuve.

Partie A — Lecture graphique (aucune justification attendue)

Le chariot entre dans la zone de freinage à \(t = 0\). La distance parcourue \(d(t)\) (en m) est représentée sur la Fig. 2 du sujet, avec :

la courbe \(\mathcal{C}_d\) de la fonction \(d\) ;
la tangente T à \(\mathcal{C}_d\) au point A d'abscisse \(4{,}7\) ;
l'asymptote \(\Delta\) à \(\mathcal{C}_d\) en \(+\infty\).

Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru 15 m ?
Quelle longueur minimale doit être prévue pour la zone de freinage ?
Que vaut \(d'(4{,}7)\) ? Interpréter dans le contexte.

Méthodes de cours

Sur la Fig. 2 : repérer l'ordonnée 15 sur l'axe des y, tracer une horizontale jusqu'à la courbe \(\mathcal{C}_d\), puis lire l'abscisse correspondante.

💡 Aucune justification n'est attendue : lire directement la valeur sur le graphique avec la précision permise.

La distance parcourue par le chariot est modélisée par \(d(t)\) sur \([0~;~+\infty[\). La zone de freinage doit être au moins aussi longue que la distance maximale que peut parcourir le chariot.

Cette distance maximale est donnée par \(\lim_{t \to +\infty} d(t)\), c'est-à-dire la valeur de l'asymptote horizontale \(\Delta\).

💡 Lire la valeur de \(\Delta\) sur l'axe des ordonnées : c'est une droite horizontale, sa hauteur donne la longueur minimale de la zone.

\(d'(4{,}7)\) est le coefficient directeur (pente) de la tangente T au point A d'abscisse \(4{,}7\).

Lire deux points sur la tangente T et calculer :

\[d'(4{,}7) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Interprétation : \(d'(t)\) est la vitesse instantanée du chariot. \(d'(4{,}7)\) représente donc la vitesse du chariot à l'instant \(t = 4{,}7\) s (en m/s).

💡 Choisir deux points bien lisibles sur la tangente pour calculer la pente. La tangente passe par (0 ; 16,5) et par A(4,7 ; 21) : ce sont des valeurs lisibles sur le graphique.

Partie B — Équation différentielle

La vitesse instantanée \(v(t)\) (en m/s) vérifie l'équation différentielle :

\[(E) : \quad y' + 0{,}6y = \mathrm{e}^{-0{,}6t}\]

avec \(v(0) = 12\) m/s.

1. Déterminer les solutions de \((E') : y' + 0{,}6y = 0\) sur \([0~;~+\infty[\).
2. Vérifier que \(g(t) = t\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) est une solution de \((E)\).
3. En déduire les solutions de \((E)\).
4. En déduire que \(v(t) = (12 + t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\).
1. Montrer que \(v'(t) = (-6{,}2 - 0{,}6t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\).
2. En utilisant \(v(t) = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}6t} + \dfrac{1}{0{,}6} \cdot \dfrac{0{,}6t}{\mathrm{e}^{0{,}6t}}\), déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} v(t)\).
3. Étudier les variations de \(v\) et dresser le tableau de variation complet.
4. Montrer que l'équation \(v(t) = 1\) admet une unique solution \(\alpha\), et donner une valeur approchée au dixième.
Déterminer au bout de combien de temps le système d'arrêt se déclenche (vitesse \(\leqslant 1\) m/s). Justifier.

Méthodes de cours

Forme : \(y' + ay = 0\) avec \(a = 0{,}6\).

Solutions : les fonctions \(t \mapsto K\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\), avec \(K \in \mathbb{R}\) (constante quelconque).

💡 C'est la forme standard : toujours \(K\,\mathrm{e}^{-at}\). Ne pas oublier la constante K.

Méthode : calculer \(g'(t)\), puis vérifier que \(g'(t) + 0{,}6\,g(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t}\).

\(g(t) = t\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) → dériver avec la règle du produit
\(g'(t) = 1 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}6t} + t \cdot (-0{,}6)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t} = \mathrm{e}^{-0{,}6t}(1 - 0{,}6t)\)
Calculer \(g'(t) + 0{,}6\,g(t)\) et simplifier

💡 Factoriser par \(\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) à chaque étape pour simplifier les calculs.

Théorème : Les solutions de \((E)\) sont toutes de la forme :

\[\text{solution générale} = \text{solution particulière} + \text{solution homogène}\]

Ici : \(f(t) = g(t) + K\,\mathrm{e}^{-0{,}6t} = (t + K)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\), \(K \in \mathbb{R}\).

Condition initiale : \(v(0) = 12\) → substituer \(t = 0\) pour trouver \(K\).

💡 \(v(0) = (0 + K)\,\mathrm{e}^{0} = K = 12\). On en déduit \(v(t) = (12 + t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\).

Astuce : puisque \(v\) est solution de \((E)\), on sait que \(v'(t) + 0{,}6\,v(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t}\), donc :

\[v'(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t} - 0{,}6\,v(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t} - 0{,}6\,(12 + t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\]

Factoriser par \(\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) et développer \(-0{,}6 \times 12 = -7{,}2\).

💡 On peut aussi dériver directement \(v(t) = (12+t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) par la règle du produit : les deux méthodes donnent le même résultat.

L'écriture \(v(t) = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}6t} + \dfrac{1}{0{,}6} \cdot \dfrac{0{,}6t}{\mathrm{e}^{0{,}6t}}\) permet d'identifier deux termes :

\(12\,\mathrm{e}^{-0{,}6t} \to 0\) car \(\mathrm{e}^{-0{,}6t} \to 0\)
\(\dfrac{0{,}6t}{\mathrm{e}^{0{,}6t}} \to 0\) par les croissances comparées : \(\dfrac{t}{\mathrm{e}^{at}} \to 0\) pour tout \(a > 0\)

💡 Théorème à connaître : pour tout \(a > 0\) et tout entier \(n \geqslant 0\), \(\dfrac{t^n}{\mathrm{e}^{at}} \to 0\) quand \(t \to +\infty\). L'exponentielle « l'emporte » sur tout polynôme.

\(v'(t) = (-6{,}2 - 0{,}6t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\).

\(\mathrm{e}^{-0{,}6t} > 0\) pour tout \(t \in \mathbb{R}\)
Pour \(t \geqslant 0\) : \(-6{,}2 - 0{,}6t \leqslant -6{,}2 < 0\)
Donc \(v'(t) < 0\) pour tout \(t \geqslant 0\)

Conclusion : \(v\) est strictement décroissante sur \([0~;~+\infty[\) de 12 à 0.

💡 Une décroissance stricte de 12 à 0, avec \(1 \in ]0~;~12[\), garantit par le TVI l'existence et l'unicité d'un réel \(\alpha\) tel que \(v(\alpha) = 1\).

Méthode : tester des valeurs pour encadrer \(\alpha\) tel que \(v(\alpha) = 1\).

Calculer \(v(4) = (12 + 4)\,\mathrm{e}^{-0{,}6 \times 4} \approx 1{,}5 > 1\)
Calculer \(v(5) = (12 + 5)\,\mathrm{e}^{-0{,}6 \times 5} \approx 0{,}85 < 1\)
Donc \(4 < \alpha < 5\) ; affiner : \(v(4{,}7) \approx 0{,}995 \approx 1\)

💡 Chercher un encadrement au dixième de façon dichotomique : tester 4,5 puis 4,7 ou 4,6...

Partie C — Distance et intégration par parties

On rappelle que \(v(t) = (12 + t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) et que :

\[d(t) = \int_0^t v(x)\,\mathrm{d}x\]

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : \[d(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t}\!\left(-\frac{5}{3}\,t - \frac{205}{9}\right) + \frac{205}{9}\]
Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot avant le déclenchement du dispositif d'arrêt (\(v \leqslant 1\) m/s).

Méthodes de cours

Formule : \(\displaystyle\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x = \left[u(x)\,v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x\)

Pour \(\displaystyle\int_0^t (12 + x)\,\mathrm{e}^{-0{,}6x}\,\mathrm{d}x\) :

Choisir \(u(x) = 12 + x \Rightarrow u'(x) = 1\)
Choisir \(v'(x) = \mathrm{e}^{-0{,}6x} \Rightarrow v(x) = -\dfrac{1}{0{,}6}\,\mathrm{e}^{-0{,}6x} = -\dfrac{5}{3}\,\mathrm{e}^{-0{,}6x}\)

💡 Remarques utiles : \(\dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}\) et \(\dfrac{1}{0{,}36} = \dfrac{100}{36} = \dfrac{25}{9}\). Ces conversions simplifient le calcul.

Après l'IPP, on obtient deux termes :

\[d(t) = \left[-(12+x) \cdot \frac{5}{3}\,\mathrm{e}^{-0{,}6x}\right]_0^t - \int_0^t \left(-\frac{5}{3}\right)\mathrm{e}^{-0{,}6x}\,\mathrm{d}x\]

Évaluer le crochet en \(t\) (terme avec \(x = t\)) et en \(0\) (terme avec \(x = 0\))
Intégrer \(\displaystyle\int_0^t \frac{5}{3}\,\mathrm{e}^{-0{,}6x}\,\mathrm{d}x = \frac{5}{3} \times \left[-\frac{5}{3}\,\mathrm{e}^{-0{,}6x}\right]_0^t = \left[-\frac{25}{9}\,\mathrm{e}^{-0{,}6x}\right]_0^t\)

💡 Regroupe les termes en \(\mathrm{e}^{-0{,}6t}\) d'un côté et les constantes de l'autre. La constante \(\dfrac{205}{9} = 20 + \dfrac{25}{9}\) provient des termes évalués en 0.

De la partie B, on a \(\alpha \approx 4{,}7\) (le système se déclenche à \(t = \alpha\)).

La distance parcourue est \(d(\alpha) = \mathrm{e}^{-0{,}6\alpha}\!\left(-\frac{5}{3}\alpha - \frac{205}{9}\right) + \frac{205}{9}\).

Substituer \(\alpha \approx 4{,}7\) et calculer numériquement.

💡 Calculer d'abord \(\mathrm{e}^{-0{,}6 \times 4{,}7} = \mathrm{e}^{-2{,}82} \approx 0{,}0596\), puis le reste de l'expression. Arrondir au centième.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Guide de résolution
Métropole — 18 juin 2025

Partie A — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Question 5 — Loi binomiale

Méthodes de cours

Partie B — Espérance et Bienaymé-Tchebychev

Méthodes de cours

Partie A — Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Partie B — Point M sur [CS]

Méthodes de cours

Questions 1 à 4 — Vrai ou Faux (justifier)

Méthodes de cours

Partie A — Lecture graphique (aucune justification attendue)

Méthodes de cours

Partie B — Équation différentielle

Méthodes de cours

Partie C — Distance et intégration par parties

Méthodes de cours

Guide de résolutionMétropole — 18 juin 2025

Partie A — Questions 1 à 4

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Question 5 — Loi binomiale

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Partie B — Espérance et Bienaymé-Tchebychev

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Métropole — 18 juin 2025