Guide de résolution — Bac Métropole J1 9 sept. 2025

Partie A — Résolution de l'équation différentielle

On considère l'équation différentielle

\[(E)\qquad y' + 0{,}4y = \mathrm{e}^{-0{,}4t}\]

où \(y\) est une fonction de la variable réelle \(t\). On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui sont solutions de cette équation.

Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(u(t) = t\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).
Vérifier que \(u\) est solution de \((E)\).
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(t) = f(t) - u(t)\). Soit \((H)\) l'équation différentielle \(y' + 0{,}4y = 0\).
1. Démontrer que si la fonction \(g\) est solution de l'équation différentielle \((H)\) alors la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \((E)\).
On admettra que la réciproque est vraie.
1. Résoudre l'équation différentielle \((H)\).
2. En déduire les solutions de \((E)\).
3. Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0) = 1\).

Méthodes de cours

Formule : \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\)

Pour \(u(t) = t \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4t}\), identifier \(u_1(t) = t\) et \(u_2(t) = \mathrm{e}^{-0{,}4t}\) :

\(u_1'(t) = 1\)
\(u_2'(t) = -0{,}4\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\) (dérivée d'une exponentielle composée)

💡 La dérivée de \(\mathrm{e}^{at}\) est \(a\,\mathrm{e}^{at}\). Ne pas oublier le facteur \(-0{,}4\) ici.

Pour montrer que \(u\) est solution de \((E)\), substituer dans l'équation et vérifier l'égalité :

\[u'(t) + 0{,}4\,u(t) \stackrel{?}{=} \mathrm{e}^{-0{,}4t}\]

Calculer \(u'(t)\) (produit), puis \(0{,}4\,u(t) = 0{,}4\,t\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\), et additionner.

💡 Les termes en \(t\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\) doivent se simplifier pour ne laisser que \(\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).

Principe : si \(g = f - u\) est solution de \((H)\), montrer que \(f\) est solution de \((E)\).

Utiliser \(g = f - u\) donc \(g' = f' - u'\), et développer \(g'(t) + 0{,}4\,g(t) = 0\) en substituant.

On obtient \(f'(t) + 0{,}4\,f(t) = u'(t) + 0{,}4\,u(t)\), et comme \(u\) est solution de \((E)\), le membre droit vaut \(\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).

💡 C'est la structure fondamentale des ED linéaires : solution générale = solution particulière + solution de l'homogène.

Équation homogène : \(y' = -0{,}4\,y\), de la forme \(y' = a y\).

Les solutions sont les fonctions de la forme :

\[g : t \mapsto C\,\mathrm{e}^{-0{,}4\,t}, \quad C \in \mathbb{R}\]

💡 Toute ED du type \(y' = ay\) a pour solutions les exponentielles \(Ce^{at}\). Ici \(a = -0{,}4\).

Solution générale de \((E)\) : \(f(t) = u(t) + C\,\mathrm{e}^{-0{,}4t} = (t + C)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\)

Condition initiale \(f(0) = 1\) : substituer \(t = 0\) dans l'expression générale pour déterminer \(C\).

Calculer \(f(0)\) en fonction de \(C\)
Écrire \(f(0) = 1\) et résoudre

💡 La condition initiale permet de sélectionner une unique solution parmi la famille de solutions paramétrées par \(C\).

Partie B — Modèle de la glycémie

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas. La glycémie en g·L\(^{-1}\), en fonction du temps \(t\), exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction \(f\) définie sur \([0~;~6]\) par :

\[f(t) = (t + 1)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\]

1. Montrer que, pour tout \(t \in [0~;~6]\) : \(f'(t) = (-0{,}4t + 0{,}6)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur \([0~;~6]\) puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à \(0{,}7\) g·L\(^{-1}\).
1. Démontrer que sur l'intervalle \([0~;~6]\) l'équation \(f(t) = 0{,}7\) admet une unique solution que l'on notera \(\alpha\).
2. Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-elle en hypoglycémie ? On exprimera ce temps à la minute près.
On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g·L\(^{-1}\) chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : \[\int_0^6 f(t)\,\mathrm{d}t = -23{,}75\,\mathrm{e}^{-2{,}4} + 8{,}75\]
2. Calculer la glycémie moyenne en g·L\(^{-1}\) chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
3. En remarquant que la fonction \(f\) est solution de l'équation différentielle \((E)\), expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.

Méthodes de cours

Approche 1 — via l'équation différentielle :

Comme \(f\) est solution de \((E)\), on a \(f' = -0{,}4f + \mathrm{e}^{-0{,}4t}\). Substituer \(f(t) = (t+1)\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).

Approche 2 — dérivation directe :

Utiliser la formule du produit sur \((t+1)\) et \(\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).

💡 Les deux approches donnent le même résultat. L'approche via l'ED est plus rapide mais demande de la justifier.

La fonction exponentielle est toujours strictement positive : \(\mathrm{e}^{-0{,}4t} > 0\).

Le signe de \(f'(t)\) est donc celui de \(-0{,}4t + 0{,}6\).

Résoudre \(-0{,}4t + 0{,}6 = 0\) pour trouver le point critique, puis dresser le tableau de variations avec les valeurs de \(f\) aux bornes et au point critique.

💡 Calculer \(f(0)\), \(f(1{,}5)\) et \(f(6)\) pour remplir le tableau. Attention : \(f(1{,}5) = 2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}6}\) et \(f(6) = 7\,\mathrm{e}^{-2{,}4}\).

Pour prouver qu'une équation \(f(t) = k\) admet une unique solution sur un intervalle :

Existence : \(f\) continue sur \([a ; b]\), \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) → au moins une solution.
Unicité : \(f\) strictement monotone sur \([a ; b]\) → au plus une solution.

Analyser séparément les deux sous-intervalles : sur \([0~;~1{,}5]\) où \(f\) est croissante, puis sur \([1{,}5~;~6]\) où \(f\) est décroissante.

💡 Vérifier que \(0{,}7\) est bien encadré par les valeurs de \(f\) sur l'intervalle concerné. Sur \([0~;~1{,}5]\), \(f \geqslant f(0) = 1 > 0{,}7\) : pas de solution.

Formule : \(\displaystyle\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}t = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}t\)

Pour \(\displaystyle\int_0^6 (t+1)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\,\mathrm{d}t\), poser :

\(u(t) = t + 1\) → \(u'(t) = 1\)
\(v'(t) = \mathrm{e}^{-0{,}4t}\) → \(v(t) = \dfrac{\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{-0{,}4} = -2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\)

💡 Après application de la formule, il reste à calculer \(\displaystyle\int_0^6 \mathrm{e}^{-0{,}4t}\,\mathrm{d}t\), dont la primitive est aussi \(-2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}\).

Définition : La valeur moyenne de \(f\) sur \([a ; b]\) est :

\[\bar{f} = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\]

Ici \(a = 0\), \(b = 6\), donc diviser l'intégrale calculée par 6.

💡 Pour la méthode alternative (question 3c), utiliser le fait que \(f' + 0{,}4f = \mathrm{e}^{-0{,}4t}\) implique que \(0{,}4\int f = \int \mathrm{e}^{-0{,}4t} - [f]_0^6\). Cela fournit une primitive de \(f\) sans calcul par parties.

Partie A — Perpendicularité et coplanarité

On considère le cube ABCDEFGH. On place le point M tel que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB}\).

Montrer que les droites \((FG)\) et \((FM)\) sont perpendiculaires.
Montrer que les points A, M, G et H sont coplanaires.

Méthodes de cours

\(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB}\) signifie que M est le symétrique de A par rapport à B. M est donc aligné avec A et B, du côté opposé à A.

M appartient à la droite (AB) et à l'extérieur du cube, avec \(BM = AB\).

💡 Dans le repère orthonormé, si A = (0,0,0) et B = (1,0,0), alors M = (2,0,0).

Critère : une droite \(d\) est orthogonale à un plan \(\mathcal{P}\) si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de \(\mathcal{P}\).

Pour montrer que \((FG) \perp (FM)\) :

Identifier un plan contenant \((FM)\) (et des droites sécantes utiles)
Montrer que \((FG)\) est orthogonale à ce plan en trouvant deux droites sécantes du plan qui lui sont perpendiculaires
Conclure que \((FG)\) est perpendiculaire à toute droite du plan, notamment \((FM)\)

💡 Les faces du cube sont des carrés : les côtés adjacents sont perpendiculaires. Chercher deux arêtes perpendiculaires à FG dans deux faces différentes passant par F.

Quatre points A, M, G, H sont coplanaires si l'un des critères suivants est vérifié :

Deux des droites définies par ces points sont parallèles (vecteurs directeurs colinéaires)
Deux de ces droites sont coplanaires (sécantes ou parallèles)

Stratégie ici : chercher deux vecteurs colinéaires parmi \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{HG}\), etc.

💡 Si \(\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{HG}\), alors (AM) ∥ (HG), donc A, M, H, G sont bien coplanaires.

Partie B — Coordonnées dans le repère du cube

On se place dans le repère orthonormé \(\left(\mathrm{A} ~;~ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\, \overrightarrow{\mathrm{AD}},\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)\).

Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\mathrm{GM}}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite \((\mathrm{GM})\) est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 1 + t\\ y &=& 1 - t\\ z &=& 1 - t \end{array}\right.\text{ avec }t \in \mathbb{R}\]
2. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite \((\mathrm{AH})\) est : \[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 0\\ y &=& k\\ z &=& k \end{array}\right.\text{ avec }k \in \mathbb{R}\] Montrer que le point d'intersection de \((\mathrm{GM})\) et \((\mathrm{AH})\), que l'on nommera N, a pour coordonnées \((0~;~2~;~2)\).
1. Montrer que le triangle AMN est un triangle rectangle en A.
2. Calculer l'aire de ce triangle.
Soit J le centre de la face BCGF.
1. Déterminer les coordonnées du point J.
2. Montrer que le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\) est un vecteur normal au plan \((\mathrm{AMN})\).
3. Montrer que J appartient au plan \((\mathrm{AMN})\). En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point F sur le plan \((\mathrm{AMN})\).
On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par : \[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\] \(\mathcal{B}\) étant l'aire d'une base et \(h\) la hauteur relative à cette base. Montrer que le volume du tétraèdre AMNF est le double du volume de la pyramide BCGFM.

Méthodes de cours

Dans le repère \((\mathrm{A}~;~\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}})\), le cube de côté 1 a pour sommets :

A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), E(0;0;1), F(1;0;1), G(1;1;1), H(0;1;1)

et M(2;0;0) car \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} = (1,0,0)\).

💡 Mémorise la correspondance : 1er axe = AB, 2ème = AD, 3ème = AE (hauteur). C est le coin opposé à A dans la base.

La droite passant par \(P(x_0; y_0; z_0)\) et de vecteur directeur \(\vec{d}(a; b; c)\) a pour représentation :

\[\left\{\begin{array}{l} x = x_0 + ta\\ y = y_0 + tb\\ z = z_0 + tc \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}\]

Pour (GM) : utiliser G(1;1;1) comme point de passage et \(\overrightarrow{GM}\) comme vecteur directeur.

💡 Pour trouver N, résoudre le système obtenu en égalisant les coordonnées des deux représentations paramétriques.

Dans un repère orthonormé, si \(\vec{u}(x_1;y_1;z_1)\) et \(\vec{v}(x_2;y_2;z_2)\) :

\[\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\]

Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\)

Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\)

Aire d'un triangle rectangle : \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times \text{côté}_1 \times \text{côté}_2\)

\(\vec{n}(a;b;c)\) est normal à un plan si et seulement si \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

L'équation du plan de normale \(\vec{n}(a;b;c)\) passant par \(P_0(x_0;y_0;z_0)\) est :

\[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\]

Projeté orthogonal F sur (AMN) : J est ce projeté si \(\overrightarrow{FJ}\) est normal au plan et J appartient au plan.

Pour AMNF, choisir comme base le triangle AMN (déjà calculé) et comme hauteur la distance FJ (hauteur depuis F vers le plan (AMN)).

Pour la pyramide BCGFM, identifier sa base (carré BCGF d'aire 1) et la hauteur BM.

💡 La distance FJ se calcule avec la norme : \(FJ = \|\overrightarrow{FJ}\|\). Attention à ne pas confondre la base et la hauteur selon la pyramide choisie.

Partie A — Suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = \sqrt{3u_n - 2}\)

Le but de cet exercice est d'étudier la convergence de deux suites vers une même limite.

On considère la fonction \(f\) définie sur \([2~;~+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{3x - 2}\).

Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :
On admet que la suite \((u_n)\) vérifiant \(u_0 = 6\) et, pour tout \(n\) entier naturel, \(u_{n+1} = f(u_n)\) est bien définie.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n\) entier naturel : \(2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6\).
2. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.
On appelle \(\ell\) la limite de \((u_n)\). On admet qu'elle est solution de l'équation \(f(x) = x\). Déterminer la valeur de \(\ell\).
On considère la fonction rang écrite ci-dessous en langage Python (où sqrt(x) renvoie la racine carrée de \(x\)) :
from math import *

def rang(a) :
  u = 6
  n = 0
  while u >= a :
    u = sqrt(3*u - 2)
    n = n + 1
  return n
1. Pourquoi peut-on affirmer que rang(2.000001) renvoie une valeur ?
2. Pour quelles valeurs du paramètre \(a\) l'instruction rang(a) renvoie-t-elle un résultat ?

Méthodes de cours

Pour \(f(x) = \sqrt{3x - 2}\) sur \([2~;~+\infty[\) :

Domaine : \(3x - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant 2/3\). Sur \([2~;~+\infty[\), \(f\) est bien définie.
Dérivée : \(f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}\), strictement positive sur \([2~;~+\infty[\) → \(f\) est strictement croissante.
Valeurs : \(f(2) = \sqrt{4} = 2\) ; \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\).

Pour démontrer \(\mathcal{P}(n)\) : « \(2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6\) » pour tout entier naturel \(n\) :

Initialisation (\(n = 0\)) : vérifier \(2 \leqslant u_1 \leqslant u_0 \leqslant 6\) en calculant \(u_1 = f(6)\).

Hérédité : supposer \(\mathcal{P}(n)\) vraie, c'est-à-dire \(2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6\). En appliquant \(f\) (croissante) aux trois membres, obtenir \(f(2) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n) \leqslant f(6)\), soit \(2 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant 4 \leqslant 6\).

Conclusion : par principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

💡 La croissance de \(f\) sur \([2~;~+\infty[\) est indispensable pour conserver le sens des inégalités.

Théorème : toute suite monotone et bornée converge.

De la récurrence, tirer :

\(u_{n+1} \leqslant u_n\) pour tout \(n\) → suite décroissante
\(u_n \geqslant 2\) pour tout \(n\) → suite minorée par 2

Donc \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell \geqslant 2\).

Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\), alors par continuité de \(f\) : \(\ell = f(\ell)\).

Résoudre \(f(x) = x\), c'est-à-dire \(\sqrt{3x - 2} = x\) :

Élever au carré (valide car \(x \geqslant 2 > 0\) → \(x^2 = 3x - 2\))
Factoriser le trinôme \(x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\)
Racines : \(x = 1\) et \(x = 2\). Comme \(\ell \geqslant 2\), on conclut \(\ell = 2\).

La boucle while u >= a s'arrête dès que \(u_n < a\).

Terminaison : la suite \((u_n)\) converge vers 2. Pour tout \(a > 2\), il existe un rang à partir duquel \(u_n < a\), donc la boucle s'arrête.

Valeurs valides : la boucle retourne un résultat si et seulement si \(a > \ell = 2\).

💡 Pour \(a \leqslant 2\), la boucle ne se termine pas car \(u_n \geqslant 2\) pour tout \(n\).

Partie B — Suite \((v_n)\) définie par \(v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}\)

On admet que la suite \((v_n)\) vérifiant \(v_0 = 6\) et, pour tout \(n\) entier naturel, \(v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}\) est bien définie.

Calculer \(v_1\).
Pour tout \(n\) entier naturel, on admet que \(v_n \ne 2\) et on pose : \[w_n = \dfrac{v_n - 1}{v_n - 2}\]
1. Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme \(w_0\).
2. On admet que, pour tout \(n\) entier naturel, \(w_n - 1 = \dfrac{1}{v_n - 2}\).
  En déduire que, pour tout \(n\) entier naturel : \[v_n = 2 + \dfrac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1}\]
3. Calculer la limite de \((v_n)\).
Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) pour lequel \(v_n < 2{,}01\) en résolvant l'inéquation.

Méthodes de cours

Une suite \((w_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(w_{n+1} = q \cdot w_n\) pour tout \(n\).

Démarche : exprimer \(w_{n+1}\) en fonction de \(w_n\) en substituant la relation de récurrence de \((v_n)\) :

\[w_{n+1} = \dfrac{v_{n+1} - 1}{v_{n+1} - 2} = \dfrac{3 - \frac{2}{v_n} - 1}{3 - \frac{2}{v_n} - 2}\]

Simplifier en multipliant numérateur et dénominateur par \(v_n\).

Terme général : \(w_n = w_0 \cdot 2^n\) avec \(w_0 = \dfrac{v_0 - 1}{v_0 - 2} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\).

À partir de la relation admise \(w_n - 1 = \dfrac{1}{v_n - 2}\), et de \(w_n = 1{,}25 \times 2^n\) :

\(1{,}25 \times 2^n - 1 = \dfrac{1}{v_n - 2}\)
Prendre l'inverse : \(v_n - 2 = \dfrac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1}\)
Conclure : \(v_n = 2 + \dfrac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1}\)

💡 Vérifier que \(1{,}25 \times 2^n - 1 > 0\) pour tout \(n\) naturel (puisque \(1{,}25 \times 2^0 = 1{,}25 > 1\) et la suite est croissante).

À partir de \(v_n = 2 + \dfrac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1}\) :

Comme \(q = 2 > 1\) et \(w_0 > 0\) : \(\lim_{n\to+\infty} 1{,}25 \times 2^n = +\infty\)
Par limite d'une somme : \(\lim_{n\to+\infty} 1{,}25 \times 2^n - 1 = +\infty\)
Par limite de l'inverse : \(\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{1{,}25 \times 2^n - 1} = 0\)
Donc : \(\lim_{n\to+\infty} v_n = 2\)

Pour résoudre \(v_n < 2{,}01\) à partir de l'expression explicite :

Isoler \(2^n\) puis appliquer le logarithme (en conservant le sens de l'inégalité car \(\ln\) est croissante) :

\(2^n > k \iff n\ln 2 > \ln k \iff n > \dfrac{\ln k}{\ln 2}\) (car \(\ln 2 > 0\))

Le plus petit entier \(n\) vérifiant l'inéquation est \(\left\lceil\dfrac{\ln k}{\ln 2}\right\rceil\) (partie entière supérieure).

💡 Attention au sens de l'inégalité à chaque étape : multiplier/diviser par une quantité négative inverse le sens.

Consigne : Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 — Codes de validation

Lorsqu'une personne achète son billet en ligne, un code de validation lui est envoyé par SMS afin qu'elle confirme son achat.

Ce code est généré de façon aléatoire et est constitué de 4 chiffres deux à deux distincts, le premier chiffre étant différent de 0.

Affirmation 1 : Le nombre de codes différents pouvant être générés est 5 040.

Méthodes de cours

Quand on effectue plusieurs choix indépendants successifs, le nombre total de possibilités est le produit des possibilités à chaque étape.

Ici, construire le code chiffre par chiffre en tenant compte des contraintes :

1er chiffre \(c_1\) : différent de 0 → combien de choix ?
2ème chiffre \(c_2\) : différent de \(c_1\) → combien de choix parmi les 10 chiffres ?
3ème chiffre \(c_3\) : différent de \(c_1\) et \(c_2\) → ?
4ème chiffre \(c_4\) : différent des trois précédents → ?

💡 L'ordre des chiffres compte (un code est un quadruplet ordonné). La réponse 5 040 correspond à \(10 \times 9 \times 8 \times 7\) sans la contrainte sur le premier chiffre : est-ce le bon calcul ?

Un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\) (ordre important, sans répétition) :

\[A_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)!} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-p+1)\]

Ici, les chiffres \(c_2, c_3, c_4\) sont un arrangement de 3 chiffres parmi les 9 restants (après avoir fixé \(c_1\)).

Affirmation 4 — Espérance d'une loi discrète

Lorsqu'une personne dispose d'un audioguide, elle peut choisir parmi trois parcours :

un premier d'une durée de cinquante minutes,
un deuxième d'une durée d'une heure et vingt minutes,
un troisième d'une durée d'une heure et quarante minutes.

Le temps de parcours peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous :

\(x_i\)	50 min	1 h 20 min	1 h 40 min
\(P(X = x_i)\)	0,1	0,6	0,3

Affirmation 4 : L'espérance de \(X\) est 77 minutes.

Méthodes de cours

Définition : \(E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)\)

Attention à exprimer toutes les valeurs dans la même unité :

50 min = 50 min
1 h 20 min = ? min
1 h 40 min = ? min

Puis calculer \(E(X) = 50 \times 0{,}1 + (\ldots) \times 0{,}6 + (\ldots) \times 0{,}3\).

💡 1 h 20 min ≠ 120 min. Bien convertir : 1 h = 60 min. Comparer ensuite le résultat obtenu avec 77 minutes.

Avant tout calcul d'espérance, vérifier que \(\sum_i P(X = x_i) = 1\) :

\(0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}3 = 1\) ✓

C'est une condition nécessaire pour qu'un tableau de loi soit cohérent.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Métropole
9 septembre 2025 — Sujet 1

Partie A — Résolution de l'équation différentielle

Méthodes de cours

Partie B — Modèle de la glycémie

Méthodes de cours

Partie A — Perpendicularité et coplanarité

Méthodes de cours

Partie B — Coordonnées dans le repère du cube

Méthodes de cours

Partie A — Suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = \sqrt{3u_n - 2}\)

Méthodes de cours

Partie B — Suite \((v_n)\) définie par \(v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}\)

Méthodes de cours

Partie C — Synthèse : encadrement des deux suites

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Codes de validation

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Probabilité conditionnelle

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Loi binomiale

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Espérance d'une loi discrète

Méthodes de cours

Bac Métropole9 septembre 2025 — Sujet 1

Partie A — Résolution de l'équation différentielle

Méthodes de cours

Partie B — Modèle de la glycémie

Méthodes de cours

Partie A — Perpendicularité et coplanarité

Méthodes de cours

Partie B — Coordonnées dans le repère du cube

Méthodes de cours

Partie A — Suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = \sqrt{3u_n - 2}\)

Méthodes de cours

Partie B — Suite \((v_n)\) définie par \(v_{n+1} = 3 - \dfrac{2}{v_n}\)

Méthodes de cours

Partie C — Synthèse : encadrement des deux suites

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Codes de validation

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Probabilité conditionnelle

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Loi binomiale

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Espérance d'une loi discrète

Méthodes de cours

Bac Métropole
9 septembre 2025 — Sujet 1