Guide de résolution — Bac Métropole J1 2025

Questions 1 à 4

Au sein de la population française :

45 % des individus sont de groupe A, dont 85 % de rhésus positif ;
10 % sont de groupe B, dont 84 % de rhésus positif ;
3 % sont de groupe AB, dont 82 % de rhésus positif.

On note \(A, B, AB, O\) les évènements de groupe sanguin et \(R\) l'évènement « rhésus positif ».

Recopier et compléter l'arbre de probabilités.

Montrer que \(p(B \cap R) = 0{,}084\). Interpréter dans le contexte.
On précise que \(p(R) = 0{,}8397\). Montrer que \(p_O(R) = 0{,}83\).
Le groupe O rhésus négatif est « donneur universel ». Montrer que \(p(\text{donneur universel}) = 0{,}0714\).

Méthodes de cours

Structure : 4 premières branches (A, B, AB, O) avec leurs probabilités, puis 2 branches (R, \(\overline{R}\)) pour chaque groupe.

Branche A : probabilité 0,45 ; branche B : 0,10 ; branche AB : 0,03
Groupe O : \(p(O) = 1 - 0{,}45 - 0{,}10 - 0{,}03 = 0{,}42\)
Les probabilités des secondes branches sont conditionnelles au groupe

💡 La somme des probabilités sur les premières branches doit valoir 1. Calcule \(p(O)\) par complémentarité.

Formule : \(p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)\)

Sur l'arbre, la probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches.

\(p(B \cap R) = p(B) \times p_B(R) = 0{,}10 \times 0{,}84 = 0{,}084\)

💡 Interprétation : 8,4 % de la population française est de groupe B rhésus positif.

Probabilité totale : \(p(R) = \sum_{\text{groupes}} p(\text{groupe}) \times p_{\text{groupe}}(R)\)

\(p(R) = 0{,}45 \times 0{,}85 + 0{,}10 \times 0{,}84 + 0{,}03 \times 0{,}82 + 0{,}42 \times p_O(R)\)

Pour trouver \(p_O(R)\) : on connaît \(p(R) = 0{,}8397\), on résout l'équation.

💡 Isole \(p_O(R)\) dans l'équation de probabilité totale, puis vérifie que tu obtiens 0,83.

Donneur universel = groupe O et rhésus négatif, soit \(O \cap \overline{R}\).

\(p(O \cap \overline{R}) = p(O) \times p_O(\overline{R})\)
\(= 0{,}42 \times (1 - 0{,}83) = 0{,}42 \times 0{,}17 = 0{,}0714\)

💡 \(p_O(\overline{R}) = 1 - p_O(R)\) par complémentarité.

Question 5 — Loi binomiale

On prélève un échantillon de 100 personnes. On note \(X\) le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Déterminer à \(10^{-3}\) près la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels dans cet échantillon.
Montrer que \(E(X) = 7{,}14\) et que \(V(X) = 6{,}63\) à \(10^{-2}\) près.

Méthodes de cours

Conditions (schéma de Bernoulli) :

\(n\) épreuves identiques et indépendantes
Chaque épreuve a deux issues : succès (prob. \(p\)) ou échec (prob. \(1-p\))

Ici : \(n = 100\), succès = « personne est donneuse universelle », \(p = 0{,}0714\)

Le tirage est assimilé à un tirage avec remise (population suffisamment grande).

Donc \(X \sim \mathcal{B}(100 ; 0{,}0714)\).

💡 Justifie bien les 4 conditions : épreuves identiques, indépendantes, deux issues, même probabilité à chaque tirage.

Formule : \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

Pour \(P(X \leq 7)\) : utiliser la calculatrice ou la table de la loi binomiale.

\(P(X \leq 7) = \sum_{k=0}^{7} P(X = k)\)

💡 Sur calculatrice : fonction loi binomiale cumulative (binomcdf ou FCnormale selon modèle).

Formules pour \(X \sim \mathcal{B}(n ; p)\) :

\(E(X) = np = 100 \times 0{,}0714 = 7{,}14\)
\(V(X) = np(1-p) = 100 \times 0{,}0714 \times 0{,}9286 \approx 6{,}63\)

💡 Ces formules sont à connaître par cœur : \(E = np\) et \(V = np(1-p)\). L'écart-type est \(\sigma = \sqrt{V(X)}\).

Question 6 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On collecte dans \(N\) villes, avec \(X_i\) le nombre de donneurs universels dans la ville \(i\). On définit :

\[M_N = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_N}{N}\]

Que représente \(M_N\) dans le contexte de l'exercice ?
Calculer \(E(M_N)\).
Montrer que \(V(M_N) = \dfrac{6{,}63}{N}\).
Déterminer la plus petite valeur de \(N\) pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que \(P(7 < M_N < 7{,}28) \geqslant 0{,}95\).

Méthodes de cours

Linéarité de l'espérance : \(E\!\left(\frac{X_1 + \cdots + X_N}{N}\right) = \frac{NE(X_1)}{N} = E(X_1) = 7{,}14\)

Variance : Si les \(X_i\) sont indépendantes de même variance \(\sigma^2\) :

\[V(M_N) = V\!\left(\frac{\sum X_i}{N}\right) = \frac{N \cdot V(X_1)}{N^2} = \frac{V(X_1)}{N} = \frac{6{,}63}{N}\]

💡 Pour une constante \(a\) : \(V(aX) = a^2 V(X)\). Ici \(a = \frac{1}{N}\), donc \(V\!\left(\frac{\sum X_i}{N}\right) = \frac{1}{N^2} \cdot N V(X_1)\).

Énoncé : Pour tout \(\varepsilon > 0\) :

\[P(|X - E(X)| \geqslant \varepsilon) \leqslant \frac{V(X)}{\varepsilon^2}\]

Ou de manière équivalente : \(P(|X - E(X)| < \varepsilon) \geqslant 1 - \dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}\)

Application ici :

\(P(7 < M_N < 7{,}28)\) = \(P(|M_N - 7{,}14| < 0{,}14)\)
On veut cette proba \(\geqslant 0{,}95\), soit \(\dfrac{6{,}63}{N \times 0{,}14^2} \leqslant 0{,}05\)

💡 Note que \(7{,}14 - 7 = 7{,}28 - 7{,}14 = 0{,}14\), donc l'intervalle est centré en \(E(M_N)\). Cela confirme qu'on peut utiliser Bienaymé-Tchebychev avec \(\varepsilon = 0{,}14\).

Partie A — Lectures graphiques

On a tracé la courbe \(\mathcal{C}_f\), la tangente \(T_A\) en A(1 ; 2) passant par C(3 ; 0), et la tangente \(T_B\) en B(e ; e).

Déterminer le nombre dérivé \(f'(1)\).
Combien de solutions l'équation \(f'(x) = 0\) admet-elle dans l'intervalle \(]0~;~3]\) ?
Quel est le signe de \(f''(0{,}2)\) ?

Méthodes de cours

\(f'(1)\) est la pente de la tangente \(T_A\) au point A(1 ; 2).

La tangente passe par A(1 ; 2) et C(3 ; 0) :

\[f'(1) = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1\]

💡 Pente d'une droite passant par deux points : \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

\(f'(x) = 0\) signifie que la tangente à \(\mathcal{C}_f\) est horizontale.

Sur le graphique, compter les points où la courbe a une tangente horizontale (maximum/minimum locaux).

💡 Observe aussi le sens de variation de la courbe : \(f'\) s'annule aux changements de monotonie.

Règle :

\(f'' > 0\) : courbe convexe (tournée vers le bas, « souriante »)
\(f'' < 0\) : courbe concave (tournée vers le haut, « triste »)

En \(x = 0{,}2\) : observer si la courbe est au-dessus ou en-dessous de ses tangentes.

💡 Convexe = la courbe est en-dessous de ses tangentes. Concave = la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Partie B — Étude algébrique de f

On admet que \(f(x) = x\bigl[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\bigr]\) sur \(]0~;~+\infty[\).

Résoudre \(2X^2 - 3X + 2 = 0\) dans \(\mathbb{R}\). En déduire que \(\mathcal{C}_f\) ne coupe pas l'axe des abscisses.
Déterminer \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\). (La limite en 0 est admise égale à 0.)
On admet que \(f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1\).
1. Montrer que \(f''(x) = \dfrac{1}{x}(4\ln x + 1)\).
2. Étudier la convexité de \(f\) et préciser l'abscisse exacte du point d'inflexion.
3. Montrer que \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(T_B\) sur \(]1~;~+\infty[\).

Méthodes de cours

Pour \(2X^2 - 3X + 2\) : calculer \(\Delta = b^2 - 4ac = 9 - 16 = -7 < 0\)

Comme \(\Delta < 0\) et \(a = 2 > 0\), le trinôme est toujours positif.

Conséquence pour \(f\) : \(x > 0\) et \(2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 > 0\), donc \(f(x) > 0\) pour tout \(x > 0\).

💡 \(f(x) = 0\) nécessiterait \(x = 0\) (exclu du domaine) ou \(2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0\) (impossible car \(\Delta < 0\)).

Théorème : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^n}{x} = 0\) pour tout entier \(n\).

\(f(x) = x\bigl[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\bigr]\)

Le terme dominant est \(2x(\ln x)^2\)
\(\lim_{x \to +\infty} x(\ln x)^2 = +\infty\) (le terme polynomial domine lentement)

💡 Même si \(\ln x\) croit moins vite que \(x\), le produit \(x \cdot (\ln x)^2 \to +\infty\). Factoriser par \(x\) et utiliser la croissance comparée.

On dérive \(f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1\) terme par terme.

\(\bigl[2(\ln x)^2\bigr]' = 2 \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{4\ln x}{x}\)
\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)

\(f''(x) = \frac{4\ln x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}(4\ln x + 1)\)

💡 Dérivée de \((\ln x)^2\) : utilise la règle de la fonction composée : \((u^2)' = 2u \cdot u'\) avec \(u = \ln x\), \(u' = \frac{1}{x}\).

Signe de \(f''(x) = \frac{1}{x}(4\ln x + 1)\) :

\(\frac{1}{x} > 0\) pour \(x > 0\)
\(4\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = -\frac{1}{4} \Leftrightarrow x = e^{-1/4}\)

Point d'inflexion en \(x = e^{-1/4}\).

💡 Point d'inflexion = changement de convexité = zéro de \(f''\) avec changement de signe.

Méthode : étudier le signe de \(f(x) - T_B(x)\) sur \(]1~;~+\infty[\).

Si la différence est positive → la courbe est au-dessus de la tangente
Utiliser la convexité : sur un intervalle convexe, la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

💡 Une courbe convexe est toujours au-dessus de ses tangentes. Vérifie la convexité sur \(]1~;~+\infty[\) grâce au signe de \(f''\).

Partie C — Calcul d'aire

Justifier que la tangente \(T_B\) a pour équation réduite \(y = 2x - \mathrm{e}\).
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : \[\int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\, \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}\]
On note \(\mathcal{A}\) l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par \(C_f\), la tangente \(T_B\), et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = e\).
On admet que \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x(\ln x)^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{e}^2 - 1}{4}\). En déduire la valeur exacte de l'aire \(\mathcal{A}\) en unité d'aire.

Méthodes de cours

Formule : Tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) :

\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]

En B(e ; e) : calculer \(f'(\mathrm{e})\) avec \(f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1\).

\(f'(\mathrm{e}) = 2 \times 1^2 + 1 - 1 = 2\)
\(T_B : y = 2(x - \mathrm{e}) + \mathrm{e} = 2x - \mathrm{e}\)

💡 \(\ln(\mathrm{e}) = 1\) par définition du logarithme néperien.

Formule : \(\displaystyle\int_a^b u \cdot v'\,\mathrm{d}x = \bigl[u \cdot v\bigr]_a^b - \int_a^b u' \cdot v\,\mathrm{d}x\)

Pour \(\int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x\) :

Choisir \(u = \ln x \Rightarrow u' = \frac{1}{x}\)
Choisir \(v' = x \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\)

\[\int_1^e x \ln x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x\]

💡 Choisis \(u\) = la fonction qui devient plus simple en dérivant (\(\ln x\) devient \(\frac{1}{x}\)) et \(v'\) = celle qui s'intègre facilement (\(x\) donne \(\frac{x^2}{2}\)).

Formule : \(\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^e \bigl[f(x) - T_B(x)\bigr]\,\mathrm{d}x\)

\(f(x) - T_B(x) = x\bigl[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\bigr] - (2x - \mathrm{e})\)

Développer puis intégrer en utilisant les résultats des questions précédentes :

\(\int_1^e x(\ln x)^2\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2 - 1}{4}\) (admis)
\(\int_1^e x\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}\) (montré en Q2)

💡 La courbe est au-dessus de la tangente sur \(]1~;~e[\) (prouvé en partie B), donc la différence est positive : pas de valeur absolue nécessaire.

Énoncé — Vrai ou Faux (justifier)

On munit l'espace d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)\).

On considère les points points A\((-1; 0; 5)\) et B\((3; 2; -1)\).
- Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite (AB) est \[\left\{\begin{array}{l} x = 3 - 2t\\ y = 2 - t\\ z = -1 + 3t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}\]
- Affirmation 2 : Le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}\) est normal au plan (OAB).
On considère :
la droite \(d\) : \(\left\{\begin{array}{l}x = 15+k\\y = 8-k\\z = -6+2k\end{array}\right., \; k \in \mathbb{R}\) et la droite \(d'\) : \(\left\{\begin{array}{l}x = 1+4s\\y = 2+4s\\z = 1-6s\end{array}\right.,\; s\in \mathbb{R}\)
- Affirmation 3 : Les droites \(d\) et \(d'\) ne sont pas coplanaires.
On considère le plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(x - y + z + 1 = 0\).
- Affirmation 4 : La distance du point C\((2; -1; 2)\) au plan \(\mathcal{P}\) est égale à \(2\sqrt{3}\).

Méthodes de cours

Méthode : Vérifier que le vecteur directeur et un point de la droite sont corrects.

Vecteur directeur \(\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}4\\2\\-6\end{pmatrix}\), ou un vecteur colinéaire \(\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\)
Le vecteur dans la paramétrique proposée est \(\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}\) = \(-1 \times \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\) ✓
Point de base : B(3 ; 2 ; -1) ✓ (quand \(t = 0\))

💡 Un vecteur directeur peut être \(\vec{AB}\) ou tout multiple non nul. Vérifie le point de base en posant \(t = 0\).

Méthode : \(\vec{n}\) est normal au plan (OAB) si \(\vec{n} \perp \vec{OA}\) et \(\vec{n} \perp \vec{OB}\).

\(\vec{OA} = (-1, 0, 5)\) → vérifier \(\vec{n} \cdot \vec{OA} = 5 \times (-1) + (-2) \times 0 + 1 \times 5 = -5 + 5 = 0\) ✓
\(\vec{OB} = (3, 2, -1)\) → vérifier \(\vec{n} \cdot \vec{OB} = 5 \times 3 + (-2) \times 2 + 1 \times (-1) = 15 - 4 - 1 = 10 \neq 0\) ✗

💡 Il faut vérifier les deux produits scalaires. Un seul suffit à invalider l'affirmation.

Droites gauches = ni parallèles, ni sécantes.

Méthode :

Vérifier si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles ?)
Sinon, chercher si le système d'intersection a une solution
Si le système est incompatible → droites gauches

Vecteurs directeurs : \(\vec{d} = (1,-1,2)\) et \(\vec{d'} = (4,4,-6)\). Non colinéaires.

💡 Pose le système \(15 + k = 1 + 4s\), etc. Si le système en \((k,s)\) est incompatible → droites gauches (vraie) ; compatible → droites sécantes (fausse).

Formule : Distance du point \(M(x_0, y_0, z_0)\) au plan \(ax + by + cz + d = 0\) :

\[d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

Plan : \(x - y + z + 1 = 0\), point C(2 ; -1 ; 2) :

\[d = \frac{|2 - (-1) + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

💡 Identifie \(a, b, c, d\) depuis l'équation du plan, puis applique la formule directement avec les coordonnées du point.

Partie A — Modèle discret

La posidonie, algue marine, recouvre \(u_0 = 1\) ha de fond marin au 1er juillet 2024. La zone étudiée a une surface totale de 20 ha. On note \(u_n \) la superficie de la zone, en hectare, recouverte par la posidonie au 1er juillet 2024. Ainsi , pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :

\[u_{n+1} = -0{,}02\,u_n^2 + 1{,}3\,u_n\]

Calculer la superficie au 1er juillet 2025.
Soit \(h(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}3x\) sur \([0~;~20]\), admise croissante.
1. Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20\).
2. En déduire que \((u_n)\) converge. On note \(L\) sa limite.
3. Justifier que \(L = 15\).
Quand la posidonie dépassera-t-elle 14 ha ?
1. Justifier sans calcul que cela se produira.
2. Compléter l'algorithme Python pour qu'il affiche la réponse à la question :
def seuil():
n = 0
u = 1
while ...... :
n = ......
u = ......
return n

Méthodes de cours

Structure de la preuve (Q2a) :

Initialisation : Vérifier que \(1 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 20\) pour \(n = 0\).
Hérédité : Supposer \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20\), montrer la propriété au rang \(n+1\).

Clé : \(h\) est croissante sur \([0~;~20]\), donc \(1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1}\) implique \(h(1) \leqslant h(u_n) \leqslant h(u_{n+1})\), c'est-à-dire \(u_2 \leqslant u_1 \leqslant u_2\)... Vérifier que \(h(x) \leqslant 20\) sur \([0~;~20]\).

💡 Montre d'abord que \(h(x) \leqslant 20\) pour \(x \in [0~;~20]\) (maximum de \(h\) sur l'intervalle).

Théorème : Toute suite croissante et majorée converge.

La suite \((u_n)\) est :

Croissante : \(u_n \leqslant u_{n+1}\) (montré en Q2a)
Majorée : \(u_n \leqslant 20\) (montré en Q2a)

Donc \((u_n)\) converge vers une limite \(L \leqslant 20\).

💡 La limite \(L\) vérifie \(L = h(L)\) (point fixe). Résoudre \(-0{,}02L^2 + 1{,}3L = L\) → \(L = 0\) ou \(L = 15\). Comme \(u_n \geqslant 1 > 0\), on conclut \(L = 15\).

Logique : Tant que la condition n'est pas atteinte, incrémenter.

def seuil():
  n = 0
  u = 1
  while u <= 14 :
    n = n + 1
    u = -0.02*u**2 + 1.3*u
  return n

💡 La condition d'arrêt est \(u > 14\), donc la boucle continue tant que \(u \leqslant 14\). \(n\) est incrémenté avant \(u\) pour comptabiliser l'année courante.

Partie B — Modèle continu

\(f(t)\) est la superficie en ha à l'instant \(t\) (années), avec \(f(0) = 1\), \(f\) ne s'annule pas, et vérifie :

\[(E_1) : \quad y' = 0{,}02\,y(15 - y)\]

Soit \(g(t) = \dfrac{1}{f(t)}\).

Montrer que \(g\) est solution de \((E_2) : y' = -0{,}3y + 0{,}02\).
Donner les solutions de \((E_2)\).
En déduire que \(f(t) = \dfrac{15}{14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1}\).
Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)\).
Résoudre \(f(t) > 14\) sur \([0~;~+\infty[\) et interpréter.

Méthodes de cours

Poser \(g = \frac{1}{f}\) : calculer \(g'\) par dérivation d'une fraction.

\(g' = \left(\frac{1}{f}\right)' = -\frac{f'}{f^2}\)

Or \(f' = 0{,}02f(15-f)\), donc :

\[g' = -\frac{0{,}02f(15-f)}{f^2} = -0{,}02\frac{15-f}{f} = -0{,}02\left(\frac{15}{f} - 1\right)\]

\(= -0{,}3g + 0{,}02\) (puisque \(\frac{1}{f} = g\))

💡 Ce type de changement transforme une équation non linéaire (Bernoulli) en une équation linéaire du premier ordre, résolvable par la méthode classique.

Équation : \(y' = -0{,}3y + 0{,}02\) (linéaire à coefficients constants)

Solution homogène : \(y' = -0{,}3y\) → \(y_h = C\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}\)

Solution particulière constante : \(y' = 0\) → \(0 = -0{,}3y_p + 0{,}02\) → \(y_p = \frac{0{,}02}{0{,}3} = \frac{1}{15}\)

Solution générale : \(g(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + \frac{1}{15}\)

💡 Utilise la condition initiale \(g(0) = \frac{1}{f(0)} = \frac{1}{1} = 1\) pour déterminer \(C\).

Condition initiale : \(g(0) = 1 \Rightarrow C + \frac{1}{15} = 1 \Rightarrow C = \frac{14}{15}\)

Donc \(g(t) = \frac{14}{15}\mathrm{e}^{-0{,}3t} + \frac{1}{15} = \frac{14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1}{15}\)

Et \(f(t) = \frac{1}{g(t)} = \frac{15}{14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1}\) ✓

💡 Vérifie : \(f(0) = \frac{15}{14+1} = 1\) ✓ et \(\lim_{t\to+\infty} f(t) = \frac{15}{0+1} = 15\), cohérent avec la limite de la suite.

Résoudre : \(\frac{15}{14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}+1} > 14\)

Dénominateur positif → \(15 > 14(14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}+1)\)
\(15 > 196\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 14\) → \(1 > 196\,\mathrm{e}^{-0{,}3t}\)
\(\mathrm{e}^{-0{,}3t} < \frac{1}{196}\) → \(-0{,}3t < \ln\!\left(\frac{1}{196}\right) = -\ln 196\)
\(t > \frac{\ln 196}{0{,}3}\)

💡 Lors du passage à \(\ln\), attention au sens de l'inégalité quand on divise par \(-0{,}3 < 0\).

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Guide de résolutionMétropole — 17 juin 2025

Questions 1 à 4

Méthodes de cours

Question 5 — Loi binomiale

Méthodes de cours

Question 6 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Méthodes de cours

Partie A — Lectures graphiques

Méthodes de cours

Partie B — Étude algébrique de f

Méthodes de cours

Partie C — Calcul d'aire

Méthodes de cours

Énoncé — Vrai ou Faux (justifier)

Méthodes de cours

Partie A — Modèle discret

Méthodes de cours

Partie B — Modèle continu

Méthodes de cours

Guide de résolution
Métropole — 17 juin 2025