Guide de résolution — Bac Calédonie 2025

Énoncé

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1 et le point I défini par \(\vec{FI} = \frac{1}{3}\vec{FB}\).

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace \(\left(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)\).

Affirmation 1 : On considère le triangle HAC. Le triangle HAC est un triangle rectangle.
Affirmation 2 : On considère les droites (HF) et (DI). Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.
Affirmation 3 : On considère un réel \(\alpha\) appartenant à l'intervalle \(]0; \pi[\). On considère le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix} \sin(\alpha) \\ \sin(\pi - \alpha) \\ \sin(-\alpha) \end{pmatrix}\). Le vecteur \(\vec{u}\) est un vecteur normal au plan (FAC).
Affirmation 4 : Le cube ABCDEFGH possède 8 sommets. On s'intéresse au nombre \(N\) de segments que l'on peut construire en reliant 2 sommets distincts quelconques du cube. \(N = \frac{8^2}{2}\).

Méthodes de cours

Méthode : Utiliser le produit scalaire

Placer dans le repère : \(H(0, 0, 1)\), \(A(0, 0, 0)\), \(C(1, 1, 0)\)
Calculer \(\vec{AH} \cdot \vec{AC}\) et vérifier si = 0

💡 H est au-dessus d'A, C est à la diagonale. Teste la perpendicularité de deux vecteurs différents.

Stratégie : Établir les représentations paramétriques des droites et chercher une intersection

Droite (HF) : \(H + s\vec{HF}\)
Droite (DI) : \(D + t\vec{DI}\)
Vérifier si \(\vec{HF}\) et \(\vec{DI}\) sont colinéaires ou non.
Chercher s'il existe un unique couple (s, t) solution du système formé par les deux représentations paramétriques.

💡 I tel que \(\vec{FI} = \frac{1}{3}\vec{FB}\), donc \(x_I = x_F + \frac{1}{3}(x_B - x_F)\). Idem en y et en z.

Méthode : Simplifier \(\vec{u}\) avec les identités trigonométriques, puis tester la perpendicularité

\(\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)\), \(\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)\)
\(\vec{u} = \sin(\alpha)(1, 1, -1)\)
Vérifier \(\vec{u} \cdot \vec{FA} = 0\) et \(\vec{u} \cdot \vec{FC} = 0\)

💡 Simplifie d'abord le vecteur \(\vec{u}\), puis teste sa perpendicularité avec deux vecteurs du plan (FAC).

Combinatoire : Choisir 2 sommets parmi 8 (paires non ordonnées)

\(C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2} = 28\)
Compare avec \(\frac{8^2}{2} = 32\)

💡 28 ≠ 32. La formule \(\frac{n^2}{2}\) compterait deux fois les segments avec eux-mêmes.

Partie A

Dans le repère orthonormé (O ; I, J), on a représenté :

la droite d'équation \(y = x\) ;
la droite d'équation \(y = 1\) ;
la droite d'équation \(x = 1\) ;
la parabole d'équation \(y = x^2\).

On peut ainsi partager le carré OIKJ en trois zones.

Démontrer les résultats figurant dans le tableau ci-dessous.

ZONE	ZONE 1	ZONE 2	ZONE 3
AIRE	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{6}\)

Méthodes de cours

Formule : \(A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)

ZONE 1 : Entre \(y = x\) (bas) et \(y = 1\) (haut), \(x \in [0; 1]\)
ZONE 2 : Sous \(y = x^2\), \(x \in [0; 1]\)
ZONE 3 : Entre \(y = x^2\) (bas) et \(y = x\) (haut), \(x \in [0; 1]\)

💡 Le carré OIKJ a sommets O(0,0), I(1,0), K(1,1), J(0,1). Vérifie que la somme des trois aires vaut bien 1.

Énoncé

Fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = \ln\!\left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}} + 2\right)\]

Suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = \ln(9)\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(f(2\ln(2)) = 2\ln(2)\).
Montrer que \(u_1 = \ln(5)\).
Par récurrence, montrer que \(2\ln(2) \leq u_{n+1} \leq u_n\) pour tout entier \(n\).
En déduire que \((u_n)\) converge.
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(X^2 - X - 2 = 0\).
2. En déduire les solutions de \(\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} - 2 = 0\).
3. En déduire les solutions de \(f(x) = x\).
4. Déterminer la limite de \((u_n)\).

Méthodes de cours

Méthode : Calculer \(f'(x)\) et montrer \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\)

\(f'(x) = \dfrac{\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}}{\mathrm{e}^{\frac{x}{2}} + 2} > 0\) toujours

Point fixe : \(f(2\ln(2)) = \ln(\mathrm{e}^{\ln(2)} + 2) = \ln(2+2) = \ln(4) = 2\ln(2)\) ✓

💡 \(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}} > 0\) toujours, donc numérateur et dénominateur sont strictement positifs.

Structure :

Init : Vérifier \(2\ln(2) \leq u_1 \leq u_0\)
Hérédité : Supposer \(2\ln(2) \leq u_n \leq u_{n-1}\), appliquer \(f\) (croissante)
Conclusion : La propriété est héréditaire

Convergence : \((u_n)\) décroissante et minorée par \(2\ln(2)\) → converge

💡 Si \(f\) croissante et \(2\ln(2)\) est point fixe : \(2\ln(2) \leq u_n \Rightarrow f(2\ln(2)) \leq f(u_n)\) c'est-à-dire \(2\ln(2) \leq u_{n+1}\).

Question 6b : Poser \(y = \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\)

\(\mathrm{e}^x = y^2\) donc l'équation devient \(y^2 - y - 2 = 0\)
Solutions : \(y = 2\) ou \(y = -1\)
Seul \(y = 2\) est valide (expo \(> 0\))
\(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}} = 2 \Rightarrow x = 2\ln(2)\)

💡 La limite de \((u_n)\) est le point fixe \(2\ln(2)\), unique solution de \(f(x) = x\).

Énoncé

Fonction \(f\) définie sur \(]0; +\infty[\) par : \[f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} + 1\]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

Déterminer les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\). En déduire les éventuelles asymptotes à \(\mathcal{C}_f\).
Montrer que : \(f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\)
En déduire le tableau de variation de \(f\) sur \(]0; +\infty[\).
1. Montrer que \(f(x) = 0\) possède une unique solution \(\alpha\) sur \(]0; +\infty[\).
2. Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude 0,01.
3. En déduire le signe de \(f\) sur \(]0; +\infty[\).
Soit \(g(x) = \ln(x)\). On note M le point de \(\mathcal{C}_g\) d'abscisse \(x\) et OM la distance O–M.
1. Exprimer \(\text{OM}^2\) en fonction de \(x\).
2. Montrer que \(\text{OM}^2\) admet un minimum en \(\alpha\).
3. Exprimer la distance \(d\) du point O à la courbe \(\mathcal{C}_g\) à l'aide de \(\alpha\).

Méthodes de cours

En \(0^+\) : \(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^+\) → \(\lim f = -\infty\)

En \(+\infty\) : \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0\) → \(\lim f = 0 + 1 = 1\)

Asymptote : droite horizontale \(y = 1\)

💡 Croissance comparée : \(x^n \gg \ln(x)\) quand \(x \to +\infty\). Pour 0⁺ : utilise \(x \ln(x) \to 0\).

Formule : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)

\(u = \ln(x) \Rightarrow u' = \frac{1}{x}\), \(v = x^2 \Rightarrow v' = 2x\)
\(\left[\frac{\ln(x)}{x^2}\right]' = \frac{\frac{x^2}{x} - 2x\ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\)

💡 Signe de \(f'\) dépend de \(1 - 2\ln(x)\). Résous \(1 - 2\ln(x) = 0\) pour trouver le point critique.

Corollaire du TVI : Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors \(f(x) = k\) a au plus une solution.

\(f\) continue sur \(]0; +\infty[\)
\(\lim_{x \to 0^+} f = -\infty < 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f = 1 > 0\)
\(f\) est strictement monotone sur chaque intervalle → unique solution \(\alpha\)

💡 Pour l'encadrement, calcule \(f\) en quelques valeurs jusqu'à encadrer \(\alpha\) à 0,01 près.

Distance OM : M a pour coordonnées \((x, \ln(x))\), donc :

\(\text{OM}^2 = x^2 + (\ln(x))^2\)

Minimiser : Poser \(h(x) = x^2 + (\ln x)^2\), calculer \(h'(x)\)

\(h'(x) = 2x + \frac{2\ln(x)}{x} = \frac{2(x^2 + \ln x)}{x}\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 + \ln(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0\)

💡 Le minimum de OM correspond exactement à la solution \(\alpha\) de \(f(x) = 0\). Donc \(d = \sqrt{\alpha^2 + (\ln \alpha)^2}\).

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Nouvelle-Calédonie — 21 nov. 2025

Énoncé

Méthodes de cours

Partie A

Méthodes de cours

Partie B

Méthodes de cours

Partie C

Méthodes de cours

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