Guide de résolution — Bac Asie J2 12 juin 2025

Partie A — Étude d'un exemple (La Réunion)

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à \(10^{-3}\) dans cet exercice.

Un test a été mis au point pour le dépistage du virus du chikungunya. Le laboratoire fabricant fournit les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de \(0{,}999\) ;
la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de \(0{,}005\).

Un individu est choisi au hasard. On définit :

\(M\) : « l'individu est atteint du chikungunya » ;
\(T\) : « le test de l'individu est positif ».

Le test est fiable si \(P_T(M) > 0{,}95\).

Donner les probabilités \(P_M(T)\) et \(P_{\overline{M}}(T)\).

Fin 2005, \(270 000\) personnes ont été infectées sur \(750 000\) habitants à La Réunion.

Donner la valeur exacte de \(P(M)\).
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

Calculer la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.
Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
Calculer la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.
Peut-on estimer que ce test est fiable ? Argumenter.

Méthodes de cours

Les branches de l'arbre portent les probabilités conditionnelles fournies par l'énoncé :

\(P(M) = 270\,000 / 750\,000\) → à calculer exactement (Q2)
\(P_M(T) = 0{,}999\) et \(P_M(\overline{T}) = 1 - 0{,}999 = 0{,}001\)
\(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}005\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}995\)

La probabilité d'une feuille = produit des probabilités sur le chemin menant à cette feuille.

💡 Sur chaque nœud intermédiaire, la somme des branches sortantes vaut 1.

\(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l'univers. Par la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)\]

avec \(P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T)\) et \(P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(T)\).

Pour obtenir \(P_T(M)\) (« atteint sachant positif ») :

\[P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}\]

Les deux quantités ont déjà été calculées aux questions 4 et 5.

💡 Comparer ensuite \(P_T(M)\) à \(0{,}95\) pour statuer sur la fiabilité.

Partie B — Dépistage sur une population cible (proportion \(p\) quelconque)

Dans cette partie, on note \(p\) la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible. On cherche à tester la fiabilité du test en fonction de \(p\).

Recopier, en l'adaptant, l'arbre pondéré de la question A3 en tenant compte des nouvelles données.

Exprimer la probabilité \(P(T)\) en fonction de \(p\).
Montrer que \(P_T(M) = \dfrac{999\,p}{994\,p + 5}\).
Pour quelles valeurs de \(p\) peut-on considérer que ce test est fiable ?

Méthodes de cours

En appliquant la formule des probabilités totales avec la variable \(p\) :

\[P(T) = p \times 0{,}999 + (1-p) \times 0{,}005\]

Développer et simplifier pour regrouper les termes en \(p\).

💡 On obtient \(P(T) = 0{,}994p + 0{,}005\). Multiplier par 1000 pour travailler avec des entiers si besoin.

Par Bayes : \(P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}999\,p}{0{,}994\,p + 0{,}005}\).

Multiplier numérateur et dénominateur par 1000 :

\[P_T(M) = \dfrac{999\,p}{994\,p + 5}\]

Le test est fiable si \(P_T(M) > 0{,}95\), soit :

\[\dfrac{999\,p}{994\,p + 5} > 0{,}95\]

Comme \(994p + 5 > 0\) pour \(p > 0\), multiplier des deux côtés (signe conservé) :

\(999p > 0{,}95 \times (994p + 5)\). Développer et isoler \(p\).

💡 On trouve \(p > 0{,}087\) environ. Le test devient fiable dès que plus de 8,7 % de la population est atteinte.

Partie A — Suite \((u_n)\)

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 30\) et, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,u_n + 10\]

Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n = u_n - 20\).

Calculer les valeurs exactes de \(u_1\) et \(u_2\).
Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\) entier naturel.
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n = 20 + 10\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). Justifier la réponse.

Méthodes de cours

Une suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q\) si \(v_{n+1} = q \cdot v_n\) pour tout \(n\).

Exprimer \(v_{n+1}\) à partir de sa définition :

\[v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = \left(\tfrac{1}{2}u_n + 10\right) - 20 = \tfrac{1}{2}u_n - 10\]

Factoriser pour faire apparaître \(v_n = u_n - 20\).

💡 On obtient \(v_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n - 20) = \frac{1}{2}v_n\). Suite géométrique de raison \(q = 1/2\) et \(v_0 = u_0 - 20 = 10\).

Terme général : \(v_n = v_0 \times q^n = 10 \times \left(\tfrac{1}{2}\right)^n\).

Limite : comme \(|q| = 1/2 < 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 0\).

Donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 20\).

💡 20 est le point fixe de la relation de récurrence : si \(u_{n+1} = u_n = \ell\), alors \(\ell = \frac{1}{2}\ell + 10 \Rightarrow \ell = 20\).

Partie B — Suite \((w_n)\)

Soit \((w_n)\) la suite définie par :

\[\begin{cases} w_0 = 45 \\ w_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,w_n + \dfrac{1}{2}\,u_n + 7 \end{cases}\]

Montrer que \(w_1 = 44{,}5\).

On souhaite écrire une fonction Python qui renvoie la valeur du terme \(w_n\) pour une valeur de \(n\) donnée :

def suite(n):
  U = 30
  W = 45
  for i in range(1, n+1):
    U = U/2 + 10
    W = W/2 + U/2 + 7
  return W

L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme \(w_1\). Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme \(w_n\) ?
1. Montrer, par récurrence sur \(n\), que pour tout entier naturel \(n\) : \[w_n = 10n\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 11\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 34\]
2. On admet que pour tout entier naturel \(n \geqslant 4\) : \(0 \leqslant 10n\!\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{10}{n}\). Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite \((w_n)\) ?

Méthodes de cours

La relation donne \(w_1 = \frac{1}{2}w_0 + \frac{1}{2}u_0 + 7 = \frac{45}{2} + \frac{30}{2} + 7\).

Le bug dans le code : la ligne 5 (U = U/2 + 10) calcule \(u_1\) avant la ligne 6 qui calcule \(w_1\). Or \(w_1\) doit utiliser \(u_0 = 30\), pas \(u_1\).

Correction : intervertir les lignes 5 et 6 (calculer W d'abord, puis U).

Pour démontrer la formule pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

Initialisation (\(n=0\)) : vérifier que \(w_0 = 10\times0\times1 + 11\times1 + 34 = 45\) ✓

Hérédité : supposer la formule vraie au rang \(n\). Calculer \(w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n + \frac{1}{2}u_n + 7\) en substituant les expressions connues de \(w_n\) et \(u_n = 20 + 10(1/2)^n\). Factoriser pour retrouver la formule au rang \(n+1\).

💡 L'expression \(10n(1/2)^n\) provient du produit \(n\times(1/2)^n\). Au rang \(n+1\) : \(10n(1/2)^{n+1} + (1/2)^{n+1} = (10n+1)(1/2)^{n+1}\). Vérifier comment les indices évoluent.

On dispose de l'encadrement : \(0 \leqslant 10n\!\left(\tfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{10}{n}\).

Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{10}{n} = 0\) et la suite est positive, par le théorème des gendarmes :

\[\lim_{n\to+\infty} 10n\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 0\]

De même \(\displaystyle\lim 11\left(\tfrac{1}{2}\right)^n = 0\). Donc par somme :

\[\lim_{n\to+\infty} w_n = 0 + 0 + 34 = 34\]

Géométrie dans l'espace — Vrai ou Faux

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)\). On considère :

les points C\((3~;~0~;~0)\), D\((0~;~2~;~0)\), H\((-6~;~2~;~2)\) et J\!\left(\dfrac{-54}{13}~;~\dfrac{62}{13}~;~0\right)\);
le plan \(P\) d'équation cartésienne \(2x + 3y + 6z - 6 = 0\) ;
le plan \(P'\) d'équation cartésienne \(x - 2y + 3z - 3 = 0\) ;
la droite \((d)\) de représentation paramétrique : \(\left\{\begin{array}{lcl} x &=& -8 + \frac{1}{3}t \\ y &=& -1 + \frac{1}{2}t \\ z &=& -4 + t \end{array}\right.\), \(t \in \mathbb{R}\).

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : La droite \((d)\) est orthogonale au plan \(P\) et coupe ce plan en H.

Affirmation 2 : La mesure en degré de l'angle \(\widehat{\mathrm{DCH}}\), arrondie à \(10^{-1}\), est \(17{,}3°\).

Affirmation 3 : Les plans \(P\) et \(P'\) sont sécants et leur intersection est la droite \(\Delta\) de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& 3 - 3t \\ y &=& 0 \\ z &=& t \end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}\]

Affirmation 4 : Le point J est le projeté orthogonal du point H sur la droite \((\mathrm{CD})\).

Méthodes de cours

Orthogonalité : \((d)\) est orthogonale à \(P\) si son vecteur directeur \(\vec{u}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\) de \(P\).

Lire \(\vec{u}\) dans la représentation paramétrique : coefficients de \(t\) → \(\vec{u}\!\left(\tfrac{1}{3} ; \tfrac{1}{2} ; 1\right)\)
Lire \(\vec{n}\) dans l'équation de \(P\) → \(\vec{n}(2 ; 3 ; 6)\)
Vérifier \(\vec{n} = 6\vec{u}\) : colinéaires → \((d) \perp P\)

H dans \(P\) : substituer les coordonnées de H dans \(2x+3y+6z-6\).

H dans \((d)\) : trouver \(t\) tel que les équations paramétriques donnent les coordonnées de H.

L'angle \(\widehat{DCH}\) est l'angle en C entre \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{CH}\) :

\[\cos\!\left(\widehat{DCH}\right) = \dfrac{\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{CD}}{\|\overrightarrow{CH}\|\times\|\overrightarrow{CD}\|}\]

Calculer \(\overrightarrow{CH} = H - C\) et \(\overrightarrow{CD} = D - C\), puis le produit scalaire et les normes.

💡 \(\overrightarrow{CH}(-9;2;2)\) et \(\overrightarrow{CD}(-3;2;0)\). On trouve \(\cos(\widehat{DCH}) = 31/(\sqrt{89}\times\sqrt{13})\) soit \(\approx 24{,}3°\) : l'affirmation 2 est fausse.

Sécance : les plans sont sécants si leurs vecteurs normaux \(\vec{n}(2;3;6)\) et \(\vec{n}'(1;-2;3)\) sont non colinéaires.

Vérifier \(\Delta\) : deux méthodes :

Prendre deux points de \(\Delta\) (par exemple \(t=0\) et \(t=1\)) et vérifier qu'ils appartiennent à \(P\) et \(P'\).
Ou vérifier que le vecteur directeur de \(\Delta\) est orthogonal aux deux normales \(\vec{n}\) et \(\vec{n}'\).

J est le projeté orthogonal de H sur \((\mathrm{CD})\) si et seulement si :

J appartient à la droite \((\mathrm{CD})\) : trouver \(s\) tel que les coordonnées paramétriques de (CD) donnent J.
\(\overrightarrow{HJ}\) est orthogonal à la droite \((\mathrm{CD})\) : \(\overrightarrow{HJ} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\).

💡 Écrire la représentation paramétrique de (CD) à partir de C et \(\overrightarrow{CD}\), puis vérifier les deux conditions ci-dessus pour J.

Partie A — Modélisation de la température

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique. La température (en °C) est modélisée en fonction du temps \(t\) (en minute), sur l'intervalle \([0~;~10]\).

La fonction \(f\) est définie et dérivable sur \([0~;~10]\) et peut s'écrire sous la forme :

\[f(t) = (at + b)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\]

où \(a\) et \(b\) sont deux constantes réelles. La courbe représentative de \(f\) est :

Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l'instant \(t = 0\).
On admet que la valeur exacte de \(f(0)\) est \(40\). En déduire la valeur de \(b\).
On admet que \(f\) vérifie l'équation différentielle \((\mathrm{E}) : y' + 0{,}5\,y = 60\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\). Déterminer la valeur de \(a\).

Méthodes de cours

La valeur initiale est \(f(0) = 40\,°C\).

Sur la courbe, repérer la valeur de \(t > 0\) pour laquelle la courbe recroise la droite horizontale \(y = 40\).

💡 D'après la courbe, ce retour se produit pour \(t \approx 3{,}8\) minutes.

Substituer \(t = 0\) dans \(f(t) = (at + b)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) :

\[f(0) = (a\times 0 + b)\,\mathrm{e}^0 = b\]

Comme \(f(0) = 40\) : \(b = 40\).

Si \(f(t) = (at+40)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\), calculer \(f'(t)\) par la règle du produit :

\(f'(t) = a\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + (at+40)(-0{,}5)\mathrm{e}^{-0{,}5t} = (-0{,}5at + a - 20)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\)

Substituer dans \(f' + 0{,}5f = 60\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) : tous les termes en \(t\) se simplifient, il reste :

\[a\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} = 60\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} \implies a = 60\]

Partie B — Étude de \(f(t) = (60t + 40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\)

On admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(t \in [0~;~10]\) par :

\[f(t) = (60t + 40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\]

Montrer que pour tout réel \(t \in [0~;~10]\) : \(f'(t) = (40 - 30t)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).
1. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \([0~;~10]\). Dresser le tableau de variations de \(f\) en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.
2. Montrer que l'équation \(f(t) = 40\) admet une unique solution \(\alpha\) strictement positive sur l'intervalle \(]0~;~10]\).
3. Donner une valeur approchée de \(\alpha\) au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
On définit la température moyenne (en °C) entre deux temps \(t_1\) et \(t_2\) (en minute) par : \[\dfrac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2} f(t)\,\mathrm{d}t\]
1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : \[\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t = 320 - \dfrac{800}{\mathrm{e}^2}\]
2. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des 4 premières minutes.

Méthodes de cours

\(f = u \cdot v\) avec \(u(t) = 60t+40\) et \(v(t) = \mathrm{e}^{-0{,}5t}\).

\(u'(t) = 60\)
\(v'(t) = -0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\)

\(f'(t) = u'v + uv' = 60\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + (60t+40)(-0{,}5)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\)

Factoriser par \(\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) et développer pour obtenir \((40-30t)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\).

L'exponentielle est toujours positive, donc le signe de \(f'(t)\) est celui de \(40 - 30t\).

\(40 - 30t \geqslant 0 \iff t \leqslant \tfrac{4}{3}\).

Valeurs à calculer :

\(f(0) = 40\)
\(f\!\left(\tfrac{4}{3}\right) = 120\,\mathrm{e}^{-2/3} \approx 61{,}6\) (maximum)
\(f(10) = 640\,\mathrm{e}^{-5} \approx 4{,}3\)

Sur \(\left]0~;~\tfrac{4}{3}\right]\) : \(f\) est croissante et \(f(0) = 40\), donc \(f(t) > 40\) : pas de solution.

Sur \(\left[\tfrac{4}{3}~;~10\right]\) : \(f\) est strictement décroissante et continue :

\(f\!\left(\tfrac{4}{3}\right) \approx 61{,}6 > 40\)
\(f(10) \approx 4{,}3 < 40\)

Par le TVI (corollaire pour fonctions strictement monotones) : l'équation \(f(t) = 40\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\left[\tfrac{4}{3}~;~10\right]\).

💡 À la calculatrice : \(\alpha \approx 3{,}8\) min. Interprétation : la température revient à 40 °C après environ 3 minutes 48 secondes.

Formule : \(\displaystyle\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}t = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}t\)

Pour \(\displaystyle\int_0^4 (60t+40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t\), poser :

\(u(t) = 60t+40\) → \(u'(t) = 60\)
\(v'(t) = \mathrm{e}^{-0{,}5t}\) → \(v(t) = -2\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\)

Après application : \(\left[(-120t-80)\mathrm{e}^{-0{,}5t}\right]_0^4 + 120\displaystyle\int_0^4\mathrm{e}^{-0{,}5t}\,\mathrm{d}t\).

La primitive de \(\mathrm{e}^{-0{,}5t}\) est \(-2\mathrm{e}^{-0{,}5t}\). Calculer les termes numériquement.

💡 Température moyenne = \(\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_0^4 f(t)\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{4}\!\left(320 - \dfrac{800}{\mathrm{e}^2}\right) \approx 53\,°C\).

Bac Asie
12 juin 2025 — Sujet 2

Partie A — Étude d'un exemple (La Réunion)

Méthodes de cours

Partie B — Dépistage sur une population cible (proportion \(p\) quelconque)

Méthodes de cours

Partie C — Étude sur un échantillon

Méthodes de cours

Partie A — Suite \((u_n)\)

Méthodes de cours

Partie B — Suite \((w_n)\)

Méthodes de cours

Géométrie dans l'espace — Vrai ou Faux

Méthodes de cours

Partie A — Modélisation de la température

Méthodes de cours

Partie B — Étude de \(f(t) = (60t + 40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\)

Méthodes de cours

Bac Asie12 juin 2025 — Sujet 2

Partie A — Étude d'un exemple (La Réunion)

Méthodes de cours

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