Guide de résolution — Bac Amérique du Sud J2 14 novembre 2025

Exercice 1 (6 points) — Partie A

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à \(10^{-3}\) près en cas de besoin.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre.

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans \(70\,\%\) des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans \(80\,\%\) des cas.

En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans \(45\,\%\) des cas.

Abel est au service.

On considère les évènements suivants :

\(S\) : « Abel réussit son premier service »
\(G\) : « Abel gagne le point ».

Décrire l'évènement \(\overline{S}\) puis traduire la situation par un arbre pondéré.
Calculer \(P(S \cap G)\).
Justifier que la probabilité de l'évènement \(G\) est égale à \(0,695\).
Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
Les évènements \(S\) et \(G\) sont-ils indépendants ? Justifier.

Méthodes de cours

L'évènement contraire \(\overline{S}\) est réalisé exactement quand \(S\) ne l'est pas : formule-le par une phrase dans le contexte, sans symbole.

Un arbre pondéré à deux niveaux : au premier niveau \(S\) et \(\overline{S}\) avec \(P(S)\) et \(P(\overline{S})=1-P(S)\) ; au second niveau \(G\) et \(\overline{G}\), avec les probabilités conditionnelles \(P_S(G)\), \(P_{\overline{S}}(G)\) et leurs complémentaires.

💡 « Lorsque le premier service est réussi, il gagne dans \(80\,\%\) des cas » est une probabilité sachant \(S\) : elle va sur une branche du second niveau, pas sur une branche issue de la racine. Vérifie que les branches issues d'un même nœud somment à \(1\).

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités lues sur ses branches :

\[P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).\]

💡 Ne confonds pas \(P(S\cap G)\) avec \(P_S(G)\) : la seconde se lit directement dans l'énoncé, la première demande une multiplication.

Comme \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition de l'univers :

\[P(G)=P(S\cap G)+P(\overline{S}\cap G)=P(S)\,P_S(G)+P(\overline{S})\,P_{\overline{S}}(G).\]

💡 Écris explicitement « \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition de l'univers » : c'est la justification attendue. Tu dois retrouver exactement \(0,695\).

« Abel a gagné le point » est l'information connue : on cherche une probabilité sachant \(G\).

\[P_G(S)=\dfrac{P(S\cap G)}{P(G)}.\]

💡 Cette probabilité ne se lit pas sur l'arbre, qui est construit dans le sens \(S\) puis \(G\) : il faut revenir à la définition. Pense à l'arrondi à \(10^{-3}\) demandé en tête d'exercice.

\(S\) et \(G\) sont indépendants si et seulement si \(P(S\cap G)=P(S)\times P(G)\) (ou, de façon équivalente, \(P_S(G)=P(G)\)).

💡 Calcule les deux membres séparément puis compare-les. Une seule égalité fausse suffit à conclure. Ne confonds pas « indépendants » et « incompatibles ».

Exercice 1 (6 points) — Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans \(85\,\%\) des cas.

On teste successivement \(20\) balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les \(20\) testées.
1. Quelle est la loi suivie par \(X\) et quels sont ses paramètres ? Justifier.
2. Calculer \(P(X \leqslant 18)\).
3. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les \(20\) balles testées ?
4. Déterminer l'espérance de \(X\).
On teste maintenant \(n\) balles successivement. On considère les \(n\) tests comme un échantillon de \(n\) variables aléatoires \(X\) indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(0,85\).
On considère la variable aléatoire

\[M_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{X_i}{n} = \dfrac{X_1}{n} + \dfrac{X_2}{n} + \dfrac{X_3}{n} + \ldots + \dfrac{X_n}{n}\]
1. Déterminer l'espérance et la variance de \(M_n\).
2. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \dfrac{12,75}{n}\).
3. En déduire un entier \(n\) tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille \(n\) appartienne à l'intervalle \(]0,75\,;\,0,95[\) avec une probabilité supérieure à \(0,9\).

Méthodes de cours

Trois points à vérifier : on répète \(n\) fois une même épreuve de Bernoulli, les répétitions sont indépendantes, et \(X\) compte le nombre de succès. On écrit alors \(X\sim\mathcal{B}(n\,;p)\).

💡 Nomme le succès (« la balle est conforme ») et sa probabilité. L'indépendance vient de la phrase « assimiler ces tests à un tirage avec remise » : cite-la, c'est elle que le correcteur attend.

\[P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.\]

Deux voies : la fonction de répartition de la calculatrice (binomFRép), ou l'évènement contraire \(P(X\leqslant 18)=1-P(X=19)-P(X=20)\).

💡 L'évènement contraire ne contient ici que deux valeurs : c'est la voie la plus rapide à justifier sur la copie. Arrondis à \(10^{-3}\).

Avant tout calcul, traduis l'évènement en termes de \(X\), qui compte les balles conformes. S'il y a \(k\) balles non conformes, combien y en a-t-il de conformes sur \(20\) ?

💡 Une fois l'évènement réécrit sous la forme \(\{X\ \ldots\ \}\), compare-le à celui de la question précédente : il est inutile de refaire un calcul déjà fait. Justifie bien l'équivalence par une phrase.

Pour \(X\sim\mathcal{B}(n\,;p)\) : \(E(X)=np\).

💡 Ajoute une phrase d'interprétation : en moyenne, sur un grand nombre de lots de \(20\) balles, combien de balles conformes par lot ?

Pour une variable de Bernoulli de paramètre \(p\) : \(E(X_i)=p\) et \(V(X_i)=p(1-p)\).

Linéarité de l'espérance, et pour des variables indépendantes :

\[E(aX)=aE(X),\qquad V(aX)=a^{2}V(X),\qquad V(X_1+\dots+X_n)=V(X_1)+\dots+V(X_n).\]

💡 Le coefficient \(\dfrac1n\) sort de la variance au carré : \(V\!\left(\dfrac{X_i}{n}\right)=\dfrac{1}{n^{2}}V(X_i)\). L'additivité des variances n'est valable que grâce à l'indépendance : mentionne-la.

Pour toute variable aléatoire \(Y\) d'espérance \(\mu\) et de variance \(V\), et tout réel \(\delta>0\) :

\[P\big(|Y-\mu|\geqslant \delta\big)\leqslant \dfrac{V}{\delta^{2}}.\]

Remarque que l'intervalle \(]0,75\,;\,0,95[\) est centré sur l'espérance de \(M_n\) : cela te donne la valeur de \(\delta\).

💡 L'inégalité porte sur l'écart supérieur ou égal à \(\delta\). Son contraire est \(|M_n-\mu|<\delta\), c'est-à-dire l'encadrement strict demandé : passe à l'évènement contraire pour obtenir le « \(\geqslant 1-\ldots\) ». Garde des fractions exactes pour retrouver \(12,75\). (Bien sûr, \(n\) doit être non nul pour que \(M_n\) ait un sens.)

Il suffit que la minoration obtenue en Q2b soit elle-même supérieure à \(0,9\) : résous l'inéquation \(1-\dfrac{12,75}{n}\geqslant 0,9\) d'inconnue \(n\) entier non nul.

💡 On demande « un » entier, pas le plus petit : la condition est suffisante, pas nécessaire (Bienaymé-Tchebychev est une majoration grossière). Quand tu multiplies par \(n\), rappelle que \(n>0\), donc le sens de l'inégalité est conservé.

Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie.

Aucune justification n'est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Dans toutes les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

On considère la droite \(\Delta_1\) de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=1-3t\\ y=4+2t\\ z=t\end{cases}\), où \(t\in\mathbb{R}\) ainsi que la droite \(\Delta_2\) de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=-4+s\\ y=2+2s\\ z=-1+s\end{cases}\), où \(s\in\mathbb{R}\).
1. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont parallèles.
2. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont orthogonales.
3. Les droites \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\) sont sécantes.
On considère la droite \(d\) de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=1+t\\ y=3-t\\ z=1+2t\end{cases}\), où \(t\in\mathbb{R}\), et le plan \(P\) d'équation cartésienne : \(4x+2y-z+3=0\).
1. La droite \(d\) est incluse dans le plan \(P\).
2. La droite \(d\) est parallèle strictement au plan \(P\).
3. La droite \(d\) est sécante au plan \(P\).
On considère les points \(\mathrm{A}(3\,;\,2\,;\,1)\), \(\mathrm{B}(7\,;\,3\,;\,1)\), \(\mathrm{C}(-1\,;\,4\,;\,5)\) et \(\mathrm{D}(-3\,;\,3\,;\,5)\).
1. Les points \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) et \(\mathrm{D}\) ne sont pas coplanaires.
2. Les points \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\) sont alignés.
3. \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{CD}}\) sont colinéaires.
On considère les plans \(Q\) et \(Q'\) d'équation cartésienne respective \(3x-2y+z+1=0\) et \(4x+y-z+3=0\).
1. Le point \(\mathrm{R}(1\,;\,1\,;\,-2)\) appartient aux deux plans.
2. Les deux plans sont orthogonaux.
3. Les deux plans sont sécants avec pour intersection la droite de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=t\\ y=7t+4\\ z=11t+7\end{cases}\), où \(t\in\mathbb{R}\).

Méthodes de cours

Lis un vecteur directeur de chaque droite (les coefficients de \(t\) et de \(s\)).

Vecteurs colinéaires \(\Rightarrow\) droites parallèles. Sinon, les droites sont sécantes ou non coplanaires : résous le système \(x_1(t)=x_2(s)\), \(y_1(t)=y_2(s)\), \(z_1(t)=z_2(s)\). Deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

💡 Utilise deux paramètres différents \(t\) et \(s\) : imposer le même paramètre aux deux droites est l'erreur classique. Résous avec deux équations, puis vérifie dans la troisième : c'est elle qui décide.

Lis un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\) et un vecteur normal \(\vec{n}\) de \(P\) (les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\)).

Si \(\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0\), la droite est sécante au plan. Si \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\), elle lui est parallèle : il reste à savoir si elle est incluse ou strictement parallèle.

💡 Pour départager « incluse » et « strictement parallèle », teste un point de \(d\) (par exemple celui obtenu pour \(t=0\)) dans l'équation de \(P\).

Calcule \(\vec{\mathrm{AB}}\), \(\vec{\mathrm{AC}}\) et \(\vec{\mathrm{CD}}\) : coordonnées de l'arrivée moins coordonnées du départ.

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Trois points \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) sont alignés si et seulement si \(\vec{\mathrm{AB}}\) et \(\vec{\mathrm{AC}}\) sont colinéaires.

💡 Les propositions ne sont pas indépendantes : si deux droites \((\mathrm{AB})\) et \((\mathrm{CD})\) sont parallèles, les quatre points sont forcément dans un même plan. Commence par le test le plus rapide, puis relis les autres propositions à la lumière du résultat. Attention aux \(0\) dans les coordonnées : un coefficient de proportionnalité doit marcher pour les trois.

Un point appartient à un plan si ses coordonnées vérifient l'équation. Deux plans sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul).

Pour montrer qu'une droite est l'intersection de deux plans sécants, il suffit de vérifier que son point courant \((x(t)\,;y(t)\,;z(t))\) vérifie les deux équations pour tout réel \(t\).

💡 Pour (a), un point doit vérifier les deux équations : teste-les toutes les deux. Pour (c), remplace \(x\), \(y\), \(z\) par leurs expressions en \(t\) : le résultat doit se simplifier en \(0\) quel que soit \(t\), pas seulement pour une valeur particulière.

Exercice 3 (4 points)

On considère les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par :

\[\begin{cases}v_0=\ln(4)\\ v_{n+1}=\ln\left(-1+2\mathrm{e}^{v_n}\right)\end{cases}\qquad\text{et}\qquad w_n=-1+\mathrm{e}^{v_n}.\]

On admet que la suite \((v_n)\) est bien définie et strictement positive.

Donner les valeurs exactes de \(v_1\) et \(w_0\).

Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) est reproduite ci-contre.

	A	B	C
1	\(n\)	\(v_n\)	\(w_n\)
2	0	1,38629436	3
3	1	1,94591015	6
4	2	2,56494936	12
5	3	3,21887582	24
6	4	3,8918203	48
7	5	4,57471098	96
8	6	5,26269019	192
9	7	5,95324333	384
10	8	6,64509097	768
11	9	7,33758774	1 536
12	10	8,03040956	3 072
13	11	8,72339402	6 144
14	12	9,41645983	12 288
15	13	10,1095663	24 576
16	14	10,8026932	49 152
17	15	11,4958302	98 304
18	16	12,1889723	196 608
19	17	12,8821169	393 216

Parmi les trois formules ci-dessous, choisir la formule qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite \((v_n)\) dans la colonne B.

Formule 1	`LN(-1 + 2 * EXP(B2))`
Formule 2	`= LN(-1 + 2 * EXP(B2))`
Formule 3	`= LN(-1 + 2 * EXP(A2))`

Conjecturer le sens de variation de la suite \((v_n)\).
À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite \((v_n)\).

1. Démontrer que la suite \((w_n)\) est géométrique.
2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=\ln\left(1+3\times 2^n\right)\).
3. Déterminer la limite de la suite \((v_n)\).
Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S.
from math import*
def seuil(S):
    V=ln(4)
    n=0
    while V < S :
        n=n+1
        V=ln(2*exp(V)-1)
    return(n)

Méthodes de cours

Remplace \(n\) par \(0\) dans la relation de récurrence et dans la définition de \(w_n\), et simplifie avec \(\mathrm{e}^{\ln a}=a\) pour \(a>0\).

💡 On demande des valeurs exactes : un \(\ln\) d'entier convient parfaitement. Contrôle ensuite avec les lignes 2 et 3 du tableur.

Une formule de tableur commence par =, sinon la cellule affiche du texte. Le terme \(v_{n+1}\) se calcule à partir de \(v_n\), qui se trouve dans la cellule juste au-dessus, dans la même colonne.

Pour la conjecture, observe l'évolution de la colonne B.

💡 La colonne A contient l'indice \(n\), pas la valeur \(v_n\) : ne confonds pas les deux. Une conjecture se formule au conditionnel ou avec « il semble que ».

Note \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(v_n\leqslant v_{n+1}\) » (ou l'inégalité stricte, selon ta conjecture).

Initialisation : compare \(v_0\) et \(v_1\) obtenus en Q1. Hérédité : pars de \(v_n\leqslant v_{n+1}\) et reconstruis pas à pas l'expression \(\ln\left(-1+2\mathrm{e}^{\,\cdot}\right)\) des deux côtés.

💡 Justifie chaque étape : la fonction \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) ; multiplier par \(2>0\) et ajouter \(-1\) conservent l'ordre ; enfin \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) — il faut donc s'assurer que les quantités sont strictement positives (l'énoncé admet que la suite est bien définie). Termine par la conclusion de récurrence.

Exprime \(w_{n+1}\) en fonction de \(w_n\) : on veut une relation \(w_{n+1}=q\,w_n\). Puis \(w_n=w_0\times q^{n}\).

Pour revenir à \(v_n\), isole \(\mathrm{e}^{v_n}\) dans la définition de \(w_n\), puis applique \(\ln\).

💡 Commence par \(w_{n+1}=-1+\mathrm{e}^{v_{n+1}}\), puis remplace \(v_{n+1}\) par son expression : \(\mathrm{e}^{\ln(\ldots)}\) se simplifie. La colonne C du tableur te donne un bon indice pour la raison. Tu dois retrouver exactement l'expression de \(v_n\) annoncée.

Détermine d'abord la limite de \(2^{n}\) (suite géométrique de raison \(q>1\)), puis de \(1+3\times 2^{n}\), puis compose avec \(\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X\).

💡 Rédige la composition en nommant l'intermédiaire \(X=1+3\times 2^{n}\). La croissance seule de \((v_n)\) ne suffit pas à conclure : une suite croissante peut converger.

Repère ce que fait la boucle : V prend successivement les valeurs \(v_0, v_1, v_2,\ldots\) et la boucle tourne tant que \(v_n<S\).

L'algorithme s'arrête dès qu'un terme dépasse ou atteint \(S\). Utilise la définition d'une limite infinie : pour tout réel \(S\), les termes finissent tous par être supérieurs à \(S\).

💡 L'argument clé est la limite trouvée en Q3c, pas la croissance. Pense à dire que cela vaut « quel que soit \(S\) », y compris pour \(S\) très grand.

Exercice 4 (6 points) — Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre \(-30\) et \(30\) ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : \(\{-30\,;\,-29\,;\,-28\,;\,\ldots\,-1\,;\,1\,;\,\ldots\,;\,28\,;\,29\,;\,30\}\). Il comporte 60 éléments.

On choisit dans cet ensemble successivement et sans remise un entier relatif \(a\) puis un entier relatif \(c\).

Combien de couples \((a\,;\,c)\) différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l'évènement \(M\) : « l'équation \(ax^2+2x+c=0\) possède deux solutions réelles distinctes », où \(a\) et \(c\) sont les entiers relatifs précédemment choisis.

Montrer que l'évènement \(M\) a lieu si et seulement si \(ac<1\).
Expliquer pourquoi l'évènement contraire \(\overline{M}\) comporte \(1\,740\) issues.
Quelle est la probabilité de l'évènement \(M\) ? On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).

Méthodes de cours

Le nombre de \(k\)-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à \(n\) éléments est \(n\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\).

💡 « Successivement » : l'ordre compte, donc on compte des couples, pas des combinaisons. « Sans remise » : \(c\neq a\), il reste un choix de moins pour le second tirage.

Pour \(a\neq 0\), l'équation \(ax^2+bx+c=0\) admet deux solutions réelles distinctes si et seulement si \(\Delta=b^2-4ac>0\).

💡 Précise que \(a\neq 0\) (l'ensemble ne contient pas \(0\)) : sans cela, ce ne serait pas une équation du second degré. Ici \(b=2\), et la résolution de \(\Delta>0\) se fait par équivalences : garde le symbole \(\Leftrightarrow\) à chaque ligne pour justifier le « si et seulement si ».

\(\overline{M}\) correspond à \(ac\geqslant 1\). Comme \(a\) et \(c\) sont des entiers non nuls, traduis cette condition en termes de signes de \(a\) et de \(c\).

Puis découpe en cas disjoints et dénombre chaque cas avec le principe multiplicatif (et la règle « sans remise »).

💡 Le produit de deux entiers non nuls est un entier non nul : \(ac\geqslant 1\) équivaut donc à \(ac>0\). Dans chaque cas, les deux nombres sont tirés dans le même « réservoir » de 30 éléments, sans remise. Tu dois retrouver \(1\,740\).

Les couples sont équiprobables : \(P(M)=1-P(\overline{M})=1-\dfrac{\text{card}(\overline{M})}{\text{card}(\Omega)}\).

💡 Le dénominateur est le nombre de couples de la Q1. Attention, l'arrondi demandé ici est à \(10^{-2}\), et non \(10^{-3}\) comme dans l'exercice 1.

Exercice 4 (6 points) — Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle

\((E) :\quad y'+10y=\left(30x^2+22x-8\right)\mathrm{e}^{-5x+1}\quad\) avec \(\quad x\in\mathbb{R}\)

où \(y\) est une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle : \(y'+10y=0\).
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=(6x^2+2x-2)\mathrm{e}^{-5x+1}.\]

On admet que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).

Justifier que \(f\) est une solution particulière de \((E)\).
Donner l'expression de toutes les solutions de \((E)\).

Méthodes de cours

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de \(y'=ay\) sont les fonctions \(x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}\), avec \(C\in\mathbb{R}\).

💡 Mets d'abord l'équation sous la forme \(y'=ay\) : le signe de \(a\) est le piège. N'oublie pas de préciser « \(C\in\mathbb{R}\) ».

Calcule \(f'(x)\) avec la formule \((uv)'=u'v+uv'\) et \(\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}\), puis calcule \(f'(x)+10f(x)\) et montre qu'on obtient le second membre de \((E)\).

💡 La dérivée de \(\mathrm{e}^{-5x+1}\) est \(-5\mathrm{e}^{-5x+1}\) : ne perds pas le \(-5\). Factorise par \(\mathrm{e}^{-5x+1}\) dès le début et développe soigneusement le polynôme obtenu. Garde l'expression factorisée de \(f'(x)\) : elle resservira en partie C.

Théorème : les solutions de \(y'+ay=g\) sont les sommes d'une solution particulière et des solutions de l'équation homogène associée \(y'+ay=0\).

💡 Écris la forme générale avec la constante \(C\in\mathbb{R}\) : elle combine directement tes résultats de Q1 et Q2.

Exercice 4 (6 points) — Partie C : étude de fonction

On propose d'étudier dans cette partie la fonction \(f\) rencontrée à la partie B question 2.

On rappelle que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\left(6x^2+2x-2\right)\mathrm{e}^{-5x+1}\).

On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). On appelle \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère du plan.

On admet que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).
Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
En utilisant la partie A, montrer que \(\mathcal{C}_f\) coupe l'axe des abscisses en deux points (les coordonnées de ces points ne sont pas attendues).
En utilisant les parties A et B, montrer que \(\mathcal{C}_f\) possède deux tangentes horizontales.
Dresser le tableau de variation complet de la fonction \(f\).
Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation \(f(x)=1\).
Pour tout réel \(m\) strictement supérieur à \(0,2\), on définit \(I_m\) par \(I_m=\displaystyle\int_{0,2}^{m}f(x)\,\mathrm{d}x\).
1. Vérifier que la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
  \[F(x)=\left(-\dfrac65x^2-\dfrac{22}{25}x+\dfrac{28}{125}\right)\mathrm{e}^{-5x+1}\]
  
  est une primitive de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Existe-t-il une valeur de \(m\) pour laquelle \(I_m=0\) ?
  Interpréter graphiquement ce résultat.

Méthodes de cours

Étudie séparément les deux facteurs : la limite d'un polynôme en \(\pm\infty\) est celle de son terme de plus haut degré ; pour \(\mathrm{e}^{-5x+1}\), compose : \(-5x+1\to\,?\) puis \(\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}\).

💡 En \(-\infty\), il n'y a pas de forme indéterminée ici : pas besoin de croissances comparées, un simple produit de limites suffit. Attention au signe : \(-5x\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\to-\infty\).

\(\mathcal{C}_f\) coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisse solution de \(f(x)=0\). Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, et \(\mathrm{e}^{X}>0\) pour tout réel \(X\).

Le facteur restant est un trinôme de la forme \(ax^2+2x+c\) : identifie \(a\) et \(c\) et utilise le critère démontré en partie A, Q2.

💡 C'est la forme « \(\ldots x^2+2x+\ldots\) » qui fait le lien avec la partie A : le coefficient de \(x\) vaut bien \(2\). Il suffit de calculer le produit \(ac\) et de le comparer à \(1\).

La tangente au point d'abscisse \(x_0\) est horizontale si et seulement si \(f'(x_0)=0\).

Partie B : comme \(f\) est solution de \((E)\), \(f'(x)=\left(30x^2+22x-8\right)\mathrm{e}^{-5x+1}-10f(x)\). Factorise par \(\mathrm{e}^{-5x+1}\) : tu obtiens encore un trinôme de la forme \(ax^2+2x+c\), et la partie A conclut.

💡 Utiliser \((E)\) évite de redériver \(f\) : c'est exactement ce que suggère « en utilisant les parties A et B ». Développe \(10f(x)\) avec soin avant de soustraire.

Le signe de \(f'(x)\) est celui du trinôme trouvé en Q3 (car \(\mathrm{e}^{-5x+1}>0\)). Calcule ses racines avec le discriminant : un trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines.

« Complet » signifie : signe de \(f'\), flèches, limites en \(\pm\infty\) (Q1 et l'énoncé), et valeurs exactes des extremums locaux.

💡 Simplifie le trinôme par un facteur commun avant de calculer \(\Delta\) : les racines tombent alors sur des fractions simples. Pour les images, garde la forme exacte \(k\,\mathrm{e}^{\ldots}\), puis donne aussi une valeur approchée : elle sera utile à la question suivante.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), et si \(k\) est compris entre les bornes de \(f(I)\), alors \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \(I\).

Raisonne intervalle par intervalle, en suivant les flèches de ton tableau.

💡 Sur un intervalle où le maximum de \(f\) est inférieur à \(1\), il n'y a aucune solution : compare chaque extremum à \(1\) avec sa valeur approchée. Les trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, \(1\) entre les bornes) doivent apparaître sur la copie.

\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) si et seulement si \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(F'=f\). Dérive \(F\) comme un produit \(uv\).

💡 Ne cherche pas à « trouver » la primitive : on demande seulement de vérifier. Réduis au même dénominateur \(125\) pour additionner les coefficients sans erreur.

\[I_m=\int_{0,2}^{m}f(x)\,\mathrm{d}x=F(m)-F(0,2).\]

Commence par calculer \(F(0,2)\) : le résultat simplifie beaucoup l'équation \(I_m=0\). Il reste alors à résoudre une équation du second degré, en ne gardant que les solutions \(m>0,2\).

💡 Interprétation : \(f\) change de signe sur \([0,2\,;+\infty[\) (pense aux racines de la Q2). L'intégrale est alors l'aire au-dessus de l'axe moins l'aire au-dessous ; \(I_m=0\) voudrait dire que ces deux aires se compensent exactement. Ta conclusion doit dire si cela arrive ou non.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Bac Amérique du Sud14 novembre 2025 — Sujet 2 (Jour 2)

Exercice 1 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 1 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie A : dénombrement

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie B : équation différentielle

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points) — Partie C : étude de fonction

Méthodes de cours

Bac Amérique du Sud
14 novembre 2025 — Sujet 2 (Jour 2)