Guide de résolution — Bac Amérique du Sud J1 13 nov. 2025

Questions 1 et 2

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est \(0{,}9\).
Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est \(0{,}7\).

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(V_n\) l'événement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le \(n^\text{e}\) jour » et \(p_n\) la probabilité de \(V_n\).

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc \(p_1 = 1\).

1. Indiquer la valeur de \(p_2\).
2. Montrer que \(p_3 = 0{,}88\). On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
3. Sachant que le \(3^\text{e}\) jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à \(10^{-2}\).
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

Méthodes de cours

La probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain sachant qu'il a choisi végétarien aujourd'hui est donnée directement dans l'énoncé.

Comme \(p_1 = 1\) (il est certain que le jour 1 c'est végétarien), \(p_2 = P(V_2) = P_{V_1}(V_2)\).

\(V_2\) et \(\overline{V_2}\) forment une partition de l'univers :

\[p_3 = P(V_2)\cdot P_{V_2}(V_3) + P(\overline{V_2})\cdot P_{\overline{V_2}}(V_3)\]

On lit les probabilités conditionnelles sur les branches de l'arbre. La probabilité \(P(\overline{V_2}) = 1 - p_2\).

On cherche \(P_{V_3}(\overline{V_2})\), la probabilité que la veille était non-végétarien sachant qu'aujourd'hui est végétarien :

\[P_{V_3}(\overline{V_2}) = \dfrac{P(\overline{V_2} \cap V_3)}{P(V_3)}\]

\(P(\overline{V_2}\cap V_3) = P(\overline{V_2})\cdot P_{\overline{V_2}}(V_3)\) se lit sur l'arbre.

L'arbre général passe de \(V_n\) à \(V_{n+1}\). Les probabilités sur les branches sont :

Branche \(V_n \to V_{n+1}\) : probabilité conditionnelle de végétarien après végétarien
Branche \(V_n \to \overline{V_{n+1}}\) : son complémentaire
Branche \(\overline{V_n} \to V_{n+1}\) : probabilité conditionnelle de végétarien après non-végétarien
Branche \(\overline{V_n} \to \overline{V_{n+1}}\) : son complémentaire

La branche vers \(\overline{V_n}\) porte \(1 - p_n\).

Questions 4, 5 et 6

On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite \((p_n)\) pour \(n \geqslant 1\). On utilise une fonction \texttt{repas} programmée en Python dont on propose trois versions :

Programme 1

def repas(n):
  p=1
  L=[p]
  for k in range(1,n):
    p = 0.2*p+0.7
    L.append(p)
  return(L)

Programme 2

def repas(n):
  p=1
  L=[p]
  for k in range(1,n+1):
    p = 0.2*p+0.7
    L.append(p)
  return(L)

Programme 3

def repas(n):
  p=1
  L=[p]
  for k in range(1,n):
    p = 0.2*p+0.7
    L.append(p+1)
  return(L)

1. Lequel de ces programmes permet d'afficher les \(n\) premiers termes de la suite \((p_n)\) ? Aucune justification n'est attendue.
2. Avec le programme choisi à la question a. donner le résultat affiché pour \(n = 5\).

Démontrer par récurrence que, pour tout naturel \(n \geqslant 1\) : \[p_n = 0{,}125 \times 0{,}2^{n-1} + 0{,}875\]

En déduire la limite de la suite \((p_n)\).

Méthodes de cours

La liste \(L\) commence avec \(p_1 = 1\). À chaque tour de boucle, on calcule le terme suivant et on l'ajoute à \(L\).

range(1, n) exécute \(n-1\) tours → liste de \(n\) termes au total : \(p_1, \ldots, p_n\) ✓
range(1, n+1) exécute \(n\) tours → liste de \(n+1\) termes : trop
Programme 3 : L.append(p+1) ajoute des valeurs incorrectes

Initialisation (\(n=1\)) : calculer \(0{,}125 \times 0{,}2^0 + 0{,}875\) et vérifier que c'est bien égal à \(p_1 = 1\).

Hérédité : supposer \(p_n = 0{,}125 \times 0{,}2^{n-1} + 0{,}875\) et montrer que \(p_{n+1} = 0{,}125 \times 0{,}2^n + 0{,}875\) en utilisant la relation \(p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}7\).

La suite \((p_n)\) s'écrit \(A\cdot q^{n-1} + L\) avec \(|q| = 0{,}2 < 1\).

Donc \(\lim_{n\to+\infty} 0{,}2^{n-1} = 0\) et par somme : \(\lim_{n\to+\infty} p_n = 0 + 0{,}875 = 0{,}875\).

💡 Ce résultat signifie qu'à long terme, environ 87,5 % des jours l'étudiant choisit un plat végétarien.

Affirmation 1 — Poignées de mains

Deux équipes de footballeurs de 22 et 25 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match. Chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.

Affirmation 1 : 47 poignées de mains ont été échangées.

Méthodes de cours

Chaque joueur de l'équipe A serre la main de chacun des joueurs de l'équipe B (sans répétition).

Le nombre total de poignées = nombre de joueurs dans A × nombre de joueurs dans B.

💡 47 = 22 + 25 serait le nombre total de joueurs, pas de poignées. Ne pas confondre avec une addition.

Affirmation 4 — Variable aléatoire \(Y = X_1 + X_2\)

Soit \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires de même loi :

\(x_i\)	\(-2\)	\(-1\)	\(2\)	\(5\)
\(P(X=x_i)\)	0,1	0,4	0,3	0,2

\(X_1\) et \(X_2\) sont indépendantes. \(Y = X_1 + X_2\).

Affirmation 4 : \(P(Y = 4) = 0{,}25\).

Méthodes de cours

Lister tous les couples \((x_1, x_2)\) de valeurs tels que \(x_1 + x_2 = 4\) :

\((-1, 5)\) : oui car \(-1 + 5 = 4\)
\((2, 2)\) : oui car \(2 + 2 = 4\)
\((5, -1)\) : oui car \(5 + (-1) = 4\)

Par indépendance : \(P(X_1=a, X_2=b) = P(X_1=a)\times P(X_2=b)\).

Additionner les probabilités des trois cas disjoints.

Partie A — Lectures graphiques

On se propose d'étudier la concentration dans le sang d'un médicament ingéré pour la première fois. Soit \(t\) le temps (en heures) écoulé depuis l'ingestion.

La concentration (en g/L) est modélisée par une fonction \(f\) définie sur \([0~;~+\infty[\).

Courbe représentative de la fonction \(f\) — concentration du médicament en g/L en fonction du temps en heures

Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification :

Le temps écoulé depuis l'instant de l'ingestion et l'instant où la concentration est maximale selon ce modèle.
L'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(t) \geqslant 1\).
La convexité de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~8]\).

Méthodes de cours

Le maximum de la courbe correspond au sommet de la « bosse ». Lire l'abscisse (valeur de \(t\)) de ce point sur l'axe des abscisses.

Tracer mentalement la droite \(y = 1\) (graduation 1 sur l'axe des ordonnées). L'inéquation \(f(t) \geqslant 1\) est satisfaite pour les valeurs de \(t\) où la courbe est au-dessus de cette droite.

Lire les deux valeurs de \(t\) où la courbe coupe la droite \(y=1\) pour trouver l'intervalle solution.

Une fonction est convexe sur un intervalle si la courbe est « tournée vers le bas » (comme un U), c'est-à-dire si la tangente est en dessous de la courbe.

Elle est concave si la courbe est « en cloche » (tangente au-dessus).

Observer sur le graphique si la courbure change de signe (point d'inflexion) sur \([0~;~8]\).

Partie B — Détermination de la fonction \(f\)

On considère l'équation différentielle :

\[(E) :\quad y' + y = 5\,\mathrm{e}^{-t}\]

d'inconnue \(y\), définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\). On admet que \(f\) est une solution de \((E)\).

Résoudre l'équation différentielle \((E') : y' + y = 0\).
Soit \(u\) la fonction définie sur \([0~;~+\infty[\) par \(u(t) = at\,\mathrm{e}^{-t}\) avec \(a \in \mathbb{R}\). Déterminer la valeur du réel \(a\) telle que \(u\) soit solution de \((E)\).
En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle \((E)\).
La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que \(f(0) = 0\). Déterminer l'expression de la fonction \(f\).

Méthodes de cours

L'équation homogène \(y' + y = 0\) est de la forme \(y' = -y\), soit \(y' = ay\) avec \(a = -1\).

Les solutions sont : \(t \mapsto k\,\mathrm{e}^{-t}\) avec \(k \in \mathbb{R}\).

Pour \(u(t) = at\,\mathrm{e}^{-t}\), calculer \(u'(t)\) (dérivée du produit \(at\) et \(\mathrm{e}^{-t}\)) :

\(u'(t) = a\,\mathrm{e}^{-t} - at\,\mathrm{e}^{-t} = a(1-t)\,\mathrm{e}^{-t}\)

Substituer dans \(u' + u = 5\mathrm{e}^{-t}\) et identifier \(a\).

La solution générale de \((E)\) est la somme d'une solution particulière de \((E)\) et de la solution générale de \((E')\) :

\[f(t) = k\,\mathrm{e}^{-t} + u(t) \quad (k \in \mathbb{R})\]

Substituer \(t = 0\) dans l'expression générale de \(f\) et égaler à 0 pour trouver \(k\).

Partie C — Étude de \(f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t}\)

On admet que \(f\) est définie sur \([0~;~+\infty[\) par \(f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t}\).

Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Étudier les variations de \(f\) sur \([0~;~+\infty[\) puis dresser son tableau de variation complet.
Démontrer qu'il existe deux réels \(t_1\) et \(t_2\) tels que \(f(t_1) = f(t_2) = 1\). On donnera une valeur approchée à \(10^{-2}\) des réels \(t_1\) et \(t_2\).
Pour une concentration supérieure ou égale à 1 g/L, il y a un risque de somnolence. Quelle est la durée en heures et minutes du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?

Méthodes de cours

\(f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t} = \dfrac{5t}{\mathrm{e}^t}\). On sait que \(\lim_{t\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^t}{t} = +\infty\), donc \(\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t}{\mathrm{e}^t} = 0\).

Interprétation : la concentration tend vers 0 à long terme (le médicament est éliminé).

Dérivée du produit \(f(t) = 5t \cdot \mathrm{e}^{-t}\) :

\(f'(t) = 5\,\mathrm{e}^{-t} + 5t(-\mathrm{e}^{-t}) = 5(1-t)\,\mathrm{e}^{-t}\)

Comme \(\mathrm{e}^{-t} > 0\), le signe de \(f'\) est celui de \((1-t)\). Annulation en \(t = 1\).

Maximum : \(f(1) = 5\mathrm{e}^{-1} \approx 1{,}84\). Valeurs aux bornes : \(f(0) = 0\), \(\lim f = 0\).

Le maximum est \(f(1) \approx 1{,}84 > 1\). La valeur 1 est atteinte deux fois :

Sur \(]0~;~1[\) : \(f\) croît de 0 à 1,84, donc \(1 \in ]0~;~1{,}84[\). Par le TVI + stricte monotonie → unique \(t_1 \in ]0~;~1[\).
Sur \(]1~;~+\infty[\) : \(f\) décroît de 1,84 vers 0, donc \(1 \in ]0~;~1{,}84[\). Même argument → unique \(t_2 \in ]1~;~+\infty[\).

À la calculatrice : encadrer \(t_1\) et \(t_2\) au centième.

Le risque correspond à \(f(t) \geqslant 1\), soit à \(t \in [t_1\,;\,t_2]\).

La durée est \(t_2 - t_1\) en heures. Convertir les décimales en minutes : \(0{,}1\) heure = 6 minutes.

Figure de l'exercice 4 — triangle ABC dans l'espace, point O et droite (CK)

Questions 1 et 2

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\mathrm{O}~;~\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)\). On considère les points :

A\!\left(2\sqrt{3}~;~0~;~0\right),\quad B\,(0~;~2~;~0),\quad C\,(0~;~0~;~1)\quad et \quad K\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~\dfrac{3}{2}~;~0\right)

Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite \((\mathrm{CK})\) est : \[\left\{\begin{array}{lcl}x &=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,t \\ y &=& \dfrac{3}{2}\,t \\ z &=& 1 - t\end{array}\right.\quad (t \in \mathbb{R})\]
Soit M\((t)\) un point de la droite \((\mathrm{CK})\) paramétrée par un réel \(t\). Établir que : \[\mathrm{OM}(t) = \sqrt{4t^2 - 2t + 1}\]

Méthodes de cours

La droite (CK) passe par C et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{CK}\).

Calculer \(\overrightarrow{CK} = K - C\) en soustrayant les coordonnées.

Représentation paramétrique : \(M \in (CK) \iff \overrightarrow{CM} = t\,\overrightarrow{CK}\), soit :

\(\begin{pmatrix}x\\y\\z-1\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{3}{2}\\-1\end{pmatrix}\)

Exprimer les coordonnées de M\((t)\) depuis la représentation paramétrique, puis :

\(\mathrm{OM}^2 = x_M^2 + y_M^2 + z_M^2\)

Développer et simplifier le polynôme du second degré en \(t\) pour obtenir \(4t^2 - 2t + 1\).

Questions 5, 6 et 7

Démontrer, à l'aide du produit scalaire, que le point H est l'orthocentre (intersection des hauteurs) du triangle ABC.
1. Démontrer que la droite \((\mathrm{OH})\) est orthogonale au plan \((\mathrm{ABC})\).
2. En déduire une équation du plan \((\mathrm{ABC})\).
Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle \(\mathrm{ABC}\).

Méthodes de cours

H est l'orthocentre si les trois hauteurs du triangle passent par H. Il suffit de montrer deux conditions :

H appartient au plan (ABC)
(CH) ⊥ (AB) : vérifier \(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB} = 0\) — ou équivalent (CK) ⊥ (AB)
(AH) ⊥ (BC) : vérifier \(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC} = 0\)

Pour montrer H ∈ (ABC) : montrer que K ∈ (AB) (K est sur le segment AB), donc (CK) ⊂ (ABC), donc H ∈ (ABC).

(OH) est orthogonale à (ABC) si \(\overrightarrow{OH}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

On peut utiliser \(\overrightarrow{CK}\) et \(\overrightarrow{AB}\) comme vecteurs directeurs du plan (on sait que (CK) ⊥ (AB)).

Vérifier aussi que \(\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB} = 0\).

Si \(\overrightarrow{OH}(a\,;\,b\,;\,c)\) est normal à (ABC), l'équation est de la forme \(ax + by + cz + d = 0\).

Substituer les coordonnées d'un point du plan (par exemple A) pour trouver \(d\).

Si (CK) est la médiane/hauteur issue de C, avec CK ⊥ AB (ce qui a été montré), alors :

\[\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \times \mathrm{CK} \times \mathrm{AB}\]

Calculer CK = \(\|\overrightarrow{CK}\|\) et AB = \(\|\overrightarrow{AB}\|\) par les normes en coordonnées.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter le corrigé.

Bac Amérique du Sud
13 novembre 2025 — Jour 1

Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Question 3 — Relation de récurrence

Méthodes de cours

Questions 4, 5 et 6

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Poignées de mains

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Course de 18 concurrents

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Podium de 7 sportifs

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Variable aléatoire \(Y = X_1 + X_2\)

Méthodes de cours

Affirmation 5 — Probabilité conditionnelle, loi binomiale

Méthodes de cours

Partie A — Lectures graphiques

Méthodes de cours

Partie B — Détermination de la fonction \(f\)

Méthodes de cours

Partie C — Étude de \(f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t}\)

Méthodes de cours

Partie D — Concentration moyenne

Méthodes de cours

Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Questions 3 et 4

Méthodes de cours

Questions 5, 6 et 7

Méthodes de cours

Bac Amérique du Sud13 novembre 2025 — Jour 1

Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Question 3 — Relation de récurrence

Méthodes de cours

Questions 4, 5 et 6

Méthodes de cours

Affirmation 1 — Poignées de mains

Méthodes de cours

Affirmation 2 — Course de 18 concurrents

Méthodes de cours

Affirmation 3 — Podium de 7 sportifs

Méthodes de cours

Affirmation 4 — Variable aléatoire \(Y = X_1 + X_2\)

Méthodes de cours

Affirmation 5 — Probabilité conditionnelle, loi binomiale

Méthodes de cours

Partie A — Lectures graphiques

Méthodes de cours

Partie B — Détermination de la fonction \(f\)

Méthodes de cours

Partie C — Étude de \(f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t}\)

Méthodes de cours

Partie D — Concentration moyenne

Méthodes de cours

Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Questions 3 et 4

Méthodes de cours

Questions 5, 6 et 7

Méthodes de cours

Bac Amérique du Sud
13 novembre 2025 — Jour 1