Guide de résolution — Bac Amérique du Nord J2 2025

Partie A — Questions 1 à 5

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

L'entraîneur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entraînement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de \(0{,}32\).

Lors d'un entraînement, Victor effectue une série de \(15\) lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note \(N\) la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

On admet que la variable aléatoire \(N\) suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(N\).
On note \(T\) la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.
1. Exprimer \(T\) en fonction de \(N\).
2. En déduire l'espérance de la variable aléatoire \(T\). Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
3. Calculer \(P(12 \leqslant T \leqslant 18)\).

Méthodes de cours

La loi \(\mathcal{B}(n~;~p)\) nécessite :

Une expérience aléatoire répétée \(n\) fois dans des conditions identiques
Les répétitions sont indépendantes
Chaque répétition a exactement deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(1-p\))

Ici : identifier \(n\) (nombre de lancers) et \(p\) (probabilité de réussite d'un lancer).

💡 Rédige les trois conditions explicitement dans ta réponse : elles sont souvent toutes attendues au barème.

Formule : Pour \(N \sim \mathcal{B}(n~;~p)\) :

\[P(N = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}\]

Calculer directement avec \(n = 15\), \(k = 4\), \(p = 0{,}32\).

💡 Sur calculatrice : chercher « loi binomiale » (binomPDF ou loi binomiale ponctuelle). Arrondir au millième comme demandé.

\[P(N \leqslant 6) = \sum_{k=0}^{6} P(N = k) = P(N=0) + P(N=1) + \ldots + P(N=6)\]

Utiliser directement la fonction de distribution cumulative de la calculatrice (binomCDF ou loi binomiale cumulative).

💡 Ne pas confondre \(P(N \leqslant 6)\) et \(P(N < 6)\). La borne 6 est incluse.

Formule : \(E(N) = n \times p\)

Calcul direct. L'interprétation est également attendue : en moyenne, sur un grand nombre de séries de 15 lancers, Victor marque \(np\) paniers par série.

💡 La formule \(E(N) = np\) est une formule du cours à connaître par cœur pour la loi binomiale.

Chaque panier réussi est un panier à 3 points. Si Victor marque \(N\) paniers, il marque \(N \times 3\) points.

💡 Réponse directe : \(T = 3N\). La question est simple mais demande d'expliciter le raisonnement contextuel.

Linéarité de l'espérance : Pour toute constante \(a\), \(E(aX) = a \cdot E(X)\).

Ici : \(E(T) = E(3N) = 3 \times E(N)\).

Interprétation contextuelle : expliquer ce que représente cette valeur en termes de points marqués en moyenne par série de 15 lancers.

💡 L'interprétation est indispensable : « En moyenne, sur cette série de 15 lancers à 3 points, Victor marque … points. »

Puisque \(T = 3N\), l'encadrement \(12 \leqslant T \leqslant 18\) se traduit en :

\[12 \leqslant 3N \leqslant 18 \iff 4 \leqslant N \leqslant 6\]

Donc : \(P(12 \leqslant T \leqslant 18) = P(4 \leqslant N \leqslant 6) = P(N=4) + P(N=5) + P(N=6)\)

💡 Diviser par 3 chaque borne de l'inégalité. Puis additionner trois probabilités ponctuelles (ou soustraire deux probabilités cumulées).

Partie B — Moyenne empirique et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance \(E(X) = 22\) et la variance \(V(X) = 65\).

Victor joue \(n\) matchs, où \(n\) est un nombre entier strictement positif. On note \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des \(1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \ldots, n\)-ième matchs. On admet que les variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont indépendantes et suivent la même loi que celle de \(X\).

On pose \(\quad M_{n} = \dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}\).

Dans cette question, on prend \(n = 50\).
1. Que représente la variable aléatoire \(M_{50}\) ?
2. Déterminer l'espérance et la variance de \(M_{50}\).
3. Démontrer que \(P\!\left(\left|M_{50} - 22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}\).
4. En déduire que la probabilité de l'évènement « \(19 < M_{50} < 25\) » est strictement supérieure à \(0{,}85\).
Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
« Il n'existe aucun entier naturel \(n\) tel que \(P\!\big(\left|M_{n} - 22\right| \geqslant 3\big) < 0{,}01\) ».

Méthodes de cours

\(M_n\) est la moyenne empirique (ou moyenne des scores) sur \(n\) matchs : c'est le nombre moyen de points marqués par match.

💡 Formuler la réponse dans le contexte : « \(M_{50}\) représente la moyenne du nombre de points marqués par Victor sur 50 matchs. »

Espérance : par linéarité, \(E(M_n) = E(X)\) (chaque \(X_i\) a même espérance que \(X\)).

Variance : pour des variables indépendantes de même variance \(V(X)\) :

\[V(M_n) = V\!\left(\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}\right) = \frac{n \cdot V(X)}{n^2} = \frac{V(X)}{n}\]

Appliquer avec \(n = 50\) et \(V(X) = 65\).

💡 La formule \(V(aY) = a^2 V(Y)\) avec \(a = \frac{1}{n}\) est clé : \(V\!\left(\frac{\sum X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} \times nV(X) = \frac{V(X)}{n}\).

Énoncé : Pour toute variable aléatoire \(Y\) d'espérance \(E(Y)\) et de variance \(V(Y)\), et pour tout réel \(a > 0\) :

\[P\!\big(|Y - E(Y)| \geqslant a\big) \leqslant \frac{V(Y)}{a^2}\]

Appliquer avec \(Y = M_{50}\), \(E(M_{50}) = 22\), \(V(M_{50}) = \frac{65}{50}\) et \(a = 3\).

Calculer \(\dfrac{V(M_{50})}{3^2} = \dfrac{65/50}{9}\) et montrer que cela vaut \(\dfrac{13}{90}\).

💡 Ne pas oublier de substituer la variance de \(M_{50}\) (et non celle de \(X\)) dans la formule. \(\frac{65}{50 \times 9} = \frac{65}{450} = \frac{13}{90}\).

Étape 1 : Réécrire l'intervalle \(]19~;~25[\) en valeur absolue centrée sur \(E(M_{50}) = 22\) :

\[19 < M_{50} < 25 \iff |M_{50} - 22| < 3\]

Étape 2 : Passer au complémentaire :

\[P(|M_{50} - 22| < 3) = 1 - P(|M_{50} - 22| \geqslant 3) \geqslant 1 - \frac{13}{90} = \frac{77}{90}\]

Étape 3 : Vérifier que \(\dfrac{77}{90} > 0{,}85\).

💡 Vérifier numériquement : \(\frac{77}{90} \approx 0{,}856 > 0{,}85\). ✓

Méthode 1 — Loi faible des grands nombres :

Pour tout \(t > 0\) : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\!\big(|M_n - E(X)| \geqslant t\big) = 0\)

En particulier pour \(t = 3\) : la limite est 0, donc il existe des entiers \(n\) tels que \(P(|M_n - 22| \geqslant 3) < 0{,}01\).

Méthode 2 — Inégalité de concentration :

\(P\!\big(|M_n - 22| \geqslant 3\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{9n} = \dfrac{65}{9n}\)

Chercher \(n\) tel que \(\dfrac{65}{9n} \leqslant 0{,}01\), soit \(n \geqslant \dfrac{6500}{9} \approx 722{,}2\), donc \(n \geqslant 723\).

💡 L'affirmation est fausse : il existe de tels entiers (par exemple \(n = 723\) suffit).

Partie A — Questions 1 et 2

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel \(\ln(2)\), en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au XVI^e siècle.

On désigne par \(\left(u_{n}\right)\) la suite définie par :

\[u_{0} = 2 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1} = \sqrt{u_{n}}\]

1. Donner la valeur exacte de \(u_{1}\) et de \(u_{2}\).
2. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(\quad 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}\).
2. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente.
3. Résoudre dans l'intervalle \([0~;~+\infty[\) l'équation \(\sqrt{x} = x\).
4. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\).

Méthodes de cours

Appliquer la relation de récurrence \(u_{n+1} = \sqrt{u_n}\) :

\(u_1 = \sqrt{u_0} = \sqrt{2}\)
\(u_2 = \sqrt{u_1} = \sqrt{\sqrt{2}}\) (que l'on peut aussi écrire \(2^{1/4}\))

💡 Laisser la réponse sous forme de racines : ce sont des valeurs exactes. Ne pas approcher numériquement ici.

Calculer les premières valeurs : \(u_0 = 2\), \(u_1 \approx 1{,}414\), \(u_2 \approx 1{,}189\), \(u_3 \approx 1{,}091\), …

Observer la tendance et en déduire une conjecture sur le sens de variation et la limite.

💡 La suite est décroissante et semble se rapprocher de 1. La conjecture n'a pas besoin d'être justifiée ici (c'est l'objet de la question 2).

Structure de la preuve :

Initialisation : vérifier pour \(n = 0\) que \(1 \leqslant u_1 \leqslant u_0\), c'est-à-dire \(1 \leqslant \sqrt{2} \leqslant 2\). ✓
Hérédité : supposer \(1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n\) et montrer \(1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\).

Clé de l'hérédité : la fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\) est croissante sur \(\mathbb{R}^+\), donc :

\[1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \implies \sqrt{1} \leqslant \sqrt{u_{n+1}} \leqslant \sqrt{u_n} \implies 1 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}\]

💡 Toujours invoquer explicitement la croissance de la racine carrée pour justifier le passage sous le radical sans changer le sens des inégalités.

Théorème : toute suite monotone et bornée est convergente.

De la question 2a, on déduit :

\((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1} \leqslant u_n\))
\((u_n)\) est minorée par 1 (\(u_n \geqslant 1\))

Le théorème s'applique : \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell \geqslant 1\).

💡 Bien préciser les deux conditions (monotonie ET bornée) avant d'appliquer le théorème.

Pour \(x \geqslant 0\), \(\sqrt{x} = x\) implique que les deux membres sont positifs. Élever au carré :

\[\sqrt{x} = x \iff x = x^2 \iff x^2 - x = 0 \iff x(x-1) = 0\]

Solutions : \(x = 0\) ou \(x = 1\).

💡 L'élévation au carré est valide ici car on est dans \([0~;~+\infty[\) où les deux membres sont positifs : pas de perte de solution.

La suite converge vers \(\ell\) et vérifie \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f(x) = \sqrt{x}\), continue sur \([0~;~+\infty[\).

Par le théorème du point fixe : \(\ell = f(\ell)\), c'est-à-dire \(\ell = \sqrt{\ell}\), donc \(\ell\) est solution de \(\sqrt{x} = x\).

Les solutions sont 0 et 1 (question 2c). Puisque \(\ell \geqslant 1\), on conclut \(\ell = 1\).

💡 Bien justifier pourquoi on écarte la solution \(\ell = 0\) : parce que \(\ell \geqslant 1\) (obtenu en passant à la limite dans \(u_n \geqslant 1\)).

Partie B — Suite \((v_n)\) et méthode de Briggs

On désigne par \(\left(v_{n}\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n} = \ln\!\left(u_{n}\right)\).

1. Démontrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
2. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\), pour tout entier naturel \(n\).
3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(\quad \ln(2) = 2^{n} \ln\!\left(u_{n}\right)\).
On a tracé dans un repère orthonormé la courbe \(\mathscr{C}\) de la fonction \(\ln\) et la tangente T à \(\mathscr{C}\) au point d'abscisse 1. Une équation de T est \(y = x - 1\). Les points \(\mathrm{A}_0\), \(\mathrm{A}_1\), \(\mathrm{A}_2\) ont pour abscisses respectives \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\) et pour ordonnée 0.
On décide de prendre \(x - 1\) comme approximation de \(\ln(x)\) lorsque \(x\) appartient à l'intervalle \(]0{,}99~;~1{,}01[\).
1. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel \(k\) tel que \(u_{k}\) appartienne à l'intervalle \(]0{,}99~;~1{,}01[\) et donner une valeur approchée de \(u_{k}\) à \(10^{-5}\) près.
2. En déduire une approximation de \(\ln\!\left(u_{k}\right)\).
3. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la Partie B une approximation de \(\ln(2)\).
On généralise la méthode précédente à tout réel \(a\) strictement supérieur à 1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de \(\ln(a)\).
On rappelle que l'instruction Python sqrt(a) correspond à \(\sqrt{a}\).

from math import *
def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n + 1
    L = …
    return L

Méthodes de cours

Méthode : calculer \(v_{n+1}\) en substituant la définition \(v_{n+1} = \ln(u_{n+1})\) et la relation \(u_{n+1} = \sqrt{u_n}\) :

\[v_{n+1} = \ln\!\left(u_{n+1}\right) = \ln\!\left(\sqrt{u_n}\right) = \frac{1}{2}\ln(u_n) = \frac{1}{2} v_n\]

Propriété utilisée : \(\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \dfrac{1}{2}\ln(x)\).

La suite \((v_n)\) vérifie \(v_{n+1} = \dfrac{1}{2} v_n\) avec \(v_0 = \ln(2) \neq 0\) : c'est bien une suite géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\).

💡 Justifier explicitement la propriété du logarithme utilisée : \(\ln(\sqrt{x}) = \frac{1}{2}\ln(x)\).

Formule générale d'une suite géométrique :

\[v_n = v_0 \times q^n\]

Ici : \(v_0 = \ln(u_0) = \ln(2)\) et \(q = \dfrac{1}{2}\), donc :

\[v_n = \ln(2) \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\ln(2)}{2^n}\]

💡 La formule s'écrit aussi \(v_n = \ln(2) \cdot 2^{-n}\). Choisir l'écriture la plus lisible pour la suite de l'exercice.

On a montré que \(v_n = \dfrac{\ln(2)}{2^n}\) et que \(v_n = \ln(u_n)\) par définition.

Donc \(\ln(u_n) = \dfrac{\ln(2)}{2^n}\), ce qui donne en multipliant par \(2^n\) :

\[\ln(2) = 2^n \ln(u_n)\]

💡 C'est l'identité fondamentale qui servira à approximer \(\ln(2)\) : une fois qu'on connaît \(u_k\) proche de 1, on peut approximer \(\ln(u_k) \approx u_k - 1\) et obtenir \(\ln(2) \approx 2^k(u_k - 1)\).

Méthode : calculer les termes à la calculatrice jusqu'à trouver le premier qui tombe dans \(]0{,}99~;~1{,}01[\).

\(u_0 = 2 \notin ]0{,}99~;~1{,}01[\)
\(u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41421 \notin ]0{,}99~;~1{,}01[\)
Continuer : \(u_2 \approx 1{,}18921\), \(u_3 \approx 1{,}09051\), …, \(u_6 \approx 1{,}01088\), \(u_7 \approx 1{,}00543\) ✓

Le plus petit entier est \(k = 7\) avec \(u_7 \approx 1{,}00543\).

💡 Calculer une racine carrée appliquée successivement : touche \(\sqrt{\phantom{x}}\) ou \(\hat{~}\,0{,}5\) autant de fois que nécessaire.

Dans l'intervalle \(]0{,}99~;~1{,}01[\), on utilise l'approximation affine :

\[\ln(x) \approx x - 1\]

(la tangente à la courbe \(\mathscr{C}\) au point d'abscisse 1 a pour équation \(y = x - 1\))

Donc : \(\ln(u_7) \approx u_7 - 1 \approx 1{,}00543 - 1 = 0{,}00543\).

💡 Cette approximation est valide car \(u_7\) est très proche de 1 : la courbe et sa tangente sont alors très proches.

De la question 1.c. : \(\ln(2) = 2^k \ln(u_k)\) avec \(k = 7\).

De la question 2.b. : \(\ln(u_7) \approx u_7 - 1 \approx 0{,}00543\).

Donc : \(\ln(2) \approx 2^7 \times (u_7 - 1) = 128 \times 0{,}00543 \approx 0{,}695\).

💡 La vraie valeur est \(\ln(2) \approx 0{,}6931\). L'approximation est correcte à 2 décimales près, ce qui valide la méthode de Briggs.

Analyse de l'algorithme : la boucle while répète l'extraction de racine carrée tant que \(a \geqslant 1{,}01\), en comptant le nombre d'itérations dans \(n\).

Quand la boucle s'arrête : \(a\) est dans \([1~;~1{,}01[\), donc \(\ln(a) \approx a - 1\).

D'après la formule \(\ln(\text{valeur initiale}) = 2^n \ln(a)\), on calcule :

L = 2**n * (a - 1)

💡 \(2^n\) en Python s'écrit 2**n. La valeur \(a\) dans l'algorithme correspond à \(u_k\) de l'exercice, et \(n\) correspond au nombre d'itérations (le \(k\) de la partie B).

Partie A — Affirmations 1 à 3

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1. Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Affirmation 1 : \(\vect{\text{JH}} = 2\vect{\text{BI}} + \vect{\text{DM}} - \vect{\text{CB}}\)

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs \(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AH}},~\vect{\text{AG}}\right)\) est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : \(\vect{\text{IB}} \cdot \vect{\text{LM}} = -\dfrac{1}{4}\)

Méthodes de cours

Stratégie : exprimer \(\vect{JH}\) comme une chaîne de vecteurs, puis traduire chaque vecteur intermédiaire en termes de \(\vect{BI}\), \(\vect{DM}\) et \(\vect{CB}\).

Décomposition utile : \(\vect{JH} = \vect{JF} + \vect{FE} + \vect{EH}\)

J est le milieu de [BF] donc \(\vect{JF} = \dfrac{1}{2}\vect{BF} = \dfrac{1}{2}\vect{DH} = \vect{DM}\)
\(\vect{FE} = \vect{BA} = -\vect{AB} = 2\vect{BI}\) (car I est le milieu de [AB])
\(\vect{EH} = \vect{AD} = -\vect{DA} = \vect{BC} = -\vect{CB}\)

💡 Dans un cube, les arêtes opposées et parallèles sont égales en tant que vecteurs : ex. \(\vect{AB} = \vect{DC} = \vect{EF} = \vect{HG}\). Utiliser ces égalités pour simplifier les décompositions.

Condition : trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement si ils sont non coplanaires (autrement dit, aucun n'est combinaison linéaire des deux autres).

Contre-exemple à chercher : peut-on exprimer \(\vect{AG}\) comme combinaison linéaire de \(\vect{AB}\) et \(\vect{AH}\) ?

Dans le cube, G est le sommet opposé à A. Observer le chemin A → G : \(\vect{AG} = \vect{AB} + \vect{BG}\). Identifier \(\vect{BG}\) à partir des arêtes du cube.

💡 Si \(\vect{AG} = \alpha \vect{AB} + \beta \vect{AH}\), alors les trois vecteurs sont coplanaires et ne peuvent pas être une base de l'espace (dimension 3 requiert 3 vecteurs linéairement indépendants).

Étape 1 : Identifier \(\vect{LM}\). L est le milieu de [CD] et M est le milieu de [DH]. Calculer \(\vect{LM}\).

Étape 2 : Observer si \(\vect{LM}\) est égal à un vecteur plus simple. Dans le cube, \(\vect{LM} = \vect{IK}\) (vecteur entre milieux d'arêtes parallèles).

Étape 3 : Calculer \(\vect{IB} \cdot \vect{IK}\) : projeter \(\vect{IK}\) sur \(\vect{IB}\). Le projeté orthogonal de K sur la droite (AB) est le point A. Donc :

\[\vect{IB} \cdot \vect{IK} = \vect{IB} \cdot \vect{IA} = -\text{IB} \times \text{IA}\]

(sens contraires) avec IB = IA = 1/2 (I milieu de [AB], arête de longueur 1).

💡 Formule du produit scalaire par projection : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\text{proj}_{\vec{u}} \vec{v}\|\) avec signe. Ici A est le projeté orthogonal de K sur (IB).

Partie B — Affirmations 4 à 7

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

le plan \(\mathcal{P}\) d'équation cartésienne \(2x - y + 3z + 6 = 0\)
les points A\((2~;~0~;~-1)\) et B\((5~;~-3~;~7)\)

Affirmation 4 : « Le plan \(\mathcal{P}\) et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan \(\mathcal{P}'\) parallèle à \(\mathcal{P}\) passant par B a pour équation cartésienne \(-2x + y - 3z + 34 = 0\). »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan \(\mathcal{P}\) est égale à \(\dfrac{\sqrt{14}}{2}\). »

On note \((d)\) la droite de représentation paramétrique

\[\left\{\begin{array}{lcl} x &=& -12 + 2k \\ y &=& \phantom{-}6 \\ z &=& \phantom{-}3 - 5k \end{array}\right., \quad k \in \mathbb{R}\]

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et \((d)\) ne sont pas coplanaires. »

Méthodes de cours

Condition : le plan \(\mathcal{P}\) et la droite (AB) sont parallèles si et seulement si le vecteur directeur \(\vect{AB}\) est orthogonal au vecteur normal \(\vec{n}\) du plan.

Soit : \(\vect{AB} \cdot \vec{n} = 0\).

Calculer \(\vect{AB}\) (= B - A), identifier \(\vec{n}(2~;~-1~;~3)\) depuis l'équation du plan, puis calculer le produit scalaire.

💡 Si \(\vect{AB} \cdot \vec{n} \neq 0\), la droite et le plan ne sont pas parallèles (ils sont sécants). Le résultat numérique vous donnera la réponse (vraie ou fausse).

Méthode 1 (construction) : deux plans parallèles ont le même vecteur normal. Donc \(\mathcal{P}'\) a une équation de la forme \(2x - y + 3z + d = 0\). Substituer les coordonnées de B pour trouver \(d\).

Méthode 2 (vérification) : vérifier que le vecteur normal de l'équation proposée est colinéaire à \(\vec{n}\), et que B vérifie l'équation.

💡 Multiplier une équation de plan par \(-1\) donne un plan identique. L'équation \(-2x+y-3z+34=0\) est équivalente à \(2x-y+3z-34=0\) : même plan mais écriture différente.

Formule directe : distance du point \(M(x_0~;~y_0~;~z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) :

\[\delta = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]

Appliquer avec A\((2~;~0~;~-1)\) et le plan \(2x - y + 3z + 6 = 0\).

💡 La formule directe est la méthode la plus rapide. Alternativement, on peut trouver le projeté orthogonal H de A sur \(\mathcal{P}\) (droite passant par A dirigée par \(\vec{n}\)) et calculer AH.

Deux droites non parallèles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes.

Méthode :

Vérifier que les vecteurs directeurs \(\vect{AB}\) et \(\vec{u}(2~;~0~;~-5)\) ne sont pas colinéaires (sinon les droites seraient parallèles)
Chercher si le système d'intersection admet une solution : écrire les représentations paramétriques des deux droites et résoudre en \(t\) et \(k\)
Si le système est compatible → droites sécantes → coplanaires (affirmation fausse)
Si le système est incompatible → droites gauches → non coplanaires (affirmation vraie)

💡 Il y a 3 équations et 2 inconnues (\(t\) et \(k\)). Si les deux premières équations donnent une solution \((t_0, k_0)\) qui vérifie également la troisième, les droites sont sécantes.

Partie A — Questions 1 à 3

On désigne par \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~\pi]\) par \(f(x) = \mathrm{e}^x \sin(x)\).

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère.

1. Démontrer que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \([0~;~\pi]\) : \[f'(x) = \mathrm{e}^x\!\left[\sin(x) + \cos(x)\right].\]
2. Justifier que la fonction \(f\) est strictement croissante sur l'intervalle \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\).
1. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(0\).
2. Démontrer que la fonction \(f\) est convexe sur l'intervalle \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\).
3. En déduire que pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\quad \mathrm{e}^x \sin(x) \geqslant x\).
Justifier que le point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\) de la courbe représentative de la fonction \(f\) est un point d'inflexion.

Méthodes de cours

Règle du produit : \((uv)' = u'v + uv'\)

Poser \(u(x) = \mathrm{e}^x\) et \(v(x) = \sin(x)\) :

\(u'(x) = \mathrm{e}^x\)
\(v'(x) = \cos(x)\)

\[f'(x) = \mathrm{e}^x \sin(x) + \mathrm{e}^x \cos(x) = \mathrm{e}^x\!\left[\sin(x) + \cos(x)\right]\]

💡 Factoriser par \(\mathrm{e}^x\) en fin de calcul pour obtenir la forme demandée dans l'énoncé.

Méthode : montrer que \(f'(x) > 0\) sur \(\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[\).

\(f'(x) = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x)\) est un produit de deux facteurs :

\(\mathrm{e}^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
\(\sin x + \cos x\) : sur \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin x \geqslant 0\) et \(\cos x \geqslant 0\), et ils ne s'annulent pas simultanément

Donc \(\sin x + \cos x > 0\) sur \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\), d'où \(f'(x) > 0\), et \(f\) est strictement croissante.

💡 Préciser que \(\sin\) et \(\cos\) ne s'annulent pas en même temps : \(\sin(0) = 0\) mais \(\cos(0) = 1 \neq 0\) ; \(\cos(\pi/2) = 0\) mais \(\sin(\pi/2) = 1 \neq 0\).

Formule : La tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :

\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]

Calculer \(f(0)\) et \(f'(0)\) :

\(f(0) = \mathrm{e}^0 \sin(0) = 1 \times 0 = 0\)
\(f'(0) = \mathrm{e}^0(\sin 0 + \cos 0) = 1 \times (0 + 1) = 1\)

La tangente T a donc pour équation : \(y = x\).

💡 \(\sin(0) = 0\) et \(\cos(0) = 1\) : valeurs fondamentales à connaître par cœur.

Rappel : \(f\) est convexe sur un intervalle si et seulement si \(f''(x) \geqslant 0\) sur cet intervalle.

Calculer \(f''(x)\) en dérivant \(f'(x) = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x)\) par la règle du produit :

\[f''(x) = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x \cdot 2\cos x = 2\mathrm{e}^x \cos x\]

Sur \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(\mathrm{e}^x > 0\) et \(\cos x \geqslant 0\), donc \(f''(x) \geqslant 0\) → \(f\) est convexe.

💡 La simplification \(\sin x + \cos x + \cos x - \sin x = 2\cos x\) est rapide mais mérite d'être bien menée étape par étape.

Propriété : si \(f\) est convexe sur un intervalle, alors sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

On a montré en 2a que la tangente en \(x = 0\) est \(y = x\).

Donc, pour tout \(x \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(f(x) \geqslant x\), soit \(\mathrm{e}^x \sin(x) \geqslant x\).

💡 La logique est : convexité ⟹ courbe au-dessus des tangentes ⟹ \(f(x) \geqslant T(x)\) pour tout \(x\). Ici T est la tangente d'équation \(y = x\).

Définition : un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité, c'est-à-dire où \(f''\) s'annule en changeant de signe.

De la question 2b : \(f''(x) = 2\mathrm{e}^x \cos x\).

Sur \(\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(\cos x \geqslant 0\) donc \(f''(x) \geqslant 0\) (convexe)
Sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]\) : \(\cos x \leqslant 0\) donc \(f''(x) \leqslant 0\) (concave)

En \(x = \dfrac{\pi}{2}\) : \(f''\) s'annule et change de signe → point d'inflexion.

💡 Il ne suffit pas que \(f''(\pi/2) = 0\) ; il faut également vérifier le changement de signe. Un zéro simple de \(f''\) garantit ce changement de signe.

Partie B — Intégration par parties et aire

On note

\[I = \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \sin(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\pi/2} \mathrm{e}^x \cos(x)\,\mathrm{d}x.\]

En intégrant par parties l'intégrale \(I\) de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes : \[I = 1 + J \qquad \text{et} \qquad I = \mathrm{e}^{\pi/2} - J.\]
En déduire que \(I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\pi/2}}{2}\).
On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x\). Les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\) sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle \([0~;~\pi]\).
Voir le graphique dans l'énoncé officiel — domaine hachuré entre \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) de \(x = 0\) à \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d'équation \(x = 0\) et \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

Méthodes de cours

Formule d'intégration par parties :

\[\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x\]

Premier choix :

\(u(x) = \mathrm{e}^x \Rightarrow u'(x) = \mathrm{e}^x\)
\(v'(x) = \sin(x) \Rightarrow v(x) = -\cos(x)\)

Application :

\[I = \Big[-\cos(x)\,\mathrm{e}^x\Big]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x = \left(0 + 1\right) + J = 1 + J\]

(car \(\cos(\pi/2) = 0\) et \(\cos(0) = 1\))

💡 La primitive de \(\sin(x)\) est \(-\cos(x)\). Evaluer soigneusement le crochet en \(\pi/2\) et en 0.

Deuxième choix :

\(u(x) = \sin(x) \Rightarrow u'(x) = \cos(x)\)
\(v'(x) = \mathrm{e}^x \Rightarrow v(x) = \mathrm{e}^x\)

Application :

\[I = \Big[\sin(x)\,\mathrm{e}^x\Big]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x = \left(\mathrm{e}^{\pi/2} - 0\right) - J = \mathrm{e}^{\pi/2} - J\]

(car \(\sin(\pi/2) = 1\) et \(\sin(0) = 0\))

💡 Astuce : en choisissant \(v'(x) = \mathrm{e}^x\), la primitive est \(\mathrm{e}^x\) lui-même, ce qui simplifie les calculs.

Les deux relations de la question 1 forment un système en I et J :

\[\begin{cases} I = 1 + J \\ I = \mathrm{e}^{\pi/2} - J \end{cases}\]

Additionner les deux égalités :

\[2I = 1 + J + \mathrm{e}^{\pi/2} - J = 1 + \mathrm{e}^{\pi/2}\]

Donc : \(I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\pi/2}}{2}\).

💡 L'addition élimine J, qui disparaît du résultat. C'est une technique classique pour calculer deux intégrales liées : résoudre le système par addition.

De la Partie A 2.c. : pour tout \(x \in \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(f(x) \geqslant g(x)\) (i.e. \(\mathrm{e}^x\sin x \geqslant x\)).

L'aire du domaine hachuré est :

\[\mathcal{A} = \int_0^{\pi/2}\!\big[f(x) - g(x)\big]\,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}\!\mathrm{e}^x\sin(x)\,\mathrm{d}x - \int_0^{\pi/2}\! x\,\mathrm{d}x\]

Calculer chaque intégrale :

\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathrm{e}^x\sin(x)\,\mathrm{d}x = I = \dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2}\)
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi^2}{8}\)

Donc : \(\mathcal{A} = \dfrac{1+\mathrm{e}^{\pi/2}}{2} - \dfrac{\pi^2}{8}\) unités d'aire.

💡 Comme \(f(x) \geqslant g(x)\) sur tout l'intervalle (prouvé en Partie A), la différence est positive : pas besoin de valeur absolue.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Guide de résolutionAmérique du Nord — 22 mai 2025

Partie A — Questions 1 à 5

Méthodes de cours

Partie B — Moyenne empirique et inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Méthodes de cours

Partie A — Questions 1 et 2

Méthodes de cours

Partie B — Suite \((v_n)\) et méthode de Briggs

Méthodes de cours

Partie A — Affirmations 1 à 3

Méthodes de cours

Partie B — Affirmations 4 à 7

Méthodes de cours

Partie A — Questions 1 à 3

Méthodes de cours

Partie B — Intégration par parties et aire

Méthodes de cours

Guide de résolution
Amérique du Nord — 22 mai 2025