Guide de résolution — Épreuve anticipée de maths, Polynésie 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.
Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

Le nombre \(\left(5^{3}\right)^{2}\) est égal à :

A. \(5^5\)

B. \(5^6\)

C. \(5^9\)

D. \(5^1\)

Question 2

Pour calculer le prix d'un produit après une hausse de 25 %, en une seule opération, il faut multiplier le prix initial par :

A. \(0,25\)

B. \(0,75\)

C. \(1,25\)

D. \(1,75\)

Question 3

Dans un repère, on a tracé la droite passant par l'origine du repère de coordonnées \((0\,;\,0)\) et par le point de coordonnées \((2\,;\,6)\).

Une équation de la droite est :

A. \(y=2x+6\)

B. \(y=6x+2\)

C. \(y=3x\)

D. \(y=x\)

Question 4

Dans un lycée, les adhérents de l'association sportive représentent un quart des élèves.

Quelle est la proportion d'élèves du lycée qui ne sont pas adhérents à l'association sportive ?

A. 25 %

B. 75 %

C. 40 %

D. 60 %

Question 5

Le nombre \(\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times\dfrac{2}{3}\) est égal à :

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Question 6

L'expression \((2x+3)^2\) est égale à :

A. \(2x^2+9\)

B. \(4x^2+12x+9\)

C. \(4x^2+9\)

D. \(2x^2+12x+9\)

Question 7

On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.

On admet que toutes les faces ont la même probabilité d'apparaitre.

Quelle est la probabilité d'obtenir un numéro inférieur ou égal à 2 ?

A. \(\dfrac{1}{6}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Question 8

On considère la série de nombres \(7\,;\,3\,;\,4\,;\,2\,;\,x\).

La moyenne de cette série de nombres est égale à 5.

Quelle équation permet de déterminer la valeur de \(x\) ?

A. \(\dfrac{7+3+4+2+x}{5}=5\)	B. \(7+3+4+2+\dfrac{x}{5}=5\)
C. \(\dfrac{7+3+2+4}{4}+x=5\)	D. \(\dfrac{7+3+4+2+x}{4}=5\)

Méthodes de cours

La règle en jeu est \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n}\) : les exposants se multiplient, la base ne change pas.

💡 Ne la confonds pas avec \(a^m\times a^n=a^{m+n}\), où les exposants s'additionnent : les deux réponses correspondantes sont côte à côte dans la liste. Si tu hésites, écris \(\left(5^3\right)^2=5^3\times 5^3\) et compte les facteurs.

Une hausse de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\) ; une baisse, par \(1-\dfrac{t}{100}\).

💡 Le prix augmente : le coefficient est donc nécessairement supérieur à 1, ce qui élimine deux réponses d'un coup. Le \(1\) représente le prix de départ que l'on conserve, le \(0,25\) la hausse qu'on lui ajoute.

Une droite passant par l'origine a une équation de la forme \(y=mx\) (l'ordonnée à l'origine est nulle). Pour trouver \(m\), on utilise le point donné : ses coordonnées doivent vérifier l'équation.

💡 Deux propositions comportent un terme constant : elles ne passent donc pas par l'origine et se rejettent sans calcul. Attention aussi à ne pas estimer la pente à l'œil sur ce graphique — les échelles des deux axes sont différentes. Teste plutôt les coordonnées du point marqué.

Les élèves se répartissent en deux groupes complémentaires : adhérents et non-adhérents. Leurs proportions ont pour somme \(1\), c'est-à-dire \(100\,\%\).

💡 Convertis d'abord « un quart » en pourcentage, puis soustrais à \(100\,\%\). La réponse qui reprend telle quelle la proportion d'adhérents est le piège de lecture de la question — c'est bien le groupe contraire qui est demandé.

On respecte les priorités : d'abord la parenthèse, en mettant les deux termes au même dénominateur, puis la multiplication (numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux).

💡 Simplifie avant de multiplier : les facteurs \(3\) et \(2\) se compensent en croix, et le calcul se fait de tête. Comme les deux facteurs valent respectivement \(1,5\) et un peu moins de \(1\), le résultat doit être proche de \(1\).

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Ici \(a=2x\) et \(b=3\) : attention, \(a^2=(2x)^2=4x^2\) — le carré porte aussi sur le coefficient.

💡 Les quatre propositions testent exactement les deux erreurs classiques : oublier le double produit \(2ab\), et oublier d'élever le coefficient \(2\) au carré. Vérifie ton développement en remplaçant \(x\) par \(1\) dans l'expression de départ et dans ta réponse.

Quand toutes les issues ont la même probabilité,

\[P(E)=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}.\]

💡 Commence par lister les issues favorables : « inférieur ou égal à 2 » en comporte deux, car l'inégalité est large et le \(2\) compte. Pense à simplifier la fraction obtenue, sinon tu ne la retrouveras pas parmi les propositions.

La moyenne d'une série est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. Ici la série compte cinq nombres, \(x\) compris.

💡 Deux détails décident : la totalité de la somme doit passer sous la barre de fraction (parenthèses implicites), et le dénominateur compte bien l'inconnue comme une valeur de la série. On ne te demande pas de résoudre l'équation, seulement de l'écrire.

Exercice 1 (4 points)

Deuxième partie (14 points)

Un marchand de glaces donne le choix à ses clients d'acheter la glace dans un cornet ou un pot.

Trois types de glaces sont proposés : sorbet, glace au lait et crème glacée.

Le tableau suivant donne les effectifs des choix de 200 clients ayant acheté une seule boule de glace.

Les réponses aux questions suivantes seront données sous forme de fractions non nécessairement simplifiées.

On interroge un client au hasard.

On admet que tous les clients ont la même probabilité d'être interrogés.

	Sorbet	Glace au lait	Crème glacée	Total
Cornet	16	64	80	160
Pot	12	4	24	40
Total	28	68	104	200

Donner la probabilité que ce client ait choisi un sorbet.
Donner la probabilité que ce client ait choisi un sorbet dans un pot.
Sachant que le client interrogé a choisi un cornet, quelle est la probabilité qu'il ait choisi une glace au lait ?
Sachant que le client interrogé a choisi une crème glacée, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un pot ?

Méthodes de cours

En situation d'équiprobabilité,

\[P(E)=\dfrac{\text{effectif de }E}{\text{effectif total}}.\]

« Avoir choisi un sorbet » regroupe les clients des deux contenants : l'effectif utile est donc un total de colonne, pas une case intérieure.

💡 L'énoncé autorise les fractions non simplifiées : garde \(\dfrac{\ldots}{200}\) telle quelle, c'est plus sûr et tout aussi juste. Vérifie au passage la cohérence du tableau — chaque total doit être la somme de sa ligne ou de sa colonne.

« Un sorbet dans un pot » impose deux caractères simultanément : c'est une intersection, qui correspond à une seule case intérieure du tableau, au croisement de la ligne et de la colonne concernées.

💡 Le dénominateur reste l'effectif total (\(200\)) : on choisit toujours le client parmi tous les clients. C'est ce qui distingue cette question des deux suivantes, où l'univers va être réduit.

« Sachant que … » restreint l'univers : on ne travaille plus que sur le sous-groupe indiqué. Avec les notations du cours,

\[P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)},\]

ce qui, dans un tableau d'effectifs, revient à diviser la case du croisement par le total du sous-groupe : total de la ligne pour la question 3, total de la colonne pour la question 4.

💡 Repère bien lequel des deux caractères est la condition : c'est lui qui donne le dénominateur. Un contrôle utile : ces deux probabilités doivent être plus grandes que les probabilités d'intersection correspondantes, puisque le dénominateur est plus petit que \(200\).

Exercice 2 (6 points) — Partie A

Une personne souhaite emprunter \(10\,000\) €, remboursables en six versements annuels.

Un établissement de crédit propose les deux formules.

Formule 1 : Le premier versement est \(1\,025\) € et les versements annuels suivants augmentent de \(400\) € chaque année par rapport au versement précédent.
Formule 2 : le premier versement est \(1\,550\) € et les versements annuels suivants augmentent de 10 % chaque année par rapport au versement précédent.

Partie A

On se place dans le cas de la formule 1.

Étant donné un entier naturel \(n\), on appelle \(u_n\) le versement, exprimé en euros, de l'année \(2025+n\).

On a \(u_0=1\,025\).

Calculer \(u_1\).
Donner la nature de la suite \((u_n)\) et donner sa raison.
Donner la valeur du dernier versement \(u_5\).

Méthodes de cours

Une augmentation d'un montant fixe en euros se traduit par une addition, pas par une multiplication : on ajoute la même somme au versement précédent.

💡 Repère la correspondance rang / année : \(u_0\) est le versement de 2025, donc \(u_1\) est celui de 2026. Une phrase de conclusion avec l'unité (€) est toujours attendue.

Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre — la raison ; elle est géométrique lorsqu'on multiplie toujours par le même nombre.

💡 Justifie en citant la relation \(u_{n+1}=u_n+r\) plutôt qu'en te contentant d'annoncer la nature : c'est la phrase qui rapporte le point. Précise aussi le premier terme, qui achève de caractériser la suite.

Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\) :

\[u_n=u_0+n\,r.\]

On peut aussi calculer les termes de proche en proche, mais la formule explicite est plus rapide et moins sujette aux erreurs de report.

💡 Attention au nombre de sauts : de \(u_0\) à \(u_5\) il y a cinq augmentations, pas six, alors que la personne effectue bien six versements. Si tu passes par les termes successifs, écris-les tous pour te relire.

Exercice 2 (6 points) — Partie C

Partie C

La feuille de calcul suivante présente, pour chaque année et pour chaque formule, le cumul des montants remboursés depuis le début du crédit.

Le montant final en gras dans le tableau, en ligne 7, correspond à la somme des \(10\,000\) € empruntés et des intérêts perçus par l'établissement de crédit.

	A	B	C
1	\(n\)	Formule 1	Formule 2
2	0	1 025,00 €	1 550,00 €
3	1	2 450,00 €	3 255,00 €
4	2	4 275,00 €	5 130,50 €
5	3	6 500,00 €	7 193,55 €
6	4	9 125,00 €	9 462,91 €
7	5	12 150,00 €	11 959,20 €

Quelle est la formule la plus avantageuse pour la personne qui emprunte ?

Justifier.

Méthodes de cours

« Avantageuse pour la personne qui emprunte » signifie : celle qui lui coûte le moins au total. Le critère est donc le montant cumulé final, celui de la dernière ligne, et non le premier versement ni la progression annuelle.

L'énoncé rappelle que ce montant final vaut \(10\,000\) € plus les intérêts : la différence entre les deux colonnes est donc exactement la différence d'intérêts payés.

💡 Ne te laisse pas piéger par les lignes intermédiaires, où la formule 2 est plus coûteuse pendant les premières années : la comparaison qui compte est celle des deux totaux. Justifie en citant les deux montants de la ligne 7 et en calculant leur écart, avec une phrase de conclusion.

Exercice 3 (4 points)

On considère la fonction \(f\) définie et dérivable sur \([-4\,;\,6]\) par

\[f(x)=-0,5x^2+x+7,5.\]

On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\).

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction \(f\) et sa tangente au point d'abscisse 3 qui passe par les points de coordonnées \((3\,;\,6)\), \((4\,;\,4)\) et \((6\,;\,0)\).

Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \([-4\,;\,6]\),
\[f(x)=(0,5x+1,5)(-x+5)\]

Les justifications demandées pour les trois questions suivantes peuvent se faire par des calculs ou par des lectures graphiques.

Déterminer le nombre dérivé en 3.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Affirmation a. : les solutions de l'inéquation \(f(x)\leqslant 0\) sur \([-4\,;\,6]\) sont les nombres réels appartenant à l'intervalle \([-3\,;\,5]\).
2. Affirmation b. : \(f'(x)\) est positif sur l'intervalle \([1\,;\,4]\).

Méthodes de cours

Quand les deux formes sont données, on part de la forme factorisée et on la développe pour retrouver l'expression de départ : c'est bien plus rapide que de factoriser soi-même.

On développe le produit terme à terme, puis on réduit en regroupant les termes en \(x\).

💡 Surveille les signes : le second facteur commence par \(-x\), donc deux des quatre produits sont négatifs. Les deux termes en \(x\) ne se simplifient pas complètement — leur somme doit redonner exactement le \(+x\) de l'énoncé.

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\). Deux voies au choix, l'énoncé les autorise toutes les deux :

graphiquement : à partir de deux des points donnés sur la tangente, \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) ;
par le calcul : dériver \(f\) (la dérivée d'un trinôme est affine) puis remplacer \(x\) par \(3\).

💡 La tangente descend : le nombre dérivé est donc négatif, ce qui te donne un contrôle immédiat. Fais les deux méthodes si tu as le temps — elles doivent donner la même valeur.

La forme factorisée de la question 1 donne les racines de \(f\), donc son tableau de signes : chaque facteur \(ax+b\) change de signe en sa racine, et on multiplie les signes ligne par ligne.

Graphiquement, \(f(x)\leqslant 0\) correspond aux abscisses où la courbe est au-dessous de l'axe ou sur l'axe.

💡 Regarde d'abord l'orientation de la parabole (le coefficient de \(x^2\) est négatif) : entre les racines, la fonction est positive, et c'est à l'extérieur qu'elle est négative. L'ensemble des solutions n'est donc pas un intervalle unique, et il faut le restreindre à \([-4\,;\,6]\).

\(f'\) est une fonction affine : on cherche la valeur qui l'annule, puis on applique la règle du signe d'une fonction affine (du signe de son coefficient directeur après la racine, du signe contraire avant).

Graphiquement, cela revient à regarder où la courbe monte (\(f'>0\)) et où elle descend (\(f'<0\)) : le sommet de la parabole marque le changement.

💡 L'intervalle proposé contient l'abscisse du sommet : regarde bien si le signe reste le même sur tout l'intervalle, bornes comprises. Il suffit qu'une partie de l'intervalle échappe à la propriété pour que l'affirmation soit fausse — et n'oublie pas le cas où \(f'\) s'annule.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée — Voie technologique
Polynésie — 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points) — Partie C

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée — Voie technologiquePolynésie — 12 juin 2026

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