Guide de résolution — Épreuve anticipée de maths, Polynésie remplacement 4 septembre 2026

Partie 1 : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.

Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

Augmenter un nombre de 4 % revient à le multiplier par :

A. $0,04$

B. $0,4$

C. $1,04$

D. $1,4$

Question 2

25 % de 80 est égal à :

A. $16$

B. $20$

C. $60$

D. $100$

Question 3

Trois quarts d'heure correspondent à :

A. 15 minutes

B. 40 minutes

C. 45 minutes

D. 75 minutes

Question 4

Le nombre $4,31\times 10^{-5}$ peut s'écrire :

A. $0,000\,043\,1$	B. $0,000\,431$
C. $0,004\,31$	D. $431\,000$

Question 5

On donne $V=\pi h R^{2}$ avec $h=4$, $R=5$ et $\pi\approx 3,14$. Un calcul numérique permettant d'obtenir une valeur approchée de $V$ est :

A. $3,14\times 4\times 25$	B. $3,14\times(4\times 5)^{2}$
C. $(3,14\times 4\times 5)^{2}$	D. $3,14\times 4\times 5$

Question 6

On donne les deux graphiques ci-dessous :

La proportion d'hommes parmi les locataires est :

A. $25,0\,\%$

B. $43,75\,\%$

C. $56,25\,\%$

D. $75,0\,\%$

Question 7

Sur $\mathbb{R}$, l'équation $6x-5=4x+3$ a pour solution :

A. $x=-2$

B. $x=1$

C. $x=2$

D. $x=4$

Question 8

La droite $(\Delta)$ est la représentation graphique d'une fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

L'expression de $f$ est :

A. $f(x)=2x+3$	B. $f(x)=3x+2$
C. $f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3$	D. $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+2$

Méthodes de cours

Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$.

💡 Le nombre augmente : le coefficient est donc supérieur à 1, ce qui écarte deux propositions immédiatement. Attention ensuite à la place de la virgule : $4\,\%=0,04$, pas $0,4$.

Prendre $t\,\%$ d'un nombre, c'est le multiplier par $\dfrac{t}{100}$. Ici on peut aussi reconnaître que $25\,\%$ est le quart.

💡 Le résultat est une partie de $80$ : il est forcément plus petit, ce qui élimine la dernière proposition. Ne confonds pas avec « ajouter 25 % » ou « enlever 25 % », qui donneraient d'autres valeurs de la liste.

On cherche $\dfrac{3}{4}$ de $60$ minutes : on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur (un quart d'heure, puis trois fois cette valeur).

💡 Contrôle de bon sens : trois quarts, c'est moins qu'une heure entière mais plus que la moitié — la réponse doit donc être comprise entre $30$ et $60$ minutes. Le piège de l'heure décimale ($0,75\times 100$) donne une réponse de la liste.

Multiplier par $10^{-n}$ revient à diviser par $10^{n}$ : la virgule se déplace de $n$ rangs vers la gauche, et on complète avec des zéros.

💡 Compte les déplacements de la virgule un par un plutôt que les zéros après la virgule : c'est là que naissent les erreurs. L'exposant est négatif, donc le résultat est nécessairement plus petit que $4,31$ — la dernière proposition se rejette sans calcul.

Dans une formule, on remplace chaque lettre par sa valeur en respectant les priorités : l'exposant ne porte que sur la lettre qui le précède immédiatement, ici $R$ seul.

💡 $R^2$ signifie $5\times 5$, et non $(4\times 5)^2$ ni un carré portant sur tout le produit : deux propositions jouent précisément sur cette confusion. La quatrième oublie purement et simplement le carré.

Les deux graphiques décrivent la même population, mais ne répartissent pas selon le même critère : dans l'un, chaque barre détaille la composition selon le sexe ; dans l'autre, selon le statut d'occupation.

Commence par lire la légende et l'étiquette de chaque groupe, puis repère la question : « la proportion d'hommes parmi les locataires » signifie que le groupe de référence est celui des locataires.

💡 Le vrai piège est là : « proportion d'hommes parmi les locataires » et « proportion de locataires parmi les hommes » sont deux nombres différents, et les deux figurent dans la liste des réponses. Identifie d'abord le groupe de référence, puis va chercher la barre correspondante dans le bon graphique.

On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre, puis on divise par le coefficient obtenu. Chaque terme déplacé change de signe.

💡 Dans un QCM, la vérification est immédiate : remplace ta solution dans les deux membres de l'équation de départ et vérifie qu'ils donnent le même nombre. Si tu hésites entre deux propositions, teste-les.

Une fonction affine s'écrit $f(x)=mx+p$ : $p$ est l'ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe des ordonnées) et $m$ le coefficient directeur, obtenu en avançant de $1$ vers la droite et en lisant le déplacement vertical.

💡 Procède par élimination : la droite descend, donc $m<0$ — deux propositions tombent. Lis ensuite l'ordonnée à l'origine, qui départage les deux restantes. Comme la pente n'est pas entière, appuie-toi sur deux points à coordonnées entières bien espacés.

Exercice 1 (4 points)

Partie 2 (14 points)

Dans une station balnéaire on a interrogé 600 touristes, français ou étrangers, sur leur séjour.

Tous ont répondu. Les effectifs sont reportés dans le tableau suivant :

	Camping	Location	Hôtel	Total
Français	232	116	12	360
Étrangers	96	96	48	240
Total	328	212	60	600

Les réponses des questions suivantes seront données sous forme de fractions non nécessairement simplifiées.

On choisit une personne au hasard. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.

On considère les événements :

$E$ : « La personne choisie est un touriste étranger » ;
$C$ : « La personne choisie séjourne dans un camping ».

Donner la probabilité $P(C)$ de l'événement $C$.
Donner la probabilité $P(\overline{C})$ où $\overline{C}$ désigne l'événement contraire de $C$.
Donner la probabilité de l'événement : « La personne interrogée est un touriste étranger et séjourne dans un camping ».
Sachant que la personne choisie est en location, donner la probabilité qu'elle soit un touriste français.

Méthodes de cours

En situation d'équiprobabilité,

\[P(E)=\dfrac{\text{effectif de }E}{\text{effectif total}}.\]

« Séjourner dans un camping » concerne les touristes des deux nationalités : l'effectif utile est le total de la colonne, pas une case intérieure.

💡 L'énoncé autorise les fractions non simplifiées : garde le dénominateur $600$, c'est plus rapide et tout aussi juste. Vérifie au passage la cohérence du tableau, chaque total étant la somme de sa ligne ou de sa colonne.

Pour tout évènement $A$ : $P\!\left(\overline{A}\right)=1-P(A)$. On peut aussi additionner directement les effectifs des deux autres colonnes.

💡 Les deux méthodes doivent donner le même résultat — fais-en une et vérifie avec l'autre, c'est gratuit. Si tu passes par $1-P(C)$, écris $1$ sous la forme $\dfrac{600}{600}$ pour soustraire sans erreur.

Le mot « et » traduit l'intersection $E\cap C$ : une seule case intérieure du tableau, au croisement de la ligne et de la colonne concernées.

💡 Le dénominateur reste l'effectif total : on choisit toujours la personne parmi les $600$ touristes. C'est ce qui distingue cette question de la suivante, où l'univers va être réduit.

« Sachant que … » restreint l'univers au sous-groupe indiqué. Avec les notations du cours,

\[P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)},\]

ce qui revient ici à diviser la case du croisement par le total de la colonne « Location ».

💡 C'est la condition qui donne le dénominateur, jamais la propriété cherchée. Contrôle : cette probabilité doit être bien plus grande que celle de l'intersection correspondante, puisqu'on divise par un effectif plus petit que $600$.

Exercice 2 (5 points)

Au 1^er janvier 2025, une réserve d'eau naturelle contient $3\,000$ m$^{3}$ d'eau.

Une étude indique que la réserve perd chaque année 10 % du volume d'eau qu'elle avait en début d'année.

On modélise l'évolution du volume d'eau de cette réserve par une suite $(u_n)$, où $u_n$ désigne la quantité d'eau, exprimée en mètres cubes, contenue dans la réserve au 1^er janvier de l'année $2025+n$.

On a donc $u_0=3\,000$.

Montrer que $u_1=2\,700$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
Dans la feuille de calcul suivante on a calculé les premiers termes de la suite $(u_n)$. Le format des cellules de la ligne 2 permet d'afficher les nombres arrondis à l'unité.

A B C D E F G H I

1 $n$ 0 1 2 3 4 5 6 7

2 $u_n$ 3 000 2 700 2 430 2 187 1 968 1 771 1 594 1 435

Quelle formule a été saisie en cellule C2 afin d'obtenir, par glisser-coller vers la droite, les premiers termes de la suite $(u_n)$ ?
Pour assurer la sécurité de la lutte contre les incendies on estime que la réserve doit contenir au moins $2\,000$ m$^{3}$.
D'après le tableau précédent, à partir de quelle année la quantité d'eau dans la réserve deviendra insuffisante ?

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7
2	\(u_n\)	3 000	2 700	2 430	2 187	1 968	1 771	1 594	1 435

Méthodes de cours

Le résultat est donné : on attend le calcul qui y conduit. Une baisse de $t\,\%$ se traduit par une multiplication par $1-\dfrac{t}{100}$ ; on peut aussi calculer la perte puis la soustraire.

💡 Repère la correspondance rang / année : $u_0$ est le volume au 1^er janvier 2025, donc $u_1$ celui de 2026. Ton calcul doit retomber exactement sur la valeur annoncée, sinon c'est le coefficient qui est faux.

Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, c'est traduire le passage d'une année à la suivante. Une évolution en pourcentage donne une multiplication (et non l'ajout d'un montant fixe).

💡 La perte porte sur « le volume qu'elle avait en début d'année », c'est-à-dire sur $u_n$ : le pourcentage s'applique bien au terme précédent, ce qui justifie la forme multiplicative. Pense à écrire « pour tout entier naturel $n$ ».

Une relation $u_{n+1}=q\times u_n$ caractérise une suite géométrique de raison $q$ ; une relation $u_{n+1}=u_n+r$, une suite arithmétique de raison $r$.

💡 La raison est le coefficient multiplicateur tout entier, pas le taux de baisse : répondre « raison $10\,\%$ » ou « raison $-0,1$ » est compté faux. Précise également le premier terme $u_0$.

Une formule de tableur commence par = et utilise des références de cellules, jamais les nombres eux-mêmes. Ici elle doit traduire la relation de récurrence de la question 2 : le terme précédent se trouve dans la cellule située immédiatement à gauche.

💡 Le glissement se fait vers la droite, donc c'est la lettre de colonne qui doit changer, pas le numéro de ligne : les références restent relatives, sans $. Relis ta formule en te plaçant mentalement en D2 pour vérifier qu'elle donne le bon terme.

« Au moins $2\,000$ » signifie « supérieur ou égal à $2\,000$ » : la quantité devient insuffisante dès que le terme passe strictement sous ce seuil. On cherche donc la première colonne où cela se produit.

💡 Deux conversions à ne pas rater : la lettre de colonne n'est pas le rang $n$ (lis la ligne 1), et le rang n'est pas l'année — il faut revenir à $2025+n$. Réponds par une phrase mentionnant l'année, avec l'unité m$^{3}$ dans la justification.

Exercice 3 (5 points)

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,200]$ par :

\[f(x)=-0,25x^{2}+30x-500\]

Calculer l'image de 10 par la fonction $f$.
Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,200]$,
\[f(x)=(-0,25x+5)(x-100)\]
Résoudre dans l'intervalle $[0\,;\,200]$ l'équation $f(x)=0$.
Pour $x$ dans l'intervalle $[0\,;\,200]$, déterminer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
Dans l'intervalle $[0\,;\,200]$, étudier le signe de $f'$ et déterminer le tableau de variations de la fonction $f$.

Méthodes de cours

Calculer l'image de $a$, c'est remplacer $x$ par $a$ dans l'expression de $f$, en respectant les priorités : le carré d'abord, puis les produits, puis les sommes.

💡 Le coefficient $-0,25$ multiplie $x^2$ : on élève au carré avant de multiplier par $-0,25$. Écris la ligne de calcul complète — et ne t'étonne pas d'un résultat négatif, c'est normal ici.

Les deux formes étant données, on part de la forme factorisée et on la développe : c'est bien plus sûr que de tenter la factorisation. On développe les quatre produits, puis on réduit.

💡 Surveille les signes : le premier facteur commence par $-0,25x$ et le second finit par $-100$, donc le produit de ces deux termes est positif. Les deux termes en $x$ ne se simplifient pas — leur somme doit redonner exactement $+30x$.

La forme factorisée sert précisément à cela : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On résout donc séparément les deux équations du premier degré.

💡 L'équation $-0,25x+5=0$ demande de diviser par un nombre négatif : vérifie ta solution en la réinjectant. Termine en contrôlant que les deux valeurs trouvées appartiennent bien à $[0\,;\,200]$, comme le demande l'énoncé.

On dérive terme à terme : $\left(x^{2}\right)'=2x$, $(ax)'=a$, et la dérivée d'une constante est nulle. La dérivée d'un trinôme du second degré est donc une fonction affine.

💡 Le facteur $2$ de la dérivée de $x^2$ se combine avec le coefficient $-0,25$ : fais ce produit soigneusement plutôt que de le recopier. Le terme constant $-500$ disparaît complètement.

$f'$ est affine : on cherche la valeur qui l'annule, puis on applique la règle du signe d'une fonction affine (signe contraire de son coefficient directeur avant la racine, même signe après).

On traduit ensuite : $f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ croissante ; $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante.

💡 Le tableau doit s'arrêter aux bornes $0$ et $200$ de l'intervalle d'étude, et non à $\pm\infty$. Calcule les trois images à faire figurer dans les cases : celles des deux bornes et celle du point où $f'$ s'annule, qui est ici un maximum.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

A. \(0,000\,043\,1\)	B. \(0,000\,431\)
C. \(0,004\,31\)	D. \(431\,000\)

A. \(3,14\times 4\times 25\)	B. \(3,14\times(4\times 5)^{2}\)
C. \((3,14\times 4\times 5)^{2}\)	D. \(3,14\times 4\times 5\)

A. \(f(x)=2x+3\)	B. \(f(x)=3x+2\)
C. \(f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3\)	D. \(f(x)=-\dfrac{2}{3}x+2\)

Épreuve anticipée — Voie technologiquePolynésie, remplacement — 4 septembre 2026

Partie 1 : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée — Voie technologique
Polynésie, remplacement — 4 septembre 2026