Guide de résolution — EAM Polynésie remplacement 4 septembre 2026

Partie 1 : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.

Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

Pour tout nombre réel \(x\), \((5x-2)^{2}\) est égal à :

A. \(5x^{2}-4\)

B. \((5x-2)(5x+2)\)

C. \(25x^{2}+4\)

D. \(25x^{2}-20x+4\)

Question 2

Le nombre \(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{5}-\dfrac{1}{5}\) est égal à :

A. \(\dfrac{1}{4}\)

B. \(\dfrac{7}{20}\)

C. \(\dfrac{19}{15}\)

D. \(\dfrac{1}{5}\)

Question 3

Multiplier une quantité par \(\dfrac{3}{4}\) c'est lui appliquer :

A. une baisse de \(25\,\%\) ;	B. une hausse de \(25\,\%\) ;
C. une baisse de \(75\,\%\) ;	D. une hausse de \(75\,\%\).

Question 4

Dans l'ensemble des nombres réels, l'équation \((2x-4)(-3x+3)=0\) a pour ensemble de solutions :

A. \(S=\{2~;~-1\}\)

B. \(S=\{2~;~1\}\)

C. \(S=[2~;~-1]\)

D. \(S=[2~;~1]\)

Question 5

Le prix d'un article a subi une baisse de \(50\,\%\) en 2024 puis ensuite il augmente de \(50\,\%\) en 2025. Entre le début 2024 et la fin 2025, le prix de l'article :

A. n'a pas changé ;	B. a augmenté de \(5\,\%\) ;
C. a diminué de \(25\,\%\) ;	D. a augmenté de \(25\,\%\).

Question 6

On considère la fonction affine \(f\) dont la représentation graphique, donnée ci-contre, est la droite passant par les points \(A(3~;~-1)\) et \(B(1~;~3)\).

Pour tout réel \(x\) :

A. \(f(x)=5x+2,5\)	B. \(f(x)=-2x+5\)
C. \(f(x)=-2,5x+5\)	D. \(f(x)=-0,5x+5\)

Question 7

Notes	18	11	16
Coefficients	1	2	1

La moyenne coefficientée des trois notes ci-dessus est égale à :

A. \(15\)

B. \(14,5\)

C. \(14\)

D. \(13,5\)

Question 8

Un salarié a réalisé 6,4 heures supplémentaires. Cela correspond à :

A. 6 heures et 20 minutes	B. 640 minutes
C. 6 heures et 40 minutes	D. 6 heures et 24 minutes

Méthodes de cours

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\]

ici avec \(a=5x\) et \(b=2\).

💡 Trois pièges dans les quatre propositions : oublier le double produit, écrire \((5x)^2=5x^2\) au lieu de \(25x^2\), et confondre avec \(a^2-b^2\) — qui est le développement de \((a-b)(a+b)\), pas celui d'un carré. Le terme constant, lui, est toujours \(+b^2\) même quand \(b\) est précédé d'un moins.

La multiplication passe avant la soustraction : on calcule d'abord le produit, en simplifiant si possible.

\[\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}.\]

💡 Simplifie avant de multiplier : \(8\) et \(4\) se simplifient, et le dénominateur commun avec \(\frac{1}{5}\) apparaît alors de lui-même. Contrôle d'ordre de grandeur : le résultat doit être inférieur au produit de départ, donc bien plus petit que \(1\).

C'est la lecture inverse de l'habituelle. Si multiplier par \(CM\) correspond à une évolution de \(t\,\%\), alors

\[t=(CM-1)\times 100.\]

Un \(CM<1\) traduit une baisse, un \(CM>1\) une hausse.

💡 Convertis d'abord \(\frac{3}{4}\) en décimal. Le piège est de lire ce qui reste comme si c'était ce qu'on perd : garder \(75\,\%\) d'une quantité, ce n'est pas la baisser de \(75\,\%\). Deux propositions jouent exactement sur cette confusion.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :

\[A\times B=0 \iff A=0 \ \text{ ou } \ B=0.\]

On résout donc deux équations du premier degré séparément.

💡 Attention au facteur \(-3x+3\) : on divise par \(-3\), et le signe du résultat n'est pas celui qu'on attend au premier coup d'œil. Autre distinction décisive ici : les accolades désignent un ensemble de deux nombres, les crochets un intervalle contenant une infinité de réels — deux propositions sont éliminées sur ce seul critère.

Deux évolutions qui se suivent se composent en multipliant leurs coefficients :

\[CM_{\text{global}}=CM_1\times CM_2.\]

On repasse ensuite du coefficient global au taux avec \(t=(CM-1)\times 100\).

💡 Une baisse de \(50\,\%\) suivie d'une hausse de \(50\,\%\) ne ramène pas au prix de départ : la hausse s'applique à un prix déjà réduit, donc elle « rapporte » moins que la baisse n'avait coûté. Les taux ne s'additionnent jamais.

Pour \(f(x)=mx+p\) passant par \(A\) et \(B\) :

\[m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A},\]

puis on trouve \(p\) en réinjectant les coordonnées de l'un des deux points dans l'équation.

💡 Garde le même ordre des points au numérateur et au dénominateur, sinon le signe de \(m\) s'inverse. Vérification gratuite offerte par la figure : \(p\) est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, tu peux la lire directement et éliminer les propositions incompatibles.

\[\bar{x}=\dfrac{c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_kx_k}{c_1+c_2+\dots+c_k}.\]

💡 On divise par la somme des coefficients, pas par le nombre de notes : ici le dénominateur n'est pas \(3\). Contrôle : la moyenne obtenue doit toujours se situer entre la plus petite et la plus grande des notes, et être tirée vers celle qui pèse le plus.

Une durée en écriture décimale se convertit en multipliant la partie décimale par \(60\) :

\[h,\!d \text{ heures} = h \text{ h } + (0,\!d\times 60) \text{ min}.\]

💡 \(6,4\) h n'est pas « 6 h 40 min » : les heures se comptent en base \(60\), pas en base \(10\). C'est précisément la proposition-piège. Et pense à contrôler la proposition en minutes pures : \(6\) h font déjà \(360\) min.

Exercice 1 (5 points)

En 2025, une étude démographique indique qu'il y a eu \(60\,000\) naissances et \(40\,000\) décès dans une population donnée. Les spécialistes modélisent que le nombre de naissances diminuera de \(2\,\%\) chaque année, tandis que le nombre de décès augmentera de 900 par an.

Soit \(n\) un entier naturel. On note :

\(u_{n}\) le nombre de naissances prévues l'année \(2025+n\) ;
\(v_{n}\) le nombre de décès prévus l'année \(2025+n\).

On a donc \(u_{0}=60\,000\) et \(v_{0}=40\,000\).

1. Déterminer le nombre de naissances prévues l'année 2026.
2. Déterminer le nombre de décès prévus l'année 2026.
1. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0,98\,u_{n}\).
2. La suite \((u_{n})\) est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison.
3. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
1. Justifier que la suite \((v_{n})\) est arithmétique. Préciser sa raison.
2. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).

La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs successives de \(u_{n}\) et de \(v_{n}\) (les valeurs sont évidemment arrondies à l'unité).

	A	B	C
1	\(n\)	\(u_n\)	\(v_n\)
2	0	\(60\,000\)	\(40\,000\)
3	1	\(58\,800\)	\(40\,900\)
⋮	⋮	⋮	⋮
11	9	\(50\,025\)	\(48\,100\)
12	10	\(49\,024\)	\(49\,000\)
13	11	\(48\,044\)	\(49\,900\)
14	12	\(47\,083\)	\(50\,800\)
15	13	\(46\,141\)	\(51\,700\)

Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C3 de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette d'afficher les valeurs de la suite \((v_{n})\) ?
Justifier, par un calcul, pourquoi \(49\,000\) est affiché dans la cellule C12.

On appelle solde naturel annuel la différence entre le nombre de naissances et le nombre de décès de l'année. Ainsi le solde naturel en 2025 est \(20\,000\).
À l'aide de la feuille de calcul ci-dessus, déterminer à partir de quelle année le solde naturel de cette population devient négatif.

Méthodes de cours

Tout l'exercice repose sur la distinction entre les deux modes d'évolution :

une variation en pourcentage se traduit par une multiplication ;
une variation d'un nombre fixe se traduit par une addition.

💡 L'année 2026 correspond au rang \(n=1\), puisque 2025 est le rang \(0\) : les deux réponses sont donc \(u_1\) et \(v_1\). Ne mélange pas les deux traitements — c'est l'erreur qui fait perdre la moitié de l'exercice.

Diminuer de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\). La rédaction attendue part de

\[u_{n+1}=u_n-\dfrac{2}{100}\,u_n,\]

puis factorise par \(u_n\).

💡 La baisse porte sur le nombre de naissances de l'année précédente, pas sur les \(60\,000\) de départ : le nombre retiré n'est donc pas constant. C'est exactement ce qui distingue \((u_n)\) de \((v_n)\).

Le critère se lit sur la relation de récurrence : on ajoute → arithmétique ; on multiplie → géométrique. Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\) :

\[u_n=u_0\times q^{\,n}.\]

💡 Ici la raison est le quotient \(0,98\), pas une différence, et elle est comprise entre \(0\) et \(1\) : la suite est donc décroissante. L'exposant est \(n\) et non \(n-1\), puisqu'on démarre au rang \(0\) — vérifie en remplaçant \(n\) par \(0\).

Une suite est arithmétique de raison \(r\) lorsque, pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1}-v_n=r \quad (r \text{ ne dépend pas de } n).\]

Sa forme explicite est alors \(v_n=v_0+n\,r\).

💡 Vérifier sur les deux premières lignes du tableur ne démontre rien : pars de la phrase de l'énoncé qui décrit l'évolution et traduis-la en \(v_{n+1}=v_n+\dots\) valable pour tout \(n\). Ici la raison est positive, ce qui traduit l'augmentation des décès.

Une formule de tableur commence par = et n'utilise que des références de cellules, jamais les nombres affichés. Celle de C3 doit relier la cellule à celle qui la précède dans la colonne, en appliquant la relation de récurrence.

💡 Teste mentalement la recopie : en glissant en C4, la référence doit se décaler d'une ligne. N'utilise donc aucun symbole dollar, qui figerait la référence et casserait la recopie.

« Justifier par un calcul » signifie qu'il faut utiliser la forme explicite établie à la question 3, avec le bon rang, et retomber sur la valeur affichée.

💡 Ne confonds pas le numéro de ligne du tableur avec le rang \(n\) de la suite : la ligne 1 contient les en-têtes et la ligne 2 le rang \(0\), donc il y a un décalage constant de \(2\). Relis la colonne A pour t'en assurer avant de calculer.

Traduis d'abord la définition donnée : le solde naturel de l'année de rang \(n\) vaut \(u_n-v_n\). « Devenir négatif » signifie que cette différence passe en dessous de \(0\) ; il suffit de parcourir les lignes de la feuille en comparant les colonnes B et C.

💡 Sur une ligne, l'écart entre les deux colonnes devient très faible sans encore changer de signe : c'est le piège, ne t'arrête pas trop tôt. Et la question demande une année : repasse par \(\text{année}=2025+n\) une fois le rang trouvé.

Exercice 2 (4 points)

Un magasin d'ameublement interroge \(1\,000\) clients ayant réalisé un achat au cours des 12 derniers mois, soit en magasin, soit sur internet (un seul mode d'achat par client).

Parmi les \(1\,000\) clients, 400 ont acheté sur internet.

\(90\,\%\) des acheteurs sur internet sont satisfaits et \(20\,\%\) des acheteurs en magasin ne sont pas satisfaits.

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :

\(I\) : « le client a acheté sur internet » ;
\(S\) : « le client est satisfait » ;

\(\overline{I}\) et \(\overline{S}\) sont les évènements contraires respectifs de \(I\) et de \(S\).

Compléter et rendre avec la copie le tableau représentant la situation, donné en annexe.
Calculer la probabilité que le client ait acheté en magasin et soit satisfait.
Sachant que le client n'est pas satisfait, calculer la probabilité qu'il ait fait son achat sur internet.
Une stratégie d'amélioration sera mise en place si plus de \(10\,\%\) des clients ne sont pas satisfaits de leur achat.
Cette stratégie sera-t-elle mise en place ? Justifier.

Méthodes de cours

Un pourcentage s'applique toujours à une population de référence précise. Il faut donc, pour chaque donnée de l'énoncé, identifier sur quelle ligne ou quelle colonne elle porte, puis calculer

\[\text{effectif}=\dfrac{t}{100}\times \text{effectif de référence}.\]

Les cases restantes se complètent ensuite par soustraction, puisque chaque ligne et chaque colonne se somment dans son total.

💡 Les deux pourcentages de l'énoncé n'ont pas la même référence : l'un porte sur les acheteurs en ligne, l'autre sur les acheteurs en magasin — dont l'effectif n'est pas donné, il faut d'abord le déduire du total. Attention aussi : le second pourcentage concerne les clients non satisfaits.

« Acheté en magasin et satisfait » est une intersection : dans un tableau croisé, elle correspond à une unique case, au croisement de la ligne et de la colonne. Comme le client est choisi au hasard parmi tous :

\[P(\overline{I}\cap S)=\dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif total}}.\]

💡 Le dénominateur est bien l'effectif total des \(1\,000\) clients : il n'y a aucune condition dans cette question, contrairement à la suivante. Ne va pas diviser par le nombre d'acheteurs en magasin.

\[P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)},\]

ce qui revient, avec des effectifs, à diviser la case d'intersection par le total de la ligne ou de la colonne qui sert de condition.

💡 « Sachant que le client n'est pas satisfait » restreint l'univers aux seuls clients mécontents : c'est ce sous-total qui devient le dénominateur, plus jamais \(1\,000\). Et ne renverse pas la condition : on cherche la probabilité d'avoir acheté sur internet sachant l'insatisfaction, pas l'inverse.

Calcule la proportion de clients non satisfaits dans l'ensemble du panel, convertis-la en pourcentage, puis compare-la au seuil annoncé.

💡 La proportion se calcule sur les \(1\,000\) clients, pas sur une seule des deux colonnes. Le mot « plus de \(10\,\%\) » impose une inégalité stricte : précise-le si tu tombais pile sur le seuil. Termine par une phrase qui répond à la question posée sur la stratégie.

Exercice 2 (4 points) — Annexe à compléter et à rendre avec la copie

Annexe de l'exercice 2

	Achat sur internet (\(I\))	Total
Satisfait (\(S\))
Non satisfait \(\left(\overline{S}\right)\)
Total	400	\(1\,000\)

Méthodes de cours

Ne remplis pas les cases dans l'ordre de lecture : commence par celles que l'énoncé permet de calculer directement, puis déduis les autres par différence, ligne par ligne et colonne par colonne.

Un chemin efficace : compléter d'abord la ligne des totaux, puis appliquer chaque pourcentage à sa colonne, et terminer par la colonne « Total » à droite.

💡 Le tableau est surdéterminé : une fois rempli, chaque ligne et chaque colonne doit se sommer correctement, et la case en bas à droite doit valoir \(1\,000\) des deux façons. Fais ces vérifications, elles ne coûtent rien et sécurisent les trois questions suivantes, qui reposent toutes sur ce tableau.

Le tableau demandé est un tableau d'effectifs : on y inscrit des nombres de clients, entiers. Les probabilités ne s'obtiennent qu'ensuite, en divisant par l'effectif adapté à chaque question.

💡 N'écris pas \(0,36\) là où il faut \(360\) : le total annoncé dans la case du bas à droite te dit clairement quelle grandeur le tableau contient. Les notations \(\overline{I}\) et \(\overline{S}\) désignent simplement « pas internet » et « pas satisfait », c'est-à-dire la deuxième colonne et la deuxième ligne.

Exercice 3 (5 points) — Partie A : lecture graphique

Le nombre hebdomadaire de consultations lors d'une épidémie de grippe saisonnière, pendant 10 semaines consécutives, est modélisé par la fonction \(f\), définie sur l'intervalle \([0~;~10]\) par \(f(t)=-25t^{2}+300t+400\) où \(t\) représente le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'épidémie.

La courbe représentative \(\mathcal{C}_{f}\) de la fonction \(f\) est donnée ci-dessous dans un repère du plan.

En utilisant le graphique ci-dessus :

Déterminer le nombre de consultations 2 semaines après le début de l'épidémie.
Déterminer l'intervalle de temps pour lequel le nombre de consultations dépasse \(1\,200\).
Au bout de combien de semaines après le début de l'épidémie le nombre de consultations est-il maximal ? Quelle est cette valeur maximale ?

Méthodes de cours

Lire \(f(2)\) : partir de \(2\) sur l'axe horizontal, monter jusqu'à la courbe, lire l'ordonnée obtenue sur l'axe vertical.

💡 Les graduations verticales vont de \(100\) en \(100\) : appuie-toi dessus plutôt que de compter les petits carreaux. Tu pourras d'ailleurs contrôler ta lecture en partie B, où l'expression de \(f\) est donnée — le calcul doit confirmer le graphique.

Trace (au moins mentalement) la droite horizontale d'équation \(y=k\). L'ensemble cherché est formé des abscisses pour lesquelles la courbe est au-dessus de cette droite ; ses bornes sont les abscisses des points d'intersection.

💡 La réponse attendue est un intervalle, donc deux bornes : la courbe monte puis redescend, elle franchit donc le seuil deux fois. Une seule valeur serait une réponse incomplète — et les deux bornes se lisent ici sur des graduations entières.

Le maximum est le point le plus haut de la courbe. Son abscisse répond à « au bout de combien de semaines », son ordonnée donne la valeur maximale.

💡 Deux informations sont demandées, avec deux unités différentes : des semaines d'un côté, un nombre de consultations de l'autre. Ne réponds pas avec un seul nombre. Au sommet la courbe est très plate, alors repère l'abscisse là où elle cesse de monter.

Exercice 3 (5 points) — Partie B : étude de la fonction \(f\)

Calculer \(f(0)\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Justifier que, pour tout réel \(t\) de l'intervalle \([0~;~10]\), \(f'(t) = -50t + 300\).
Résoudre dans l'intervalle \([0~;~10]\) l'équation \(f'(t)=0\).
Étudier le signe de \(f'(t)\), puis dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~10]\). On donne \(f(6)=1\,300\).

Méthodes de cours

Remplacer \(t\) par \(0\) dans l'expression de \(f\). Les termes en \(t^2\) et en \(t\) s'annulent, il ne reste que le terme constant.

💡 L'interprétation doit relier la valeur au contexte : \(t=0\) correspond au tout début de l'épidémie, et le résultat est un nombre de consultations hebdomadaires. Vérifie la cohérence avec l'ordonnée du point de départ de la courbe en partie A.

Les formules à appliquer terme à terme :

\[\left(t^2\right)'=2t,\qquad (kt)'=k,\qquad (\text{constante})'=0.\]

💡 Le coefficient \(-25\) se conserve et se multiplie par le \(2\) issu de la dérivée du carré : c'est là que naît le \(-50\). La constante \(+400\) disparaît — l'oublier dans la dérivée est l'erreur la plus fréquente sur cette question.

\(f'\) est une fonction affine : l'équation \(f'(t)=0\) est une simple équation du premier degré, qu'on résout en isolant \(t\).

💡 On divise par un coefficient négatif, donc surveille le signe du résultat. Vérifie ensuite que la solution appartient bien à \([0~;~10]\), comme l'énoncé le demande — et compare-la à l'abscisse du sommet lue en partie A, les deux doivent coïncider.

Une fonction affine \(at+b\) s'annule en sa racine et change de signe en ce point : elle est du signe de \(a\) après la racine, et du signe contraire avant.

Le lien à écrire ensuite : \(f'>0\) → \(f\) croissante ; \(f'<0\) → \(f\) décroissante.

💡 Ici \(a\) est négatif, donc \(f'\) est positive avant la racine et négative après — l'inverse du cas le plus courant. Le tableau doit contenir les images aux extrémités des flèches : l'énoncé t'offre \(f(6)\), mais \(f(0)\) et \(f(10)\) sont à calculer.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de mathématiques — Polynésie4 septembre 2026 — Sujet de remplacement, candidats sans spécialité

Partie 1 : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points) — Annexe à compléter et à rendre avec la copie

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie A : lecture graphique

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie B : étude de la fonction \(f\)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée de mathématiques — Polynésie
4 septembre 2026 — Sujet de remplacement, candidats sans spécialité