Guide de résolution — Épreuve anticipée de maths, Métropole 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

Un lycée compte 500 élèves. 20 % des élèves sont externes. Le nombre d'externes est :

A. 10

B. 20

C. 100

D. 520

Question 2

Un lycée compte 500 élèves. L'effectif augmente de 5 % l'année suivante. Le nombre d'élèves est donc multiplié par :

A. 5

B. 1,05

C. 0,05

D. 25

Question 3

$4\times\dfrac{2}{3}=$

A. $\dfrac{8}{3}$

B. $\dfrac{8}{12}$

C. $\dfrac{24}{3}$

D. $\dfrac{24}{9}$

Question 4

Quelle équation admet deux solutions réelles ?

A. $2x=-1$

B. $x^2=-1$

C. $x^2=4$

D. $\dfrac{x}{2}=4$

Question 5

L'équation de la droite représentée ci-dessus est :

A. $y=-0,5x+1,5$

B. $y=-2x+1,5$

C. $y=2x+3$

D. $y=-2x+3$

Question 6

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(3x-6)$.

L'image de $-2$ par cette fonction est :

A. $-14$

B. $-24$

C. $24$

D. $-48$

Question 7

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(3x-6)$.

Le nombre 0 admet :

A. Deux antécédents : 0 et 2	B. Un seul antécédent : 0
C. Un seul antécédent : $-18$	D. Deux antécédents : 0 et $-2$

Question 8

On considère la représentation graphique d'une fonction $f$ polynôme du second degré, définie sur $\mathbb{R}$.

Le tableau de signes de cette fonction $f$ est :

Question 9

Une course automobile consiste à parcourir 20 tours d'une piste de $4\,500$ mètres. La distance totale de la course est :

A. $9\,000$ m

B. $9$ km

C. $90$ km

D. $45$ km

Question 10

Un élève a obtenu la note de 10/20 à un devoir coefficienté 2 et la note de 16/20 à un devoir coefficienté 1. La moyenne de l'élève est :

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

Question 11

Le tableau ci-dessous donne la répartition des achats d'aspirateurs d'un magasin d'électroménager.

	Avec sac	Sans sac	Total
Avec fil	102	58	160
Sans fil	20	70	90
Total	122	128	250

On interroge au hasard un client parmi ceux qui ont acheté un aspirateur sans fil.

La probabilité que ce client ait acheté un aspirateur avec sac est :

A. $\dfrac{20}{70}$

B. $\dfrac{20}{90}$

C. $\dfrac{20}{250}$

D. $\dfrac{20}{122}$

Question 12

Le diagramme ci-dessous donne la répartition des ventes d'un concessionnaire automobile.

Quel pourcentage des ventes représentent les véhicules cabriolets ?

A. 52 %

B. 12 %

C. 18 %

D. 30 %

Méthodes de cours

Q1. Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$. Le résultat est une partie de l'effectif : il est forcément plus petit que $500$.

Q2. Une hausse de $t\,\%$ revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{t}{100}$.

💡 Ne confonds pas les deux opérations : $\dfrac{t}{100}$ sert à calculer la variation, $1+\dfrac{t}{100}$ à obtenir directement la valeur finale. En Q2, un coefficient inférieur à $1$ traduirait une baisse, et un coefficient égal à $5$ multiplierait l'effectif par cinq.

On écrit l'entier sous forme de fraction : $4=\dfrac{4}{1}$, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

💡 Le dénominateur ne change donc pas ici. Deux des réponses proposées résultent d'une multiplication du dénominateur par $4$ ou par $3$ : c'est la règle de l'addition de fractions qui a déteint sur la multiplication.

Une équation du premier degré $ax+b=c$ (avec $a\neq 0$) a toujours exactement une solution : deux des propositions se règlent d'un coup d'œil.

Pour une équation de la forme $x^2=k$ : elle a deux solutions si $k>0$ (à savoir $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$), une si $k=0$, aucune si $k<0$.

💡 Le réflexe à avoir : un carré n'est jamais strictement négatif. C'est ce qui élimine l'une des deux équations du second degré proposées, sans aucun calcul.

Une droite non verticale a une équation $y=mx+p$ où $p$ est l'ordonnée à l'origine (là où la droite coupe l'axe des ordonnées) et $m$ le coefficient directeur, lu en avançant de $1$ vers la droite et en mesurant le déplacement vertical.

💡 Deux lectures, deux éliminations : la droite descend, donc $m<0$ ; et l'ordonnée à l'origine se lit directement sur la figure, ce qui départage les propositions restantes. Vérifie ta réponse en testant un second point à coordonnées entières.

Q6. Calculer l'image de $-2$, c'est remplacer $x$ par $-2$ dans $f(x)=x(3x-6)$ — en gardant les parenthèses autour de $-2$.

Q7. Chercher les antécédents de $0$, c'est résoudre $f(x)=0$, c'est-à-dire une équation produit nul : $A\times B=0$ équivaut à $A=0$ ou $B=0$.

💡 En Q6, le produit de deux nombres négatifs est positif : un résultat négatif doit t'alerter. En Q7, n'oublie pas le facteur $x$ lui-même, qui fournit un antécédent immédiat, et résous $3x-6=0$ pour l'autre.

Le signe de $f(x)$ se lit sur le graphique : $f(x)>0$ là où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, $f(x)<0$ là où elle est en dessous, et $f(x)=0$ aux abscisses des points d'intersection avec cet axe.

Ces abscisses sont les racines : ce sont elles qui apparaissent dans la première ligne du tableau de signes, dans l'ordre croissant.

💡 Procède par élimination. Repère d'abord combien de fois la courbe coupe l'axe et où : cela écarte déjà des propositions. Vérifie ensuite le signe « aux extrémités » — une parabole tournée vers le haut est positive à gauche et à droite de ses racines. Attention enfin à l'ordre croissant des valeurs dans la ligne des $x$.

Deux étapes : multiplier la longueur d'un tour par le nombre de tours, puis convertir — $1$ km $=1\,000$ m, donc on divise par $1\,000$ pour passer des mètres aux kilomètres.

💡 Regarde les unités des propositions avant de calculer : elles ne sont pas toutes en kilomètres. Une réponse peut avoir la bonne valeur numérique mais la mauvaise unité, et inversement.

\[\bar{x}=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2}{n_1+n_2}\]

où les $n_i$ sont les coefficients : chaque note est multipliée par son coefficient, et on divise par la somme des coefficients.

💡 L'erreur classique est de diviser par $2$ (le nombre de devoirs) au lieu de la somme des coefficients. Contrôle de bon sens : la note de coefficient $2$ « pèse » davantage, donc la moyenne doit être plus proche de $10$ que de $16$.

« On interroge un client parmi ceux qui… » restreint l'univers à une seule ligne du tableau : le dénominateur n'est plus l'effectif total, mais le total de cette ligne.

💡 Ici, les quatre propositions ont toutes le même numérateur : tout se joue sur le dénominateur. Demande-toi quel est l'ensemble des clients concernés par la question, et repère son effectif dans la colonne « Total ».

Dans un diagramme circulaire, l'angle d'un secteur est proportionnel à la fréquence qu'il représente : le disque entier ($360^\circ$) vaut $100\,\%$.

Sans rapporteur, on raisonne par comparaison à des angles repères : un demi-disque vaut $50\,\%$, un quart $25\,\%$, un huitième $12,5\,\%$.

💡 Identifie bien le secteur « Cabriolets » avant de lire — les étiquettes sont placées à l'extérieur, et le secteur voisin « Tout terrain » est nettement plus petit. Estime : le secteur cherché est visiblement plus grand qu'un dixième du disque mais bien plus petit qu'un quart.

Exercice 1 (5 points)

Deuxième partie (14 points)

On considère la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;\,4]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

On précise que :

la droite $(d)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A et passe par le point C ;
la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

Par lecture graphique :

Déterminer $f(-2)$ et $f(1)$.
Déterminer $f'(-2)$ et $f'(1)$.
Résoudre l'équation $f(x)=0$.
Dresser le tableau de variation de $f$.

On admet que $f(x)=-x^2+2x+3$ sur l'intervalle $[-3\,;\,4]$.

Retrouver par le calcul les résultats de la question 1.
1. Déterminer $f'(x)$ puis retrouver les résultats de la question 2.
2. Vérifier par le calcul que $f(x)=(x+1)(-x+3)$.
  Retrouver les résultats de la question 3.
3. Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-3\,;\,4]$.
  En déduire les variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.

Méthodes de cours

L'image de $a$ est l'ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$. Les deux valeurs demandées correspondent à des points déjà nommés et marqués sur la figure : repère-les avant toute chose.

💡 Attention au point C : il est sur la droite $(d)$, pas sur la courbe. Il ne donne donc aucune image de $f$ — il ne sert qu'à la question suivante.

$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. Ici l'énoncé fournit les deux tangentes utiles :

en A, la tangente est $(d)$, qui passe par A et C : son coefficient directeur se calcule avec $m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$ ;
en B, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

💡 Une droite horizontale a un coefficient directeur nul : le nombre dérivé correspondant vaut donc $0$, sans calcul. C'est cohérent avec le fait que B soit le sommet de la parabole.

Résoudre $f(x)=0$, c'est chercher les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.

💡 On demande des solutions, donc des abscisses : réponds par des valeurs de $x$, pas par des couples de coordonnées. Et vérifie que les valeurs lues appartiennent bien à $[-3\,;\,4]$.

Le tableau de variation se lit en parcourant la courbe de gauche à droite : on note où elle monte, où elle descend, et l'abscisse où elle change de sens.

Les bornes du tableau sont celles de l'intervalle de définition, ici $-3$ et $4$.

💡 Complète les trois valeurs de $f$ aux extrémités des flèches : les images des deux bornes et celle du sommet (déjà lue à la question 1). Les flèches se dessinent dans la deuxième ligne, jamais dans la ligne des $x$.

Il s'agit simplement de remplacer $x$ par les deux valeurs de la question 1 dans $f(x)=-x^2+2x+3$.

💡 Le piège du carré d'un nombre négatif : $-x^2$ avec $x=-2$ donne $-(-2)^2$, c'est-à-dire l'opposé de $4$ — et non $+4$. Écris les parenthèses, puis conclus en disant que tu retrouves bien les valeurs lues graphiquement.

On dérive terme à terme : $\left(x^2\right)'=2x$, $(ax)'=a$, et la dérivée d'une constante est nulle. La dérivée d'un trinôme est donc une fonction affine.

💡 Une fois $f'(x)$ obtenue, calcule $f'(-2)$ et $f'(1)$ et compare avec les lectures de la question 2 : c'est ce que demande « retrouver les résultats ». Si l'un des deux ne colle pas, l'erreur est dans le signe du terme en $x^2$.

« Vérifier par le calcul » veut dire développer la forme factorisée proposée et constater qu'on retombe sur $-x^2+2x+3$ — pas factoriser soi-même.

La forme factorisée sert ensuite à résoudre $f(x)=0$ par la règle du produit nul.

💡 Attention au facteur $-x+3$ : l'équation $-x+3=0$ se résout en isolant $x$, et le signe moins fait perdre des points à beaucoup d'élèves. Les deux solutions obtenues doivent être exactement les abscisses lues à la question 3.

$f'$ est ici une fonction affine $mx+p$ : on cherche la valeur qui l'annule, et on applique la règle du signe d'une fonction affine — du signe de $-m$ avant la racine, du signe de $m$ après.

On traduit ensuite : $f'(x)>0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ y est croissante ; $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ y est décroissante.

💡 Le coefficient directeur de $f'$ est négatif, donc le tableau commence par un $+$ et finit par un $-$. Contrôle final : les variations obtenues doivent coïncider avec le tableau dressé graphiquement à la question 4, bornes $-3$ et $4$ comprises.

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Une salle de sport propose deux offres d'abonnement :

Abonnement n°1 : 250 € en 2026 puis une augmentation de 30 € par an.

Abonnement n°2 : 200 € en 2026 puis une augmentation de 10 % par an.

Les parties A et B sont indépendantes.

PARTIE A : Abonnement n°1.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le montant de l'abonnement n°1 pour l'année $2026+n$.

On a ainsi $a_0=250$.

1. Calculer le montant de l'abonnement pour 2027.
2. Calculer $a_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$.
En déduire la nature de la suite $(a_n)$ et préciser sa raison.

Méthodes de cours

Le rang $n$ correspond à l'année $2026+n$ : l'année 2026 est donc le rang $0$, 2027 le rang $1$, et ainsi de suite. Commence toujours par écrire cette correspondance.

Chaque année, on ajoute le même montant au tarif précédent.

💡 « Interpréter dans le contexte » n'est pas décoratif : cela vaut des points. Rédige une phrase complète mentionnant l'année concernée, le montant obtenu et l'unité (€).

Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$, c'est traduire en écriture mathématique le passage d'une année à la suivante : ici une augmentation constante en euros, donc une addition.

💡 Une augmentation d'un montant fixe s'ajoute, elle ne se multiplie pas : la relation attendue n'est pas de la forme $a_{n+1}=k\times a_n$. Pense à préciser « pour tout entier naturel $n$ ».

Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison ; elle est géométrique lorsqu'on multiplie toujours par le même nombre.

💡 « En déduire » signifie : appuie-toi sur la relation de la question 2, il n'y a rien de nouveau à calculer. Cite la forme reconnue $a_{n+1}=a_n+r$, puis donne la raison et le premier terme — c'est ce couple qui caractérise la suite.

Exercice 2 (5 points) — Partie B

PARTIE B : Abonnement n°2.

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_n$ le montant de l'abonnement n°2 pour l'année $2026+n$.

On a ainsi $b_0=200$.

Justifier que le montant de l'abonnement en 2027 s'élève à 220 €.
Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$.
En déduire la nature de la suite $(b_n)$ et préciser sa raison.

Méthodes de cours

« Justifier que » : le résultat est donné, il faut produire le calcul qui y mène. Une hausse de $t\,\%$ se traduit par une multiplication par $1+\dfrac{t}{100}$.

Tu peux aussi calculer la hausse puis l'ajouter — les deux rédactions sont acceptées.

💡 Comme la valeur d'arrivée est fournie, ton calcul doit y aboutir exactement : si tu ne tombes pas sur $220$ €, c'est le coefficient multiplicateur qui est faux. Et $2027$ correspond au rang $1$, pas au rang $2027$.

Une évolution en pourcentage (et non d'un montant fixe) se traduit par une multiplication par le coefficient multiplicateur, le même d'une année sur l'autre.

💡 C'est toute la différence avec la partie A : compare bien les deux relations obtenues, elles ne sont pas de la même nature. Le coefficient s'écrit en décimal, et la relation vaut « pour tout entier naturel $n$ ».

Si $b_{n+1}=q\times b_n$ pour tout $n$, la suite est géométrique de raison $q$, de premier terme $b_0$.

💡 Attention au vocabulaire : la raison d'une suite géométrique est le coefficient multiplicateur tout entier, pas le pourcentage d'augmentation. Répondre « raison $10\,\%$ » ou « raison $0,1$ » est compté faux.

Exercice 2 (5 points) — Partie C

PARTIE C : Comparaison des offres

Pour tout entier naturel $n$ on note $c_n=a_n-b_n$.

Les premiers termes des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ sont donnés sur la feuille de calcul ci-dessous.

	A	B	C	D
1	$n$	$a_n$	$b_n$	$c_n$
2	0	250 €	200 €	50 €
3	1	280 €	220 €	60 €
4	2	310 €	242,00 €	68 €
5	3	340 €	266,20 €	73,80 €
6	4	370 €	292,82 €	77,18 €
7	5	400 €	322,10 €	77,90 €
8	6	430 €	354,31 €	75,69 €
9	7	460 €	389,74 €	70,26 €
10	8	490 €	428,72 €	61,28 €
11	9	520 €	471,59 €	48,41 €
12	10	550 €	518,75 €	31,25 €
13	11	580 €	570,62 €	9,38 €
14	12	610 €	627,69 €	$-17,69$ €
15	13	640 €	690,45 €	$-50,45$ €
16	14	670 €	759,50 €	$-89,50$ €

Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, doit-on écrire dans la cellule D2 ?
À partir de quelle année le montant de l'abonnement n°2 devient-il plus élevé que le montant de l'abonnement n°1 ?

Méthodes de cours

Une formule de tableur commence toujours par le signe = et utilise des références de cellules, jamais les nombres eux-mêmes — c'est ce qui permet de l'étirer.

La marche à suivre : traduire la définition $c_n=a_n-b_n$ en repérant, dans la ligne 2, quelles colonnes contiennent $a_n$ et $b_n$.

💡 Les références doivent rester relatives (pas de $) : en étirant vers le bas, seul le numéro de ligne doit changer. Vérifie ta formule en la « lisant » sur la ligne 3, et n'oublie pas le signe = — une formule sans lui est comptée fausse.

« L'abonnement n°2 devient plus élevé que le n°1 » se traduit par $b_n>a_n$, c'est-à-dire $c_n<0$ : on cherche donc la première ligne où la colonne D change de signe.

💡 Deux pièges de rédaction. D'abord, la colonne A donne $n$, pas l'année : il faut revenir à $2026+n$ pour répondre. Ensuite, la question demande une année — réponds par une phrase, et non par un simple numéro de ligne du tableur.

Exercice 3 (4 points)

Cet exercice contient quatre affirmations.

Pour chaque affirmation, répondre par VRAI ou FAUX, en justifiant la réponse.

Toute absence de justification ou justification incorrecte ne sera pas prise en compte dans la notation.

Une enquête est réalisée sur l'équipement informatique des 400 élèves d'un collège.

	Ont une adresse mail	N'ont pas d'adresse mail	Total
Ont un équipement individuel	50	210	260
N'ont pas d'équipement individuel	40	100	140
Total	90	310	400

Affirmation
50 % des élèves du collège possèdent une adresse mail et un équipement individuel.
Affirmation
Au moins 50 % des élèves du collège ne possèdent pas d'adresse mail.
Affirmation
On choisit un élève au hasard dans le collège. La probabilité qu'il ne possède ni adresse mail ni équipement individuel est égale à 25 %.
Affirmation
Au moins $\dfrac{1}{5}$ des élèves ayant un équipement individuel possèdent également une adresse mail.

Méthodes de cours

Une proportion se calcule toujours par $\dfrac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$, puis se convertit en pourcentage en multipliant par $100$.

« Une adresse mail et un équipement » désigne l'intersection des deux caractères : une seule case du tableau, celle du croisement.

💡 Le nombre $50$ figure bien dans le tableau, mais c'est un effectif, pas un pourcentage : l'affirmation joue exactement sur cette confusion. Fais le calcul complet avant de conclure, et donne le pourcentage obtenu dans ta justification.

« Au moins $50\,\%$ » signifie « supérieur ou égal à $50\,\%$ ». La méthode : calculer la proportion concernée, puis la comparer au seuil.

L'effectif utile se lit directement dans la ligne « Total » de la colonne concernée.

💡 Ici tu peux même conclure sans calculatrice : la moitié de $400$, c'est $200$. Il suffit de comparer l'effectif lu à ce nombre. L'inégalité est large, donc l'égalité au seuil rendrait l'affirmation vraie.

« Ni adresse mail ni équipement » cumule deux négations : c'est la case située au croisement de la ligne « N'ont pas d'équipement » et de la colonne « N'ont pas d'adresse mail ».

La probabilité est alors l'effectif de cette case divisé par l'effectif total, en situation d'équiprobabilité (« au hasard »).

💡 Ne prends pas une case de marge (un total) : ce sont les quatre cases intérieures du tableau qui décrivent les croisements. Précise dans ta rédaction que chaque élève a la même probabilité d'être choisi.

« … des élèves ayant un équipement individuel » restreint la population à une seule ligne : le dénominateur est le total de cette ligne, pas $400$.

Pour comparer à $\dfrac{1}{5}$, convertis d'abord cette fraction en pourcentage, ou compare les deux fractions après les avoir mises sous la même forme.

💡 C'est l'affirmation la plus délicate du sujet : les deux valeurs sont très proches. N'arrondis surtout pas ton pourcentage à l'unité avant de comparer, sinon tu conclus à l'égalité et tu te trompes. Garde au moins deux décimales.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

A. Deux antécédents : 0 et 2	B. Un seul antécédent : 0
C. Un seul antécédent : \(-18\)	D. Deux antécédents : 0 et \(-2\)

	A	B	C	D
1	\(n\)	\(a_n\)	\(b_n\)	\(c_n\)
2	0	250 €	200 €	50 €
3	1	280 €	220 €	60 €
4	2	310 €	242,00 €	68 €
5	3	340 €	266,20 €	73,80 €
6	4	370 €	292,82 €	77,18 €
7	5	400 €	322,10 €	77,90 €
8	6	430 €	354,31 €	75,69 €
9	7	460 €	389,74 €	70,26 €
10	8	490 €	428,72 €	61,28 €
11	9	520 €	471,59 €	48,41 €
12	10	550 €	518,75 €	31,25 €
13	11	580 €	570,62 €	9,38 €
14	12	610 €	627,69 €	\(-17,69\) €
15	13	640 €	690,45 €	\(-50,45\) €
16	14	670 €	759,50 €	\(-89,50\) €

Épreuve anticipée — Voie technologiqueMétropole — 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points) — Partie C

Méthodes de cours

Exercice 3 (4 points)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée — Voie technologique
Métropole — 12 juin 2026