Guide de résolution — Épreuve anticipée de maths, Métropole sujet de secours 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

On considère l'expression \(A(x)=2x-3x\). Alors \(A(x)\) est égale à :

a. \(-6x^2\) b. \(-x^2\) c. \(x\) d. \(-x\)
On considère l'équation \(x+5=2x+6\) sur l'ensemble des réels. Cette équation admet pour solution :

a. \(x=1\) b. \(x=-1\) c. \(x=\dfrac{1}{3}\) d. \(x=-\dfrac{1}{3}\)

On considère l'équation \(x^2=6\) sur l'ensemble des réels. Cette équation admet :

a. une seule solution : \(\sqrt{6}\).	b. une seule solution : \(3\).
c. deux solutions : \(0\) et \(\sqrt{6}\).	d. deux solutions : \(-\sqrt{6}\) et \(\sqrt{6}\).

Un article qui coûte \(200\) € diminue de \(30\,\%\). Après diminution, il coûte :

a. \(60\) € b. \(140\) € c. \(170\) € d. \(260\) €
On considère l'expression \(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\). On a :

a. \(B=\dfrac{1}{7}\) b. \(B=\dfrac{2}{7}\) c. \(B=\dfrac{7}{12}\) d. \(B=\dfrac{7}{24}\)
Un robot parcourt \(5\) m en \(20,3\) s. À cette même allure, en \(1\) min, il parcourt environ :

a. \(15\) m b. \(60\) m c. \(100\) m d. \(240\) m
\(10^3\times 2^3=\)

a. \(20^6\) b. \(20^3\) c. \(60\) d. \(20^9\)
La fréquence cardiaque maximale conseillée \(f\) dépend de l'âge \(a\). Son expression est \(f=208-0,7a\). On a alors :

a. \(a=\dfrac{f}{207,3}\) b. \(a=f-207,3\)

c. \(a=\dfrac{f}{0,7}-208\) d. \(a=\dfrac{208-f}{0,7}\)

Méthodes de cours

On ne peut additionner ou soustraire que des termes semblables, c'est-à-dire de même partie littérale : ici deux termes en \(x\). On soustrait alors les coefficients et on garde la partie littérale telle quelle.

💡 Réduire une somme ne fait jamais apparaître de \(x^2\) : le carré viendrait d'un produit, pas d'une soustraction. Deux propositions jouent là-dessus. Vérifie en remplaçant \(x\) par \(1\) dans l'expression de départ et dans ta réponse.

On regroupe les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre ; chaque terme qui change de membre change de signe. On divise enfin par le coefficient obtenu.

💡 Dans un QCM, teste ta solution : remplace-la dans les deux membres de l'équation de départ, ils doivent donner le même nombre. Attention au signe si tu déplaces les \(x\) vers la gauche plutôt que vers la droite.

Pour \(k>0\), l'équation \(x^2=k\) admet exactement deux solutions : \(\sqrt{k}\) et \(-\sqrt{k}\). Pour \(k=0\) elle en admet une seule, et pour \(k<0\) aucune.

💡 L'erreur la plus fréquente est d'oublier la solution négative : un carré ne distingue pas un nombre de son opposé. Et \(\sqrt{6}\) ne vaut pas \(3\) — c'est \(3^2=9\) qu'il ne faut pas confondre avec \(6\).

Une baisse de \(t\,\%\) revient à multiplier par le coefficient multiplicateur \(1-\dfrac{t}{100}\). On peut aussi calculer la remise puis la soustraire au prix initial.

💡 Ne confonds pas la remise (ce qu'on enlève) et le nouveau prix (ce qui reste) : les deux figurent dans la liste. Contrôle de bon sens : le prix baisse, donc la réponse est inférieure à \(200\) € mais reste proche des deux tiers.

Pour additionner deux fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur (ici \(12\), plus petit multiple commun de \(3\) et \(4\)), puis additionner les numérateurs en conservant ce dénominateur.

💡 On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux : deux propositions viennent exactement de cette erreur, et une troisième de la règle du produit appliquée à tort. Ordre de grandeur : la somme est un peu plus grande que \(\tfrac12\).

Distance et durée sont proportionnelles à allure constante : on peut passer par le produit en croix, ou calculer d'abord la distance parcourue en une seconde puis la multiplier par la durée cherchée.

💡 Convertis d'abord la minute en secondes, sinon les deux durées ne sont pas comparables. Estimation rapide : \(20,3\) s, c'est à peu près le tiers d'une minute, donc la distance cherchée vaut environ trois fois \(5\) m — une seule proposition est de cet ordre.

La règle utile est \(a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}\) : quand l'exposant est commun, ce sont les bases qui se multiplient et l'exposant qui reste inchangé.

💡 Ne confonds pas avec \(a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\), qui suppose la même base : les propositions à exposant \(6\) ou \(9\) viennent de cette confusion. En cas de doute, calcule les deux membres — ils tiennent sur une ligne de calculatrice.

On procède comme pour une équation : on isole d'abord le terme contenant \(a\), puis on divise tout le membre obtenu par son coefficient. La barre de fraction porte alors sur l'expression entière.

💡 Le \(208\) et le \(0,7\) ne se combinent pas en \(207,3\) : ce sont un terme et un coefficient, pas deux termes. Vérifie ta formule en testant une valeur, par exemple \(a=20\) : calcule \(f\), puis réinjecte-le pour retrouver \(20\).

Exercice 1 (3 points)

Deuxième partie (14 points)

Dans une clinique d'analyses médicales, on a interrogé les \(150\) salariés sur leurs conditions de travail. Les résultats ont été rassemblés dans le tableau ci-dessous.

	Employé de bureau	Employé de laboratoire	Total des salariés
Satisfait	40	68	108
Mécontent	2	4	6
Indifférent	8	28	36
Total	50	100	150

Vérifier que la proportion des salariés satisfaits de leurs conditions de travail parmi les employés de bureau est de \(80\,\%\).
Dans cette clinique, combien de salariés sont indifférents à leurs conditions de travail ?
Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
« Dans cette clinique, les employés de bureau sont, en proportion, davantage satisfaits de leurs conditions de travail que ceux du laboratoire. »
On choisit au hasard un salarié mécontent parmi les salariés de la clinique. Quelle est la probabilité que celui-ci soit un employé de bureau ? Écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Méthodes de cours

Une proportion se calcule par \(\dfrac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif du groupe de référence}}\), puis se convertit en pourcentage en multipliant par \(100\).

Le mot « parmi » indique le groupe de référence : ici les employés de bureau, donc le dénominateur est le total de cette colonne, et non \(150\).

💡 « Vérifier que » impose d'écrire le quotient et sa conversion, pas seulement de constater. Pour la question 2, l'effectif demandé se lit directement dans la colonne des totaux — mais réponds par une phrase, avec le mot « salariés ».

Comparer « en proportion » interdit de comparer les effectifs bruts : il faut calculer deux proportions, chacune rapportée à son propre total de colonne, puis les comparer.

💡 C'est tout l'enjeu de la question : les employés de laboratoire sont plus nombreux à être satisfaits en effectif, ce qui ne dit rien de la proportion. Exprime tes deux résultats en pourcentages, sur la même base, avant de conclure par une phrase.

« On choisit un salarié mécontent » restreint l'univers à la ligne des mécontents : le dénominateur devient le total de cette ligne. En situation d'équiprobabilité,

\[P=\dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{effectif de la ligne}}.\]

Rendre la fraction irréductible signifie simplifier jusqu'à ce que numérateur et dénominateur n'aient plus de diviseur commun.

💡 Ne prends pas \(150\) au dénominateur : la condition est donnée avant le tirage, l'univers est donc déjà réduit. Et n'oublie pas la simplification, explicitement demandée — une fraction non simplifiée coûte des points ici.

Exercice 2 (5 points)

En 2026, Monsieur Egg possède un élevage de \(800\) poules nourries au blé.

Au regard des années précédentes, on estime que le nombre de poules élevées par Monsieur Egg augmente de \(2\,\%\) par an.
On modélise cette augmentation par la suite \((u_n)\) où, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre de poules élevées l'année \(2026+n\) suivant ce modèle.

On a \(u_0=800\).
1. Calculer le nombre de poules qu'aura Monsieur Egg en 2027.
2. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\), pour tout entier naturel \(n\).
3. Déterminer la nature de la suite \((u_n)\) et préciser sa raison.
En 2026, Monsieur Egg peut nourrir au maximum \(900\) poules.
En améliorant la qualité de ses cultures, il estime qu'il peut nourrir au maximum \(10\) poules de plus chaque année.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(v_n\) le nombre maximum de poules que peut nourrir Monsieur Egg en \(2026+n\) suivant ce modèle. On a \(v_0=900\).
1. Calculer \(v_1\) et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
2. Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\), pour tout entier naturel \(n\).
3. Déterminer la nature de la suite \((v_n)\), et préciser sa raison.

Indice \(n\)	\(u_n\)	\(v_n\)
0	800	900
1	816	910
2	832	920
⋮	⋮	⋮
8	937	980
9	956	990
10	975	1000
11	995	1010
12	1015	1020
13	1035	1030
14	1056	1040
15	1077	1050

D'après les valeurs obtenues dans le tableau ci-dessus, à partir de quelle année Monsieur Egg ne pourra-t-il plus nourrir toutes ses poules ?

Méthodes de cours

Une hausse de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\). Commence par repérer le rang correspondant à l'année : 2026 est le rang \(0\), donc 2027 est le rang \(1\).

💡 Le résultat doit être un nombre entier de poules : si ton calcul ne tombe pas juste, arrondis en le disant explicitement. Écris la ligne de calcul complète, puis une phrase de conclusion.

Une évolution en pourcentage se traduit par une multiplication par le coefficient multiplicateur, la même d'une année sur l'autre : \(u_{n+1}=q\times u_n\). C'est la définition d'une suite géométrique de raison \(q\).

💡 La raison est le coefficient multiplicateur entier, pas le pourcentage : répondre « raison \(2\,\%\) » ou « raison \(0,02\) » est compté faux. Pense à préciser « pour tout entier naturel \(n\) » et à donner aussi le premier terme.

Ici l'augmentation est exprimée en poules, pas en pourcentage : elle s'ajoute au terme précédent.

💡 « Interpréter dans le contexte » vaut des points : rédige une phrase complète précisant l'année concernée et ce que représente le nombre trouvé — un nombre maximum de poules nourries, et non le nombre de poules de l'élevage.

Une relation de la forme \(v_{n+1}=v_n+r\) caractérise une suite arithmétique de raison \(r\).

💡 Compare les deux modèles de l'exercice : en français, « augmente de 2 % » et « 10 poules de plus » se ressemblent, mais l'un donne une suite géométrique et l'autre une suite arithmétique. C'est exactement ce que le sujet cherche à te faire distinguer.

« Ne plus pouvoir nourrir toutes ses poules » se traduit par une inégalité entre les deux suites : le nombre de poules dépasse la capacité d'alimentation. On cherche donc la première ligne du tableau où les deux colonnes changent d'ordre.

💡 Regarde les lignes voisines : l'écart se resserre progressivement, et le basculement se joue à quelques unités près — il faut donc lire précisément, pas estimer. Et l'indice \(n\) n'est pas l'année : reviens à \(2026+n\) et réponds par une phrase.

Exercice 3 (6 points)

Une entreprise produit et vend chaque mois jusqu'à \(40\,000\) enceintes.

Ses coûts de production, en milliers d'euros, pour \(x\) milliers d'enceintes produites et vendues sont modélisés par la fonction \(C\) définie sur l'intervalle \([0\,;\,40]\) par :

\[C(x)=2x^2+4x+530.\]

L'entreprise fixe le prix de vente d'une enceinte à \(96\) €.

L'entreprise étudie, à l'aide d'une feuille de calcul, le bénéfice qu'elle peut réaliser en fonction du nombre d'enceintes produites et vendues :

	A	B	C	D
1	Nombre d'enceintes (en milliers)	Coût de production (en milliers d'euros)	Recette (en milliers d'euros)	Bénéfice (en milliers d'euros)
2	0	530	0	\(-530\)
3	5	600	480	\(-120\)
4	10	770	960	\(190\)
5	15	1040	1440	\(400\)
6	20	1410	1920	\(510\)
7	25	1880	2400	\(520\)
8	30	2450	2880	\(430\)
9	35	3120	3360	\(240\)
10	40	3890	3840	\(-50\)

Écrire, sans l'effectuer, un calcul permettant d'obtenir les valeurs \(960\) et \(190\) de la ligne 4 du tableau.
Sans effectuer de calcul et en utilisant les résultats fournis par la feuille de calcul ci-dessus, répondre aux deux questions suivantes :
1. Quels sont les coûts de production de \(30\,000\) enceintes ?
2. Justifier qu'en vendant \(5\,000\) enceintes, l'entreprise n'est pas bénéficiaire.

Le bénéfice réalisé (en milliers d'euros) pour \(x\) milliers d'enceintes produites et vendues est modélisé par la fonction \(B\) définie, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([0\,;\,40]\), par :

\[B(x)=-2x^2+92x-530.\]

On note \(B'\) la fonction dérivée de la fonction \(B\). Calculer \(B'(x)\).
Justifier que \(B'\) est positive ou nulle sur \([0\,;\,23]\) et négative ou nulle sur \([23\,;\,40]\).
1. Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction \(B\) sur l'intervalle \([0\,;\,40]\).
2. On admet que le bénéfice maximal vaut \(528\) milliers d'euros. Indiquer cette valeur dans le tableau de variations.
3. Pour quel nombre d'enceintes produites et vendues le bénéfice est-il maximal ?

Méthodes de cours

Deux relations de base à connaître : la recette est le produit du prix de vente unitaire par la quantité vendue, et le bénéfice est la différence recette moins coût.

« Sans l'effectuer » veut dire qu'on attend l'écriture du calcul, pas son résultat — qui est déjà dans le tableau.

💡 Surveille les unités : \(x\) est en milliers d'enceintes et les montants en milliers d'euros, si bien que le prix unitaire s'utilise tel quel sans multiplier par mille. La ligne 4 correspond à \(x=10\), pas à \(x=4\).

Les deux réponses se lisent dans le tableau : il faut repérer la ligne correspondant au nombre d'enceintes demandé, puis la colonne correspondant à la grandeur demandée.

💡 Attention à la conversion : \(30\,000\) enceintes correspondent à \(x=30\) puisque la colonne A est en milliers. Pour la question b, la justification tient au signe du bénéfice : cite la valeur lue et dis pourquoi son signe répond à la question.

On dérive terme à terme : \(\left(x^{2}\right)'=2x\), \((ax)'=a\), et la dérivée d'une constante est nulle. La dérivée d'un trinôme du second degré est une fonction affine.

💡 Le coefficient \(-2\) se combine avec le \(2\) venant de la dérivée de \(x^2\) : fais ce produit plutôt que de recopier le coefficient. Le terme constant \(-530\) disparaît entièrement.

\(B'\) est affine : on résout l'inéquation \(B'(x)\geqslant 0\), ou bien on cherche la valeur qui annule \(B'\) puis on applique la règle du signe d'une fonction affine (signe contraire de son coefficient directeur avant la racine, même signe après).

💡 Le coefficient directeur de \(B'\) est négatif : en divisant les deux membres de l'inéquation par ce nombre, l'inégalité change de sens. C'est l'erreur que la question cherche à détecter. La valeur \(23\) annoncée par l'énoncé te sert de contrôle.

On traduit le signe de \(B'\) en variations : \(B'\geqslant 0\) \(\Rightarrow\) \(B\) croissante ; \(B'\leqslant 0\) \(\Rightarrow\) \(B\) décroissante. Le tableau court de \(0\) à \(40\), bornes de l'intervalle d'étude.

Le maximum est atteint à l'endroit où \(B'\) s'annule, c'est-à-dire au sommet de la flèche.

💡 Distingue bien le maximum (la valeur du bénéfice, donnée par l'énoncé) de l'abscisse où il est atteint — c'est cette dernière que demande la question c. Et n'oublie pas la conversion finale : \(x\) est exprimé en milliers d'enceintes, la réponse attendue est un nombre d'enceintes.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

a. \(a=\dfrac{f}{207,3}\)	b. \(a=f-207,3\)
c. \(a=\dfrac{f}{0,7}-208\)	d. \(a=\dfrac{208-f}{0,7}\)

Épreuve anticipée — Série technologiqueMétropole, sujet de secours — 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (3 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (6 points)

Méthodes de cours

Épreuve anticipée — Série technologique
Métropole, sujet de secours — 12 juin 2026