Guide de résolution — Épreuve anticipée de maths, Métropole 12 juin 2026 (secours)

Première partie — Automatismes : QCM (6 points)

Durée de l'épreuve : 2 heures — Coefficient : 2. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Vous traiterez les deux parties du sujet dans leur intégralité.

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1

L'équation \((2x + 6)(7 - x) = 0\) a pour solutions :

a. \(3\) et \(7\)

b. \(3\) et \(-7\)

c. \(-3\) et \(-7\)

d. \(-3\) et \(7\)

Question 2

La moitié du tiers correspond à la fraction :

a. \(\dfrac{3}{2}\)

b. \(\dfrac{1}{5}\)

c. \(\dfrac{1}{6}\)

d. \(\dfrac{2}{3}\)

Question 3

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x) = 3x^{2} - 7x + 9\). \(f(2)\) vaut :

a. \(31\)

b. \(7\)

c. \(-11\)

d. \(13\)

Question 4

Quand on développe \((3x - 1)^{2}\) on obtient :

a. \(3x^{2} - 6x + 1\)

b. \(9x^{2} + 6x - 1\)

c. \(9x^{2} - 6x + 1\)

d. \(9x^{2} - 1\)

Question 5

Voici les notes obtenues par un élève lors de contrôles : 8 ; 11 ; 12 ; 9 ; 20.

La moyenne des notes de l'élève est :

a. \(12\)

b. \(10\)

c. \(11\)

d. \(13\)

Question 6

Un joueur lance deux fois un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6.

La probabilité qu'il obtienne deux fois la face numérotée 6 est :

a. \(\dfrac{1}{2}\)

b. \(\dfrac{1}{6}\)

c. \(\dfrac{1}{12}\)

d. \(\dfrac{1}{36}\)

Question 7

Sur l'étiquette d'une plaque de chocolat noir, il est indiqué 30 g de sucre pour 100 g.

Quelle quantité de sucre contient une plaque de 250 g de ce chocolat noir ?

a. 70 g

b. 100 g

c. 75 g

d. 85 g

Question 8

Un prix est multiplié par 2. Ce prix a augmenté de :

a. \(100\,\%\)

b. \(20\,\%\)

c. \(200\,\%\)

d. \(2\,\%\)

Question 9

On considère la droite \(D\) représentée ci-contre dans un repère orthonormé.

L'équation réduite de la droite \(D\) est :

a. \(y = 2x + 1\)

b. \(y = 2x - 2\)

c. \(y = \dfrac{1}{2}x - 2\)

d. \(y = \dfrac{1}{2}x + 1\)

Méthodes de cours

Outil : règle du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

\[A\times B = 0 \iff A = 0 \;\text{ ou }\; B = 0.\]

Le produit est déjà factorisé : il n'y a rien à développer, on résout séparément les deux équations du premier degré.

💡 Résoudre \(7-x=0\) donne \(x=7\) et non \(x=-7\) : deux des réponses proposées ne sont là que pour sanctionner cette erreur de signe. En cas de doute, remplace ta solution dans le produit de départ.

Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier par cette fraction. « La moitié du tiers » se traduit donc par un produit :

\[\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}.\]

💡 Ce n'est ni une somme \(\left(\tfrac12+\tfrac13\right)\) ni une division. Contrôle de bon sens : la moitié d'un nombre est plus petite que ce nombre, donc le résultat doit être inférieur à \(\tfrac13\) — deux réponses tombent immédiatement.

Calculer \(f(2)\), c'est remplacer chaque \(x\) par \(2\) dans l'expression, puis appliquer les priorités opératoires : puissances d'abord, multiplications ensuite, additions en dernier.

💡 \(3x^{2}\) signifie \(3\times x^{2}\) : on élève au carré avant de multiplier par 3. Calculer \((3\times 2)^{2}=36\) donne exactement l'une des réponses fausses proposées.

Outil : \(\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\), à appliquer avec \(a=3x\) et \(b=1\).

💡 Le carré porte sur le facteur \(3x\) tout entier : \((3x)^{2}=9x^{2}\), pas \(3x^{2}\). Et le double produit ne disparaît jamais : \((a-b)^{2}\neq a^{2}-b^{2}\). Les trois distracteurs correspondent chacun à l'une de ces deux fautes.

Outil : moyenne arithmétique d'une série de \(n\) valeurs.

\[\overline{x}=\dfrac{x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}}{n}.\]

💡 Le dénominateur est le nombre de notes, pas la note maximale. Additionne les cinq valeurs dans un ordre qui simplifie le calcul mental — la calculatrice est interdite.

Deux voies équivalentes. Équiprobabilité : l'univers est formé des couples de résultats, il en compte \(6\times 6\), et un seul est favorable. Indépendance : les deux lancers n'ont aucune influence l'un sur l'autre, donc

\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B).\]

💡 « Deux fois un 6 » est une intersection : on multiplie. Additionner reviendrait à calculer la probabilité d'obtenir un 6 au premier ou au second lancer, ce qui donne un résultat bien plus grand.

La masse de sucre est proportionnelle à la masse de chocolat : on passe d'une ligne à l'autre par un coefficient de proportionnalité, ou par un produit en croix.

💡 Sans calculatrice, décompose : \(250 = 100 + 100 + 50\), et la moitié de 100 g apporte la moitié du sucre. Vérifie la cohérence : pour une plaque plus de deux fois plus lourde, la masse de sucre doit être plus de deux fois plus grande que 30 g.

Outil : lien entre coefficient multiplicateur et taux d'évolution.

\[\text{augmenter de } t\,\% \iff \text{multiplier par } 1+\dfrac{t}{100}.\]

On connaît ici le coefficient multiplicateur et on cherche \(t\) : il suffit de résoudre l'équation.

💡 Ne confonds pas le coefficient et le taux : un coefficient \(2\) n'est pas une hausse de \(200\,\%\) (ce serait un coefficient \(3\)). Retiens le cas de référence : doubler, c'est le taux qui correspond à \(1+\tfrac{t}{100}=2\).

Toute droite non verticale a une équation réduite \(y=mx+p\), où \(p\) est l'ordonnée à l'origine et \(m\) le coefficient directeur. Entre deux points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) de la droite :

\[m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.\]

Choisis deux points du quadrillage à coordonnées entières, puis compte les déplacements : \(m\) est le rapport « montée / avancée ».

💡 \(p\) se lit sur l'axe des ordonnées, à l'endroit où la droite le coupe — pas sur l'axe des abscisses. Et vérifie ton \(m\) sur un troisième point : une droite qui avance plus vite qu'elle ne monte a un coefficient directeur inférieur à 1.

Exercice 1 (3 points)

Dans un lycée, on a questionné 200 élèves (100 garçons et 100 filles) sur leur principal mode de déplacement pour venir au lycée.

Voici les résultats obtenus :

	Garçon	Fille	Total
Marche	16	20	36
Transport en commun	41	45	86
Automobile	21	25	46
Vélo	18	8	26
Autres	4	2	6
Total	100	100	200

On choisit un élève au hasard parmi les élèves concernés par cette enquête.

On considère les événements suivants :

\(M\) : « l'élève vient en marchant »	\(V\) : « l'élève vient à vélo »
\(T\) : « l'élève vient en transport en commun »	\(F\) : « l'élève est une fille »
\(A\) : « l'élève arrive en automobile »	\(G\) : « l'élève est un garçon »

Les résultats demandés seront exprimés sous forme fractionnaire.

La forme irréductible n'est pas attendue.

1. Déterminer la probabilité que l'élève soit une fille et vienne à vélo.
2. Déterminer la probabilité que l'élève vienne en transport en commun.
3. Déterminer la probabilité que l'élève vienne en transport en commun sachant que c'est un garçon.
4. Déterminer la probabilité que l'élève soit un garçon et n'arrive pas en automobile.
Les deux événements « l'élève vient en transport en commun » et « l'élève est un garçon » sont-ils indépendants ?

Méthodes de cours

L'élève est choisi au hasard : il y a équiprobabilité, donc

\[P(E)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.\]

Un « et » entre deux critères désigne une intersection : l'effectif favorable est la case unique située au croisement de la ligne et de la colonne. Un seul critère : l'effectif se lit dans la ligne ou la colonne Total.

💡 Dans ces deux questions le dénominateur reste l'effectif total de l'enquête. L'énoncé précise que la forme irréductible n'est pas attendue : laisse ta fraction telle quelle, tu ne perds aucun point et tu gagnes du temps.

« Sachant que » signale une probabilité conditionnelle \(P_{G}(T)\), définie par

\[P_{G}(T)=\dfrac{P(G\cap T)}{P(G)}.\]

Dans un tableau d'effectifs, elle se lit directement : on se place à l'intérieur de la colonne des garçons, et le total de cette colonne devient le nouveau dénominateur.

💡 Conditionner, c'est changer d'univers : le dénominateur n'est plus l'effectif total de l'enquête mais celui de la colonne. Garder 200 au dénominateur est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.

« Ne pas arriver en automobile » est l'évènement contraire \(\overline{A}\). On cherche donc \(P\left(G\cap\overline{A}\right)\).

Deux voies : additionner les effectifs des garçons pour tous les autres modes de transport, ou soustraire du total de la colonne des garçons l'effectif de la ligne automobile.

💡 Ici il n'y a pas de conditionnement : le mot « sachant » n'apparaît pas, donc le dénominateur reste l'effectif total de l'enquête, même si le calcul du numérateur se fait à l'intérieur d'une colonne.

Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque

\[P(A\cap B)=P(A)\times P(B),\]

ce qui équivaut, si \(P(B)\neq 0\), à \(P_{B}(A)=P(A)\). Tu disposes déjà des deux probabilités à comparer : celles des questions 1.b et 1.c.

💡 Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents, mets-les au même dénominateur — à l'œil, elles se ressemblent beaucoup ici. Et termine par une phrase de conclusion rédigée : l'affirmation seule ne vaut rien sans la comparaison qui la justifie.

Exercice 2 (6 points)

Une entreprise produit et vend de l'eau florale. Elle veut faire une étude sur une production comprise entre 0 et 50 litres de cette eau florale.

Chaque litre d'eau florale est vendu 70 €.

Le coût de production, en euros, de \(x\) litres d'eau florale est modélisé par la fonction \(C\) dont l'expression est \(C(x) = x^{2} + 20x + 400\) où \(x\) appartient à l'intervalle \([0\,;\,50]\).

Déterminer le coût de production de 10 litres d'eau florale.
On note \(R(x)\) la recette, en euros, correspondant au prix de vente de \(x\) litres d'eau florale. Exprimer \(R(x)\) en fonction de \(x\).

Le bénéfice, en euros, pour la production et la vente de \(x\) litres d'eau florale est modélisé par la fonction \(B\). Son expression est obtenue en soustrayant le coût de production de la recette :

\[B(x) = R(x) - C(x)\]

où \(x\) appartient à l'intervalle \([0\,;\,50]\).

1. Montrer que \(B(x) = -x^{2} + 50x - 400\) où \(x\) appartient à l'intervalle \([0\,;\,50]\).
2. Calculer \(B'(x)\) où \(B'\) est la fonction dérivée de la fonction \(B\).
3. Déterminer le signe de \(B'(x)\) sur l'intervalle \([0\,;\,50]\).
4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(B\) sur l'intervalle \([0\,;\,50]\).
  Le calcul de l'image des valeurs particulières du tableau n'est pas attendu.
5. En déduire le nombre de litres d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
1. Vérifier que \(B(x) = (x - 10)(40 - x)\).
2. Étudier le signe de \((x - 10)(40 - x)\) sur l'intervalle \([0\,;\,50]\) (on pourra utiliser un tableau de signes).
3. En déduire les quantités d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice positif.

Méthodes de cours

« Le coût de production de 10 litres » est l'image de 10 par la fonction \(C\) : remplace \(x\) par \(10\) dans l'expression, puis applique les priorités opératoires.

💡 Ne t'arrête pas au nombre : la question est posée dans un contexte, donc la réponse est une phrase avec l'unité (« le coût de production de 10 litres est de … euros »). C'est un point facile, régulièrement perdu.

La recette est une situation de proportionnalité : chaque litre rapporte le même prix, donc la recette totale est le produit du prix unitaire par la quantité vendue.

💡 La recette ne dépend pas du coût de production : ne soustrais rien ici, c'est justement l'objet de la question 3. Une fonction linéaire suffit.

Écris \(B(x)=R(x)-C(x)\) en mettant \(C(x)\) entre parenthèses, puis distribue le signe moins avant de réduire les termes semblables.

\[a-(b+c+d)=a-b-c-d.\]

💡 Le \(-\) devant la parenthèse change le signe des trois termes, y compris la constante. L'énoncé te donne l'expression attendue : si tu ne tombes pas dessus, c'est un signe oublié — refais la distribution plutôt que de « rectifier » le résultat.

On dérive terme à terme, avec les dérivées de référence :

\[\left(x^{2}\right)'=2x,\qquad (ax)'=a,\qquad (k)'=0.\]

💡 Le coefficient négatif devant \(x^{2}\) se conserve : \(\left(-x^{2}\right)'=-2x\). Et le terme constant disparaît complètement — ne le recopie pas dans \(B'(x)\).

\(B'\) est une fonction affine. Pour étudier son signe : cherche la valeur qui l'annule en résolvant \(B'(x)=0\), puis conclus grâce au signe de son coefficient directeur, et présente le tout dans un tableau de signes sur \([0\,;\,50]\).

💡 Si tu résous l'inéquation \(B'(x)>0\) directement, tu vas diviser par un nombre négatif : l'inégalité change de sens. Plus sûr : coefficient directeur négatif ⇒ la fonction affine est décroissante, donc positive avant sa racine et négative après.

Théorème : sur un intervalle, si \(B'>0\) alors \(B\) est croissante ; si \(B'<0\) alors \(B\) est décroissante. Le tableau de variation reprend donc exactement les colonnes du tableau de signes de la question précédente, avec des flèches.

💡 L'énoncé dispense du calcul des images : laisse les valeurs sous la forme \(B(0)\), \(B(\ldots)\), \(B(50)\). Surtout, relis ce qu'on demande en 3.e : un nombre de litres, donc l'abscisse où le maximum est atteint — pas le montant du bénéfice, qui est l'ordonnée. Confondre les deux est l'erreur classique de cette question.

« Vérifier que » autorise la voie la plus rapide : développe le produit proposé et constate qu'on retrouve l'expression de \(B(x)\).

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

💡 Va du produit vers la forme développée, jamais l'inverse : factoriser demanderait de résoudre une équation du second degré. Attention au double signe moins : \(-10\times(-x)=+10x\).

Méthode : une ligne par facteur, une dernière ligne pour le produit. Place dans l'ordre croissant, sur \([0\,;\,50]\), les valeurs qui annulent chaque facteur, étudie le signe de chaque facteur affine séparément, puis applique la règle des signes colonne par colonne.

💡 Les deux facteurs varient en sens contraire : l'un est croissant, l'autre décroissant, donc leurs lignes de signes sont inversées l'une par rapport à l'autre. Contrôle une colonne en testant une valeur simple de \(x\) prise dedans.

« Réaliser un bénéfice positif » se traduit par l'inéquation \(B(x)>0\) : la réponse se lit dans la dernière ligne du tableau de signes, là où le produit est positif.

💡 La réponse est un intervalle strictement inclus dans \([0\,;\,50]\), pas l'intervalle d'étude tout entier — c'est cohérent avec le contexte : produire trop peu ne couvre pas les coûts fixes, produire trop les fait exploser. Conclus par une phrase en litres.

Exercice 3 (5 points) — Partie A

On étudie l'évolution du nombre d'habitants de deux villes A et B à partir du 1^er janvier 2020.

On a modélisé ci-dessous l'évolution de la population de ces deux villes en fonction du nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2020.

En abscisse, on lit le nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2020 et en ordonnée, le nombre d'habitants en millions.

Évolution des populations des villes A et B

Partie A : Étude de la population de la ville A

On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville A a été modélisée par la suite géométrique \(\left(u_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[u_{n} = 3 \times 1,07^{\,n}\]

où \(n\) est le nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2020 et \(u_{n}\) est le nombre d'habitants l'année \(2020 + n\), exprimé en millions.

Quel est le nombre d'habitants de la ville A au 1^er janvier 2020 ?
1. Justifier que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est croissante.
2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice et donner le taux d'évolution annuel, exprimé en pourcentage, de la population de la ville A selon ce modèle.
Estimer, à l'aide du graphique de la page précédente, le nombre d'années nécessaires depuis le 1^er janvier 2020 pour que le nombre d'habitants de la ville A double selon ce modèle.

Méthodes de cours

L'énoncé définit \(n\) comme le nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2020 : l'année 2020 correspond donc au rang \(n=0\), et la question revient à calculer le premier terme de la suite.

💡 Rappelle-toi que \(a^{0}=1\) pour tout réel \(a\) non nul : ici \(1,07^{0}=1\), et non \(0\) ni \(1,07\). Réponds en millions d'habitants, comme le précise l'énoncé.

Méthode générale : comparer \(u_{n+1}\) et \(u_{n}\). Pour une suite géométrique, utilise la propriété des puissances \(a^{n+1}=a^{n}\times a\) afin de faire apparaître \(u_{n}\) :

\[u_{n+1}=q\times u_{n}.\]

Il reste à comparer \(q\times u_{n}\) à \(u_{n}\).

💡 Il faut dire que \(u_{n}>0\) : multiplier par un nombre supérieur à 1 n'augmente une quantité que si elle est positive. Une suite géométrique de raison \(q>1\) mais de premier terme négatif est décroissante — c'est exactement le point que les correcteurs cherchent.

Multiplier par \(q\) à chaque étape, c'est faire subir une évolution de taux \(t\) à chaque étape, avec

\[q = 1 + \dfrac{t}{100}\qquad\text{donc}\qquad t = (q-1)\times 100.\]

💡 Le taux n'est pas \(q\times 100\) : une raison \(1,07\) ne donne pas \(107\,\%\) d'augmentation. Et « interpréter » attend une phrase complète, dans le contexte : la population de la ville A augmente chaque année de ce pourcentage.

« Doubler » signifie atteindre le double du nombre d'habitants de départ, celui de la question 1. Trace (au moins mentalement) la droite horizontale à cette hauteur, puis cherche l'abscisse du premier point de la ville A situé au-dessus.

💡 L'énoncé dit « estimer à l'aide du graphique » : aucun calcul n'est attendu, et la calculatrice est de toute façon interdite. Réponds par un nombre entier d'années, et vérifie que le point de rang précédent est bien situé en dessous du seuil.

Exercice 3 (5 points) — Partie B

Partie B : Étude de la population de la ville B

On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville B a été modélisée par la suite arithmétique \(\left(v_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\[v_{n} = 6 + 0,1n\]

où \(n\) est le nombre d'années écoulées depuis le 1^er janvier 2020 et \(v_{n}\) est le nombre d'habitants l'année \(2020 + n\), exprimé en millions.

Donner les deux premiers termes \(v_{0}\), \(v_{1}\) de la suite \(\left(v_{n}\right)\) ainsi que sa raison.
Selon ce modèle, calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1^er janvier 2035.
Déterminer, par le calcul, le nombre d'années nécessaires pour que la population de la ville B soit égale à 7,3 millions d'habitants selon ce modèle.

Méthodes de cours

Une suite arithmétique s'écrit \(v_{n}=v_{0}+rn\), où \(r\) est la raison : l'expression donnée par l'énoncé est déjà sous cette forme, le coefficient de \(n\) se lit directement. Tu peux aussi le retrouver par

\[r = v_{n+1}-v_{n}\quad\text{en particulier}\quad r=v_{1}-v_{0}.\]

💡 Raison d'une suite arithmétique : on soustrait deux termes consécutifs. Raison d'une géométrique : on divise. La partie A vient d'utiliser l'autre modèle, ne mélange pas les deux.

Convertis d'abord l'année en rang : l'énoncé dit que \(v_{n}\) correspond à l'année \(2020+n\), donc le rang cherché est la différence entre l'année demandée et 2020. Il reste à remplacer \(n\) par cette valeur.

💡 L'erreur classique est de remplacer \(n\) par l'année elle-même. Contrôle de bon sens : la population de la ville B croît lentement, ta réponse doit rester proche de 6 millions.

« Par le calcul » interdit la lecture graphique : pose l'équation \(v_{n}=7,3\) et résous-la comme une équation du premier degré, en isolant \(n\).

💡 Diviser par \(0,1\), c'est multiplier par \(10\) — pas par \(0,1\). Et vérifie que le \(n\) obtenu est bien un entier naturel : si ce n'était pas le cas, la population n'atteindrait jamais exactement cette valeur et il faudrait passer à l'entier suivant.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de Première — sans spécialité
Métropole — 12 juin 2026 (sujet de secours)

Première partie — Automatismes : QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (3 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points) — Partie C

Méthodes de cours

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Épreuve anticipée de Première — sans spécialité
Métropole — 12 juin 2026 (sujet de secours)