Guide de résolution — EAM Métropole Sans spécialité 11 septembre 2026

Automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1. Un élève a obtenu les notes suivantes : \(11\,;12\,;15\,;9\,;17\,;9\,;8\).

La médiane de ses notes est :

\(9\)
\(11\)
\(81\)
\(12\)

Question 2. La fonction affine \(f\) représentée ci-contre a pour expression :

\(f(x) = 2x+6\)
\(f(x) = -2x+6\)
\(f(x) = 6x+2\)
\(f(x) = -3x+6\)

Question 3. L'expression \(x^2 - 9\) correspond au développement de :

\((x-3)^2\)
\((x-3)(x+3)\)
\(9(x-1)^2\)
\((x-9)(x+1)\)

Question 4. \(30\,\%\) de \(12\) est égal à :

\(3,6\)
\(36\)
\(4\)
\(6\)

Question 5. L'expression \(A = \dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{5}}\) est égale à :

\(\dfrac{12}{35}\)
\(\dfrac{15}{32}\)
\(\dfrac{15}{28}\)
\(\dfrac{28}{15}\)

Question 6. Sachant que \(1\) mètre correspond à environ \(1,1\) yards, \(300\) mètres représentent environ :

\(270\) yards
\(303\) yards
\(330\) yards
\(333\) yards

Question 7. Le nombre \(2 \times 2^5\) est égal à :

\(4^5\)
\(2^{10}\)
\(4^{10}\)
\(2^6\)

Question 8. On note \(T_F\) la température en degrés Fahrenheit et \(T_C\) la température en degrés Celsius.

On a la relation : \(T_F = 1,8\,T_C + 32\).

Si la température \(T_C\) est de \(-10\,\)°C, quelle est la température en degrés Fahrenheit ?

\(30,2\)
\(14\)
\(50\)
\(-50\)

Méthodes de cours

Pour trouver la médiane, ordonne d'abord toutes les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur centrale.

💡 Ne calcule pas la médiane sur la liste dans l'ordre où elle est donnée : le classement croissant est une étape obligatoire, pas une option.

L'ordonnée à l'origine \(b\) se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur \(a\) se retrouve avec un second point du graphique, via \(a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).

💡 Vérifie le signe : une droite qui descend a un coefficient directeur négatif. Deux des quatre propositions ont la même ordonnée à l'origine mais un coefficient directeur différent — c'est là que se joue la question.

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\]

💡 Ici \(a=x\) et \(b=3\) : n'oublie pas d'écrire \((x-3)(x+3)\) et non \((x-9)(x+1)\), qui utilise \(9\) et \(1\) au lieu de \(3\).

Prendre \(t\,\%\) d'une quantité \(Q\) revient à calculer \(\dfrac{t}{100}\times Q\).

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : \(\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}\).

💡 Le piège classique est de multiplier les deux fractions au lieu de les diviser (une des propositions correspond à cette erreur), ou d'inverser la mauvaise fraction.

Une conversion d'unités avec un facteur constant est une situation de proportionnalité : multiplie la quantité en mètres par le facteur \(1,1\) donné.

Écris \(2 = 2^1\), puis applique \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

💡 On additionne les exposants quand on multiplie deux puissances de même base : on ne multiplie ni les bases entre elles, ni les exposants entre eux.

Remplace \(T_C\) par \(-10\) dans la formule donnée, en respectant la priorité de la multiplication sur l'addition.

💡 Attention au signe : \(1,8 \times (-10)\) est négatif. Calcule d'abord ce produit, puis ajoute \(32\).

Exercice 2 (3 points)

Des biologistes étudient une population de bactéries. On modélise l'évolution de cette population par la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0\,;+\infty[\) par \(f(t) = 10 \times 1,15^t\) où \(t\) est exprimé en heure et \(f(t)\) en milliers de bactéries.

L'expérience débute quand \(t=0\).

1. Calculer le nombre de bactéries, exprimé en milliers, au début de l'expérience.
2. Calculer le nombre de bactéries, exprimé en milliers, au bout d'une heure.
Déterminer le sens de variation de la fonction \(f\) sur \([0\,;+\infty[\) en justifiant.
On a \(f(1,5) \approx 12,332\). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.

Méthodes de cours

Remplace \(t\) par la valeur demandée dans l'expression de \(f\), en te souvenant que \(1,15^0=1\).

Une fonction de la forme \(t\mapsto k\times a^t\) avec \(k>0\) est croissante si \(a>1\), et décroissante si \(0

💡 Identifie clairement \(k\) et \(a\) dans l'expression de \(f\) avant de conclure, et justifie en citant cette propriété plutôt qu'en te contentant de comparer deux valeurs.

\(t=1,5\) correspond à une durée écoulée depuis le début de l'expérience, et \(f(t)\) est exprimé en milliers de bactéries : convertis \(1,5\) heure en heures et minutes, et n'oublie pas de reconvertir \(12,332\) milliers en un nombre de bactéries.

💡 Une phrase d'interprétation complète cite le temps écoulé et le nombre de bactéries, avec l'unité correcte (pas les milliers, le nombre réel).

Exercice 3 (5 points)

En 2025, Jean a acheté un téléphone portable d'une valeur de \(1\,060\) €.

On suppose que la valeur du téléphone diminue de \(100\) € chaque année.

Soit \((u_n)\) la suite modélisant la valeur du téléphone, en euros, l'année \(2025+n\) pour tout entier naturel \(n\).

Ainsi \(u_0 = 1\,060\).

Calculer \(u_1\) et \(u_2\). Interpréter la valeur de \(u_2\) dans le contexte de l'exercice.
Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) pour tout entier naturel \(n\).
En déduire la nature de la suite \((u_n)\) et préciser la raison de la suite.
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
À partir de quelle année la valeur du téléphone aura-t-elle perdu plus de la moitié de sa valeur initiale ?

Méthodes de cours

Chaque terme s'obtient en retirant \(100\) au terme précédent.

💡 L'interprétation de \(u_2\) doit préciser l'année concernée (\(2025+2\)) et l'unité (des euros), pas seulement redonner le nombre.

« Diminue de \(100\) € chaque année » se traduit directement par \(u_{n+1}=u_n-100\).

Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\), appelé raison : \(u_{n+1}=u_n+r\).

💡 Identifie \(r\) directement dans la relation de la question précédente, écrite sous la forme \(u_n + r\) (attention au signe de \(r\)).

\[u_n = u_0 + n\times r.\]

« Perdre plus de la moitié de sa valeur initiale » se traduit par \(u_n < \dfrac{u_0}{2}\). Résous cette inéquation du premier degré en \(n\), puis prends le plus petit entier \(n\) qui convient.

💡 \(n\) doit être un entier naturel : une fois l'inéquation résolue (par exemple \(n>5,3\)), vérifie avec les deux valeurs entières encadrant ce seuil avant de conclure sur l'année.

Exercice 4 (6 points)

Une étude a été réalisée sur la qualité de l'eau dans une région, en prélevant des échantillons dans deux types de milieux : des rivières et des lacs. Chaque échantillon a ensuite été analysé et classé comme de qualité « satisfaisante » ou « insatisfaisante » selon les normes en vigueur.

Voici les données recueillies à partir d'un total de \(500\) échantillons analysés :

\(300\) échantillons provenaient de rivières ;
parmi les échantillons prélevés dans les lacs, \(80\) étaient classés de qualité « insatisfaisante » ;
au total, \(280\) échantillons étaient classés de qualité « satisfaisante ».

Recopier et compléter le tableau suivant :

Rivière Lac Total

Qualité satisfaisante

Qualité insatisfaisante

Total \(500\)
On choisit un échantillon d'eau au hasard parmi les \(500\) échantillons analysés.
On note les événements suivants :
- \(S\) : « l'échantillon choisi est classé de qualité satisfaisante » ;
- \(R\) : « l'échantillon choisi provient d'une rivière ».
Pour un événement quelconque \(E\) : on note \(\overline{E}\) l'événement contraire de \(E\) et \(P(E)\) la probabilité de \(E\).

On donnera les résultats sous forme de fraction.
1. Quelle est la probabilité que l'échantillon provienne d'une rivière ?
2. Décrire l'événement \(\overline{S}\) par une phrase puis justifier que \(P(\overline{S}) = \dfrac{11}{25}\).
3. Calculer \(P(S \cap \overline{R})\), puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous :
1. Traduire la probabilité \(x\) en utilisant les événements \(\overline{S}\) et \(R\).
2. Vérifier que \(x = \dfrac{7}{15}\).
3. Recopier et compléter entièrement l'arbre.
Les événements « l'échantillon provient d'une rivière » et « l'échantillon est de qualité insatisfaisante » sont-ils indépendants ?

Méthodes de cours

Chaque total de ligne ou de colonne est la somme des cases de cette ligne ou de cette colonne. Utilise les trois données de l'énoncé, puis complète le reste par différences successives.

💡 Commence par la case que tu peux déduire directement (\(500-300\)), puis avance case par case : chaque nouvelle valeur permet d'en déduire une autre par soustraction.

L'échantillon est choisi au hasard parmi les \(500\) : \(P(R) = \dfrac{\text{effectif favorable}}{\text{effectif total}}\).

L'événement contraire de \(S\) s'obtient en inversant l'adjectif qui définit \(S\). Sa probabilité vaut \(P(\overline{S})=1-P(S)\), ou se lit directement dans le tableau.

💡 Les deux méthodes (calcul par différence, lecture directe dans le tableau) doivent donner le même résultat : c'est un bon moyen de vérifier ton tableau de la question 1.

\(S \cap \overline{R}\) se lit à l'intersection de la ligne « satisfaisante » et de la colonne « pas une rivière », dans le tableau complété à la question 1.

💡 N'oublie pas la phrase d'interprétation en pourcentage : c'est une partie de la question, pas un bonus.

Une probabilité placée sur la seconde branche d'un arbre, issue du nœud \(R\) et menant à \(\overline{S}\), se note \(P_R(\overline{S})\) : la condition est le nœud de départ, l'événement conditionné est la branche d'arrivée.

Sachant que l'échantillon provient d'une rivière, on se restreint à la colonne « Rivière » du tableau (\(300\) échantillons), et on y calcule la proportion d'échantillons insatisfaisants.

💡 La fraction obtenue n'est pas forcément écrite sous sa forme irréductible du premier coup : simplifie-la pour retrouver exactement \(\dfrac{7}{15}\).

La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut \(1\). Utilise cette règle à chaque nœud, ainsi que le tableau complété, pour retrouver toutes les valeurs manquantes.

💡 Le second niveau de l'arbre porte des probabilités conditionnelles (sachant \(R\), ou sachant \(\overline{R}\)) : ne les confonds pas avec les probabilités du tableau, qui portent sur l'univers entier.

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\), ce qui équivaut à comparer \(P_A(B)\) et \(P(B)\).

💡 Compare \(P_R(\overline{S})\) (trouvé à la question 3) à \(P(\overline{S})\) (trouvé à la question 2) : si les deux diffèrent, les événements ne sont pas indépendants.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

	Rivière	Lac	Total
Qualité satisfaisante
Qualité insatisfaisante
Total			\(500\)

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Automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (3 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (6 points)

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