Guide de résolution — Épreuve anticipée de maths Métropole 12 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.

Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Le nombre \(\dfrac{2}{5}\) est égal à :

A. 0,2 B. 0,25 C. 0,4 D. 0,5
\(30\,\%\) de 150 est égal à :

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
On donne ci-contre la représentation graphique d'une fonction \(f\).
Lequel de ces nombres est un antécédent de 3 ?

A. 0,5 B. 1

C. 1,5 D. 2
La solution de l'équation \(7x + 4 = 5x + 6\) est :

A. \(x = -1\) B. \(x = 0\) C. \(x = 2\) D. \(x = 1\)
Un article coûte initialement \(50\) €.
Son prix diminue de \(10\,\%\) puis augmente de \(10\,\%\).

Son prix final est de :

A. 49,50 € B. 49,90 € C. 50 € D. 50,10 €

On considère la courbe d'équation \(y = 2x^{2} - x + 3\).

Le point d'abscisse \(-1\) de la courbe est :

A. \(\mathrm{A}(-1 ; 0)\)

B. \(\mathrm{B}(-1 ; 2)\)

C. \(\mathrm{C}(-1 ; 4)\)

D. \(\mathrm{D}(-1 ; 6)\)

Une droite passe par les points \(\mathrm{A}(-1 ; 2)\) et \(\mathrm{B}(-3 ; 4)\).
Son coefficient directeur est :

A. \(-2\) B. \(-1\) C. 1 D. 2
On s'intéresse au confort d'un hôtel.
Les six dernières notes obtenues sont : \(2 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3\)

La médiane de cette série de notes est :

A. 2 B. 3 C. 3,5 D. 4

Méthodes de cours

Pour écrire une fraction sous forme décimale, le plus rapide est de l'amplifier pour obtenir un dénominateur égal à \(10\), \(100\) ou \(1\,000\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}\). Sinon, pose la division \(a\div b\).

Prendre \(t\,\%\) d'un nombre \(N\), c'est calculer \(\dfrac{t}{100}\times N\).

💡 Ne lis pas \(\dfrac{2}{5}\) comme « \(2\) sur \(5\), donc \(0,25\) » : c'est la confusion avec \(\dfrac{1}{4}\), et c'est exactement le distracteur placé dans les réponses. Ordre de grandeur utile : \(\dfrac{2}{5}\) est supérieur à \(\dfrac{1}{3}\) et inférieur à \(\dfrac{1}{2}\).

Un antécédent de \(3\) par \(f\) est un réel \(x\) tel que \(f(x)=3\). Graphiquement : trace la droite horizontale d'équation \(y=3\), repère les points d'intersection avec la courbe, et lis leurs abscisses.

💡 Ne confonds pas image et antécédent : on part ici de l'axe des ordonnées pour arriver sur l'axe des abscisses. Teste les quatre propositions une à une en lisant \(f(0,5)\), \(f(1)\), \(f(1,5)\), \(f(2)\) : une seule donne \(3\).

Regroupe les termes en \(x\) dans un membre et les constantes dans l'autre, en retranchant \(5x\) puis \(4\) aux deux membres, puis divise par le coefficient obtenu.

💡 Dans un QCM, la vérification est immédiate et gratuite : remplace la valeur trouvée dans \(7x+4\) et dans \(5x+6\), les deux doivent donner le même nombre. Si tu hésites entre deux réponses, teste-les toutes les deux.

Une variation de \(t\,\%\) se traduit par un coefficient multiplicateur : \(\times\left(1-\dfrac{t}{100}\right)\) pour une baisse, \(\times\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\) pour une hausse. Deux évolutions successives se composent en multipliant les coefficients.

💡 Tout le piège est là : \(0,9\times 1,1=0,99\neq 1\). Une baisse de \(10\,\%\) suivie d'une hausse de \(10\,\%\) ne redonne pas le prix initial, elle fait perdre \(1\,\%\). Et ne calcule surtout pas la hausse sur le prix de départ.

Un point \(\mathrm{M}(x_{\mathrm{M}} ; y_{\mathrm{M}})\) appartient à la courbe d'équation \(y=f(x)\) si et seulement si \(y_{\mathrm{M}}=f\!\left(x_{\mathrm{M}}\right)\). Les quatre propositions ayant toutes la même abscisse, il suffit de calculer l'ordonnée en remplaçant \(x\) par \(-1\).

💡 Deux signes à ne pas rater : \((-1)^{2}=+1\) (et non \(-1\)), et \(-x=-(-1)=+1\). Mets les parenthèses en écrivant \(2\times(-1)^{2}-(-1)+3\).

Pour deux points \(\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}}\right)\) et \(\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right)\) d'abscisses distinctes :

\[m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.\]

💡 Garde le même ordre des points en haut et en bas : inverser l'un des deux change le signe du résultat. Ici les deux abscisses sont négatives, le dénominateur vaut \(-3-(-1)\) : soigne ce calcul. Contrôle visuel : quand \(y\) augmente et \(x\) diminue, la droite descend, donc \(m<0\).

On ordonne d'abord les valeurs dans l'ordre croissant. Pour un effectif \(n\) pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs \(\dfrac{n}{2}\) et \(\dfrac{n}{2}+1\) ; ici \(n=6\), donc la moyenne de la \(3^{\text{e}}\) et de la \(4^{\text{e}}\) valeur.

💡 La série n'est pas donnée dans l'ordre : la trier est l'étape que l'on oublie. Et ne confonds pas médiane et moyenne — les deux existent parmi les propositions.

Exercice 1 (6 points)

Dans un lycée, 120 élèves sont sportifs de haut niveau et sont séparés en deux sections : la section aquatique et la section judo.

Pour chaque section, les élèves peuvent être en seconde, en première ou en terminale.

La répartition de ces 120 élèves est donnée dans le tableau ci-dessous.

	Seconde	Terminale	Total
Section judo		8	24
Section aquatique	40
Total	50	14	120

On choisit au hasard un élève parmi les sportifs de haut niveau.

On considère les évènements suivants :

\(S\) : « l'élève est en seconde »
\(P\) : « l'élève est en première »
\(T\) : « l'élève est en terminale »
\(A\) : « l'élève est en section aquatique »
\(J\) : « l'élève est en section judo »

Pour un évènement quelconque \(E\) : on note \(P(E)\) la probabilité de \(E\) et \(P_{F}(E)\) la probabilité de \(E\) sachant l'évènement \(F\).

Reproduire le tableau ci-dessus en complétant les données manquantes.

Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction.

Décrire l'évènement \(A \cap S\) à l'aide d'une phrase puis calculer sa probabilité.
On choisit au hasard un élève sportif en seconde, calculer la probabilité qu'il soit en section aquatique.
1. Calculer la probabilité de l'évènement \(J\).
2. Calculer \(\mathrm{P}_{T}(J)\).
3. Les évènements \(J\) et \(T\) sont-ils indépendants ?
  Justifier votre réponse.

Méthodes de cours

Dans un tableau croisé, chaque ligne et chaque colonne se boucle par son total : la somme des cases d'une ligne vaut le total de la ligne, et de même pour les colonnes. La stratégie est donc toujours la même : repérer les lignes ou colonnes où il ne manque qu'une seule valeur, la calculer par différence, puis recommencer.

Commence par la colonne « Seconde » (il n'y manque qu'une case), puis la ligne « Section judo », puis la colonne « Terminale » et la ligne des totaux.

💡 Cette question conditionne tout l'exercice : une erreur ici fausse les quatre questions suivantes. Contrôle final : les trois totaux de colonnes doivent redonner \(120\), et les deux totaux de lignes aussi.

\(A \cap S\) se lit « \(A\) et \(S\) » : l'élève choisi vérifie les deux conditions en même temps. La phrase de description doit reprendre les deux caractères, pas un seul.

Il y a équiprobabilité (choix au hasard parmi les \(120\) élèves), donc

\[P(E)=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.\]

💡 L'effectif favorable se lit directement dans une seule case du tableau, celle qui croise la ligne et la colonne concernées. La consigne impose une fraction : simplifie-la, mais n'écris pas de valeur décimale.

« On choisit un élève parmi les sportifs en seconde » signale une probabilité conditionnelle : c'est \(P_{S}(A)\). Avec un tableau, le plus simple est de compter dans la sous-population :

\[P_{S}(A)=\dfrac{\text{effectif de } A\cap S}{\text{effectif de } S}=\dfrac{P(A\cap S)}{P(S)}.\]

💡 L'univers a changé : le dénominateur n'est plus \(120\) mais l'effectif de la colonne « Seconde ». Compare avec la question 2 : même numérateur, dénominateur différent — c'est toute la différence entre \(P(A\cap S)\) et \(P_{S}(A)\).

Pour \(P(J)\), l'univers est l'ensemble des \(120\) élèves : le numérateur est le total de la ligne « Section judo ».

Pour \(P_{T}(J)\), on se restreint aux élèves de terminale : le numérateur est la case croisant judo et terminale, le dénominateur le total de la colonne « Terminale ».

💡 \(P_{T}(J)\) et \(P_{J}(T)\) ne sont pas la même chose : l'évènement écrit en indice est celui qui donne le dénominateur. Garde les deux fractions non simplifiées à côté de leur forme simplifiée, tu en auras besoin à la question suivante.

Deux évènements \(J\) et \(T\) sont indépendants lorsque

\[P(J\cap T)=P(J)\times P(T),\quad\text{ce qui équivaut à}\quad P_{T}(J)=P(J).\]

Tu disposes déjà des deux membres de cette dernière égalité : ce sont exactement les réponses des questions a. et b. Il ne reste qu'à les comparer, au besoin en les réduisant au même dénominateur.

💡 Ne confonds pas indépendants et incompatibles (qui signifierait \(P(J\cap T)=0\), donc aucun judoka en terminale — visiblement faux ici). Et termine par une phrase de conclusion : un calcul sans phrase ne vaut pas la totalité des points.

Exercice 2 (8 points) — Partie A

En 2025, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de \(20\,000\) €.

Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à \(22\,000\) €.

Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.

Ils ont le choix entre deux placements :

A — Premier placement.

Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de \(200\) € par rapport au capital de l'année précédente.

On note \(a_{n}\) la somme disponible en \(2025+n\).

On a donc \(a_{0}=20\,000\).

Calculer \(a_{1}\) et \(a_{2}\).
1. Exprimer \(a_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) pour tout entier naturel \(n\).
2. En déduire la nature de la suite \(\left(a_{n}\right)\).
  Préciser sa raison.
Exprimer \(a_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).
À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?

Méthodes de cours

« Augmente de \(200\) € par rapport au capital de l'année précédente » se traduit par une addition : on passe d'un terme au suivant en ajoutant \(200\). Calcule \(a_{1}\) à partir de \(a_{0}\), puis \(a_{2}\) à partir de \(a_{1}\).

💡 Attention au décalage d'indice : \(a_{0}\) est le capital de 2025, donc \(a_{1}\) est celui de 2026. C'est ce décalage qui sera décisif à la question 4.

Une suite est arithmétique de raison \(r\) lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre :

\[a_{n+1}=a_{n}+r \quad \text{pour tout } n\in\mathbb{N}.\]

Pour « préciser la nature », il faut donner à la fois le mot (arithmétique), la raison et le premier terme.

💡 Le réflexe à installer : une augmentation d'une somme fixe donne une suite arithmétique ; une augmentation d'un pourcentage donnerait une suite géométrique. C'est exactement le contraste avec la partie B. N'oublie pas d'écrire « pour tout entier naturel \(n\) » : c'est un point de rédaction attendu.

Pour une suite arithmétique de raison \(r\) :

\[a_{n}=a_{0}+n\,r \quad\text{(ou } a_{n}=a_{p}+(n-p)\,r\text{)}.\]

💡 Ici la suite démarre à \(a_{0}\), donc le facteur est \(n\) et non \(n-1\) : \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) est la formule du cas où l'on part du rang 1. Vérifie ta formule en y remplaçant \(n\) par \(1\) puis \(2\) : tu dois retrouver les résultats de la question 1.

« Avoir la somme nécessaire » se traduit par l'inéquation \(a_{n}\geqslant 22\,000\). Remplace \(a_{n}\) par l'expression de la question 3 et résous : retranche \(20\,000\) aux deux membres, puis divise par la raison (qui est positive, donc le sens de l'inégalité ne change pas).

Conclus avec le plus petit entier naturel \(n\) qui convient.

💡 La question demande une année, pas un rang : reviens à \(2025+n\) pour la réponse finale. Et l'inégalité est large — atteindre exactement \(22\,000\) € suffit, ne rejette pas ce cas.

Exercice 2 (8 points) — Partie B

B — Second placement.

Avec le placement B, le capital augmente chaque année de \(2\,\%\) par rapport au capital de l'année précédente.

On note \(b_{n}\) la somme disponible en \(2025+n\).

On a donc \(b_{0}=20\,000\).

Détailler le calcul qui permet d'obtenir \(b_{1}=20\,400\).
1. Exprimer \(b_{n+1}\) en fonction de \(b_{n}\) pour tout entier naturel \(n\).
2. En déduire la nature de la suite \(\left(b_{n}\right)\).
  Préciser sa raison.
Exprimer \(b_{n}\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).

Grâce à l'extrait de tableur ci-contre, on visualise le capital arrondi à l'euro près.

Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.

\(n\)	\(b_{n}\)
0	\(20\,000\)
1	\(20\,400\)
2	\(20\,808\)
3	\(21\,224\)
4	\(21\,649\)
5	\(22\,082\)
6	\(22\,523\)
7	\(22\,974\)
8	\(23\,433\)
9	\(23\,902\)
10	\(24\,380\)

Méthodes de cours

Augmenter une quantité de \(t\,\%\), c'est la multiplier par \(1+\dfrac{t}{100}\). « Détailler le calcul » veut dire écrire la ligne complète, au choix :

\[b_{1}=b_{0}+\dfrac{2}{100}\times b_{0} \qquad\text{ou}\qquad b_{1}=b_{0}\times 1,02.\]

💡 L'énoncé te donne déjà le résultat : l'enjeu n'est pas de le trouver mais de montrer d'où il vient. Vérifie que tu retrouves bien \(20\,400\). Multiplier par \(0,02\) (au lieu de \(1,02\)) ou ajouter \(2\) sont les deux erreurs qui reviennent chaque année.

Une suite est géométrique de raison \(q\) lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre :

\[b_{n+1}=q\times b_{n} \quad \text{pour tout } n\in\mathbb{N}.\]

Le raisonnement de la question 1 ne dépend pas de l'année : il se réécrit tel quel avec \(b_{n}\) et \(b_{n+1}\).

💡 La raison est le coefficient multiplicateur, pas le pourcentage : ce n'est ni \(2\) ni \(0,02\). Comme pour la partie A, donne aussi le premier terme dans ta phrase de conclusion.

Pour une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(b_{0}\) :

\[b_{n}=b_{0}\times q^{\,n}.\]

💡 C'est bien \(q^{\,n}\) (un exposant) et non \(n\times q\) : confondre les deux, c'est transformer la suite géométrique en suite arithmétique. Contrôle sur \(n=1\) et \(n=2\) avec la colonne du tableur : tu dois retrouver \(20\,400\) puis \(20\,808\).

Ici on ne résout pas d'inéquation : on lit. Parcours la colonne \(b_{n}\) de haut en bas et repère la première ligne dont la valeur atteint \(22\,000\) €. La justification attendue tient en deux lignes : la valeur du rang précédent est insuffisante, celle-ci convient.

💡 Deux réflexes. D'abord, convertis le rang en année avec \(2025+n\) — la question porte sur l'année. Ensuite, les valeurs du tableur sont arrondies à l'euro : ici l'écart au seuil est largement supérieur à \(1\) €, l'arrondi ne peut donc pas fausser la lecture, mais c'est le genre de détail qu'il faut avoir en tête quand la valeur frôle le seuil.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

Épreuve anticipée de mathématiques Métropole
12 juin 2026 - Candidats n'ayant pas suivi la spécialité

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (8 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (8 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (8 points) — Partie C

Méthodes de cours

A. 0,5	B. 1
C. 1,5	D. 2

Épreuve anticipée de mathématiques Métropole12 juin 2026 - Candidats n'ayant pas suivi la spécialité

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 1 (6 points)

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Exercice 2 (8 points) — Partie A

Méthodes de cours

Exercice 2 (8 points) — Partie B

Méthodes de cours

Exercice 2 (8 points) — Partie C

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