Guide de résolution — EAM Antilles-Guyane Spécialité 11 septembre 2026

Automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Question 1. On considère deux réels quelconques \(a\) et \(b\) ainsi que le réel \(E\) défini par

\[E = -(a-b) + a - b.\]

On peut affirmer que :

\(E=0\)
\(E=2a\)
\(E=2b\)
\(E=-2b\)

Question 2. On note \(S\) l'ensemble des solutions de l'équation \(x^2=6\) dans \(\mathbb{R}\).

On peut affirmer que :

\(S = \{-\sqrt{3}\,;\sqrt{3}\}\)
\(S = \{-3\,;3\}\)
\(S = \varnothing\)
\(S = \{-\sqrt{6}\,;\sqrt{6}\}\)

Question 3. Une expression développée de \((3x-5)^2\) est :

\(9x^2+25\)
\(9x^2-25\)
\(3x^2-30x+25\)
\(9x^2-30x+25\)

Question 4. On a représenté ci-contre une droite dans un repère orthonormé. Une équation de cette droite est :

\(y = -\dfrac{1}{2}x+3\)
\(y = -2x+3\)
\(y = -6x+3\)
\(y = \dfrac{3}{6}x+3\)

Question 5. La moitié de \(2^{10}\) est égale à :

\(1^{10}\)
\(2^5\)
\(2^9\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\)

Question 6. On considère la formule \(a = \dfrac{1}{2}bx^2\), où \(a\), \(b\), et \(x\) sont des réels strictement positifs.

On peut affirmer que :

\(x = \sqrt{\dfrac{a}{2b}}\)
\(x = \sqrt{\dfrac{2a}{b}}\)
\(x = \dfrac{2a^2}{b}\)
\(x = \dfrac{\sqrt{a}}{2b}\)

Question 7. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2x-6)(-x+1)\).

Le tableau de signes sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) est :

\(f(x)>0\) sur \(]-\infty\,;-1[\), \(f(x)<0\) sur \(]-1\,;3[\), \(f(x)>0\) sur \(]3\,;+\infty[\) (racines \(-1\) et \(3\))
\(f(x)>0\) sur \(]-\infty\,;1[\), \(f(x)<0\) sur \(]1\,;3[\), \(f(x)>0\) sur \(]3\,;+\infty[\) (racines \(1\) et \(3\))
\(f(x)<0\) sur \(]-\infty\,;1[\), \(f(x)>0\) sur \(]1\,;3[\), \(f(x)<0\) sur \(]3\,;+\infty[\) (racines \(1\) et \(3\))
\(f(x)<0\) sur \(]-\infty\,;-3[\), \(f(x)>0\) sur \(]-3\,;1[\), \(f(x)<0\) sur \(]1\,;+\infty[\) (racines \(-3\) et \(1\))

Question 8. Un prix baisse de \(20\,\%\) puis encore de \(30\,\%\).

Ces deux baisses sont équivalentes à une baisse de :

\(44\,\%\)
\(50\,\%\)
\(56\,\%\)
\(60\,\%\)

Méthodes de cours

Développe d'abord \(-(a-b)\), puis regroupe les termes en \(a\) entre eux et les termes en \(b\) entre eux.

💡 Attention au signe : \(-(a-b) = -a+b\), pas \(-a-b\).

Pour \(k>0\), l'équation \(x^2=k\) admet exactement deux solutions opposées : \(x=\sqrt{k}\) et \(x=-\sqrt{k}\).

💡 Ne confonds pas \(\sqrt{6}\) avec \(\sqrt{3}\) ou avec \(3\) : seule la racine carrée du nombre qui apparaît réellement dans l'équation est correcte.

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]

💡 N'oublie pas d'élever \(3x\) au carré (donc \(9x^2\)) et de calculer le double produit \(2\times 3x\times 5\).

L'ordonnée à l'origine \(b\) se lit où la droite coupe l'axe des ordonnées ; le coefficient directeur \(a\) se retrouve avec un second point.

💡 Deux propositions partagent la même valeur numérique pour le coefficient directeur, écrite différemment (\(\dfrac{3}{6}\) et une autre écriture) : réduis chaque fraction avant de comparer.

Diviser par \(2\) revient à diviser l'exposant... non : revient à soustraire \(1\) à l'exposant, car \(2 = 2^1\) : \(\dfrac{2^{10}}{2^1}=2^{10-1}\).

Isole d'abord \(x^2\) en multipliant les deux membres par \(2\) et en divisant par \(b\), puis prends la racine carrée (les trois réels sont strictement positifs, donc \(x>0\)).

💡 Prends bien la racine carrée de toute l'expression \(\dfrac{2a}{b}\), pas seulement d'une partie.

Étudie le signe de chaque facteur séparément, puis applique la règle des signes d'un produit. Le coefficient de \(x^2\) dans le développement de \(f\) donne le signe « aux extrémités ».

💡 Repère d'abord les deux racines exactes de \(f\) (là où chaque facteur s'annule) avant de regarder les quatre propositions : deux d'entre elles utilisent de mauvaises racines.

Le coefficient global de deux baisses successives est le produit des deux coefficients multiplicateurs, pas leur somme.

💡 \(20\,\%+30\,\%=50\,\%\) n'est pas la bonne méthode : calcule \(0,8\times 0,7\) puis compare le résultat à \(1\).

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = x^2+2x-3.\]

La courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal se note \(\mathcal{P}\).

La courbe \(\mathcal{P}\) est une parabole. Déterminer les coordonnées de son sommet.
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[g(x) = x^2+x-6.\]
1. Justifier que \(-3\) et \(2\) sont racines de la fonction \(g\).
2. Déterminer le tableau de signes de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[h(x) = x+3.\]
La courbe représentative de la fonction \(h\) se note \(\mathcal{D}\).

Vérifier que pour tout réel \(x\), on a \(f(x) - h(x) = g(x)\).
En déduire la position relative des courbes \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{D}\).
On déterminera les coordonnées des éventuels points d'intersection.
Réaliser un schéma donnant l'allure des courbes \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{D}\) sur lequel figureront les résultats établis à la question 1. et à la question 4..

Méthodes de cours

Pour \(f(x)=ax^2+bx+c\), l'abscisse du sommet de la parabole est \(x_S=-\dfrac{b}{2a}\). L'ordonnée s'obtient en calculant \(f(x_S)\).

Un nombre \(r\) est racine de \(g\) si et seulement si \(g(r)=0\). Calcule simplement \(g(-3)\) et \(g(2)\).

Le signe d'une fonction du second degré, à l'extérieur de ses racines, est celui de son coefficient dominant \(a\) ; entre les racines, c'est le signe opposé.

💡 Ici \(a=1>0\) : la parabole est tournée vers le haut, donc \(g\) est positive « à l'extérieur » des racines \(-3\) et \(2\), négative entre les deux.

Développe \(f(x)-h(x)\) en remplaçant \(f\) et \(h\) par leurs expressions, réduis, et compare le résultat à \(g(x)\).

Étudier la position relative de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{D}\) revient à étudier le signe de \(f(x)-h(x)\), c'est-à-dire celui de \(g(x)\), déjà établi à la question 2.b. Les points d'intersection correspondent aux annulations de \(g\).

💡 \(\mathcal{P}\) est au-dessus de \(\mathcal{D}\) là où \(f(x)-h(x)>0\), et en dessous là où \(f(x)-h(x)<0\) : réutilise directement le tableau de signes de \(g\), ne le refais pas.

Place d'abord le sommet de \(\mathcal{P}\) (question 1) et les points d'intersection (question 4), puis trace une parabole tournée vers le haut passant par ces points, et une droite passant par les deux points d'intersection.

Exercice 3 (5 points)

Une société de transport possède deux types de véhicules : des fourgons et des camions. Certains véhicules sont en bon état, les autres sont en mauvais état.

On sait que :

\(60\,\%\) des véhicules sont des fourgons, et parmi eux, \(50\,\%\) sont en bon état ;
\(40\,\%\) des véhicules sont des camions.

On sait par ailleurs que \(66\,\%\) de l'ensemble des véhicules sont en bon état.

Un véhicule est choisi au hasard. On considère les évènements :

\(F\) : « le véhicule est un fourgon » ;
\(B\) : « le véhicule est en bon état ».

La probabilité de l'évènement \(B\) sachant que l'évènement \(\overline{F}\) est réalisé est notée \(x\), où \(x\) est un réel.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
Montrer que la probabilité que le véhicule choisi soit un fourgon en bon état est égale à \(0,3\).
On sait que le véhicule choisi est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un fourgon. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Montrer que le réel \(x\) est solution de l'équation \(0,4x+0,3=0,66\).
Résoudre l'équation et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Méthodes de cours

La somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut toujours \(1\).

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin : \(P(F\cap B)=P(F)\times P_F(B)\).

On cherche \(P_B(F)=\dfrac{P(F\cap B)}{P(B)}\).

💡 Ne confonds pas \(P_B(F)\) (cherché) avec \(P_F(B)\) (donné dans l'énoncé) : simplifie la fraction obtenue jusqu'à la forme irréductible.

\(F\) et \(\overline{F}\) forment une partition de l'univers : \(P(B) = P(F\cap B) + P(\overline{F}\cap B)\), avec \(P(\overline{F}\cap B) = P(\overline{F})\times x\).

💡 C'est un « montrer que » : l'équation obtenue doit correspondre exactement à celle de l'énoncé. Si ce n'est pas le cas, vérifie la valeur de \(P(\overline{F})\) utilisée.

Résous l'équation comme une équation du premier degré ordinaire, puis relie la valeur trouvée de \(x\) à sa signification dans l'énoncé (une probabilité conditionnelle).

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.
Les deux questions sont indépendantes.

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x\mathrm{e}^x\).
On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l'intervalle \([0\,;+\infty[\).

Affirmation : la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \([0\,;+\infty[\).
On considère la suite arithmétique \((u_n)\) telle que \(u_2=50\) et \(u_6=51\).
Affirmation : on a \(u_{26}=56\).

Méthodes de cours

\(f\) est un produit \(u\times v\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\mathrm{e}^x\). Utilise \((uv)'=u'v+uv'\), en te souvenant que la dérivée de \(x\mapsto\mathrm{e}^x\) est elle-même.

💡 Après avoir calculé \(f'(x)\), factorise-la pour en étudier le signe facilement : sur \([0\,;+\infty[\), chacun des facteurs obtenus a un signe simple à déterminer.

Dans une suite arithmétique de raison \(r\), on a \(u_6=u_2+4r\) (quatre « pas » de raison \(r\) séparent les rangs \(2\) et \(6\)). Utilise cette relation pour déterminer \(r\), puis la même logique pour atteindre le rang \(26\).

💡 Compte soigneusement le nombre de « pas » entre deux rangs (par exemple, du rang \(2\) au rang \(26\), il y a \(24\) pas, pas \(26\)) : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

EAM Antilles-Guyane (spécialistes)Session de remplacement 2026

Automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 4 (4 points)

Méthodes de cours

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