Comment utiliser ce guide : pour chaque question, lis l'énoncé complet, puis déroule
progressivement les blocs Méthode, Rappel de cours et Astuce. Ils te donnent la
stratégie et les outils à mobiliser, sans la solution. Essaie de rédiger
toi-même avant de consulter le corrigé.
Première partie : Automatismes — QCM
6 points · 12 questions
Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
Question 1
On veut comparer deux nombres réels notés \(A\) et \(B\). On sait que la différence \(A-B\) est strictement positive. Alors :
a. \(A < B\) b. \(A > B\) c. \(A=B\) d. On ne peut pas savoir.
Comparer par la différence
Comparer deux réels revient à étudier le signe de leur différence : \(A-B>0 \iff A>B\).
Question 2
On considère le nombre : \(C=\dfrac{1}{2}+3\times\dfrac{5}{6}\). On a :
a. \(C=2\) b. \(C=\dfrac{35}{12}\) c. \(C=\dfrac{31}{2}\) d. \(C=3\)
Priorités opératoires
La multiplication s'effectue avant l'addition : calcule d'abord \(3\times\dfrac{5}{6}\), simplifie, puis ajoute \(\dfrac{1}{2}\) au même dénominateur.
Question 3
On considère le nombre : \(D=3\times 2^5\times 2^3\). On a :
a. \(D=3\times 2^8\) b. \(D=6^8\) c. \(D=3\times 2^{15}\) d. \(D=7^8\)
Puissances de même base
\(a^m\times a^n=a^{m+n}\). On regroupe uniquement les puissances de 2 ; le facteur 3 reste inchangé.
Question 4
On considère le nombre : \(E=999\times 1001\). Un ordre de grandeur de \(E\) est :
a. \(1000\) b. \(10\,000\) c. \(100\,000\) d. \(1\,000\,000\)
Ordre de grandeur
Remplace chaque facteur par la puissance de 10 la plus proche : \(999\approx 10^3\) et \(1001\approx 10^3\), puis multiplie.
Question 5
Quand on développe \((x+2)^2\), on obtient :
a. \(x^2+4x+4\) b. \(2x+4\) c. \(x^2+4\) d. \(x^2-4\)
Identité remarquable
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), avec ici \(a=x\) et \(b=2\).
Question 6
L'équation \(3x-5=x+3\) a pour solution :
a. \(x=-4\) b. \(x=8\) c. \(x=6\) d. \(x=4\)
Équation du premier degré
Regroupe les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre, puis isole \(x\).
Question 7
Dans une boîte de 60 chocolats, \(40\,\%\) sont des chocolats au lait. Combien y a-t-il de chocolats au lait dans la boîte ?
a. \(20\) b. \(24\) c. \(25\) d. \(40\)
Pourcentage d'une quantité
\(40\,\%\) de \(60\) s'écrit \(\dfrac{40}{100}\times 60\).
Question 8
Le taux d'évolution équivalent à une baisse de \(10\,\%\) suivie d'une baisse de \(20\,\%\) est :
a. \(-38\,\%\) b. \(-30\,\%\) c. \(-28\,\%\) d. \(-18\,\%\)
Évolutions successives
Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients : \((1-0{,}10)\times(1-0{,}20)\). Convertis ensuite le coefficient obtenu en taux d'évolution.
Astuce
Les pourcentages d'évolutions successives ne s'additionnent pas !
Question 9
Une droite est représentée ci-contre. L'équation réduite de cette droite est :
a. \(y=-2x+3\) b. \(y=3x+1{,}5\) c. \(y=-0{,}5x+3\) d. \(y=-2x+1{,}5\)
Lire une droite
\(y=ax+b\). Lis l'ordonnée à l'origine \(b\) (intersection avec l'axe des ordonnées), puis le coefficient directeur \(a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) entre deux points repérables.
Question 10
En physique, l'énergie cinétique d'un véhicule est donnée par la formule : \[E=\dfrac{1}{2}mv^2\] où \(m\) représente la masse du véhicule et \(v\) sa vitesse. On souhaite exprimer \(v\) en fonction de \(E\) et \(m\). Une expression de \(v\) est :
a. \(v=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}\) b. \(v=\dfrac{2E}{m}\) c. \(v=\sqrt{E-\dfrac{1}{2}m}\) d. \(v=\sqrt{2mE}\)
Isoler une variable
Multiplie par 2, divise par \(m\) pour obtenir \(v^2\), puis prends la racine carrée (\(v\geqslant 0\)).
Question 11
Une fonction \(h\) définie sur \([-3\,;4]\) est représentée ci-contre. L'équation \(h(x)=2\) a pour ensemble solution :
a. \(\mathcal{S}=\{2\}\) b. \(\mathcal{S}=\{-2\,;2\,;3\}\) c. \(\mathcal{S}=[-2\,;3]\) d. \(\mathcal{S}=\{-0{,}5\,;0{,}5\}\)
Résolution graphique
Trace la droite horizontale \(y=2\) (en pointillés sur la figure) et lis les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
Question 12
Un élève a obtenu une série de trois notes \(9\,;11\,;13\) en mathématiques. Il a déterminé la moyenne et la médiane de cette série. Il a obtenu deux nouvelles notes : 10 et 17 et obtient ainsi une nouvelle série de notes : \(9\,;10\,;11\,;13\,;17\). Laquelle des quatre propositions est vraie ?
a. Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont égales.
b. Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.
c. Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.
d. Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.
b. Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.
c. Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.
d. Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.
Moyenne et médiane
Moyenne = somme \(\div\) effectif. Médiane = valeur centrale après tri (effectif impair). Calcule les deux indicateurs pour chacune des séries, puis compare-les.
Exercice 1
5 points
En juin 2019, une population de 200 marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l'évolution de cette population en fonction du temps.
Il constate qu'entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de 20 individus.
Il constate qu'entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de 20 individus.
Partie A : Premier modèle
Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de 20 individus tous les ans. On note alors \(u_n\) la population de marmottes que l'on peut estimer à l'aide de ce modèle en juin \(2019+n\). On a donc \(u_0=200\).
Question 1
Quelle est la nature de la suite \((u_n)\) ? Préciser sa raison.
Augmentation constante
Ajouter le même nombre chaque année caractérise une suite arithmétique de raison \(r\).
Question 2
À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
Terme général arithmétique
\(u_n=u_0+n\,r\). Détermine \(n\) correspondant à 2025 (l'année est \(2019+n\)), puis calcule.
Question 3
En juin 2025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de 355 individus. Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?
Astuce
Compare la prévision du modèle à la valeur réelle (355) : l'écart est-il négligeable ?
Partie B : Second modèle
Question 1
On rappelle que la population de marmottes était de 200 individus en juin 2019 et de 220 individus en juin 2020. De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?
Taux d'évolution
\(t=\dfrac{V_{\text{arrivée}}-V_{\text{départ}}}{V_{\text{départ}}}\), à convertir en pourcentage.
Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin \(2019+n\) par \(v_n\) tel que, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=1{,}1\times v_n\).
Question 2 — a. / b.
a. Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ? Préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Suite géométrique
\(v_{n+1}=q\,v_n\) avec \(q\) constant : suite géométrique. Terme général : \(v_n=v_0\times q^{\,n}\).
Question 3
On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite \((v_n)\).
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(n\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | \(v(n)\) | 200 | 220 | 242 | 266 | 293 | 322 | 354 | 390 | 429 | 472 | 519 |
a. Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
b. En utilisant la donnée fournie dans la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?
c. Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé 400 individus, selon ce modèle ?
Lire le tableur
Pour a., repère la colonne où \(n\) correspond à 2025 et lis \(v(n)\). Pour c., parcours la ligne \(v(n)\) et trouve le premier rang \(n\) où la valeur dépasse 400, puis convertis en année (\(2019+n\)).
Astuce
Pour b., compare la valeur du tableur en 2025 à la valeur réelle observée (355).
Exercice 2
5 points
Les 200 adhérents d'une salle de sport ne pratiquent qu'une seule activité parmi les deux activités suivantes : le step et le crossfit. La répartition des adhérents est donnée dans le tableau suivant.
| Step | Crossfit | Total | |
|---|---|---|---|
| Homme | 20 | 80 | 100 |
| Femme | 60 | 40 | 100 |
| Total | 80 | 120 | 200 |
On choisit un adhérent au hasard parmi les 200 adhérents. On considère les événements suivants :
- \(F\) : « l'adhérent est une femme » ;
- \(H\) : « l'adhérent est un homme » ;
- \(S\) : « l'adhérent pratique le step » ;
- \(C\) : « l'adhérent pratique le crossfit ».
Question 1
Déterminer la probabilité \(P(F)\) de l'événement \(F\).
Probabilité (équiprobabilité)
\(P(F)=\dfrac{\text{effectif de }F}{\text{effectif total}}\).
Question 2
Déterminer la probabilité que l'adhérent soit un homme qui pratique le step.
Intersection
On cherche \(P(H\cap S)\) : utilise l'effectif de la case « Homme / Step » divisé par 200.
Question 3
Déterminer la probabilité de l'événement \(F\cap S\).
Astuce
Lis directement l'effectif de la case « Femme / Step ».
Question 4
Les événements \(F\) et \(S\) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
Critère d'indépendance
\(F\) et \(S\) sont indépendants si et seulement si \(P(F\cap S)=P(F)\times P(S)\). Compare les deux quantités.
Question 5
On choisit au hasard une femme parmi les adhérents. Quelle est la probabilité qu'elle pratique le crossfit ?
Probabilité conditionnelle
On se restreint aux femmes : \(P_F(C)=\dfrac{\text{femmes pratiquant le crossfit}}{\text{nombre de femmes}}\).
Question 6
Déterminer la probabilité \(P_C(F)\).
Conditionnement inverse
Cette fois on se restreint aux pratiquants de crossfit : \(P_C(F)=\dfrac{\text{femmes en crossfit}}{\text{total crossfit}}\).
Exercice 3
4 points
On considère ci-dessous la représentation graphique d'une fonction \(f\) définie sur \([-2\,;4]\). On a également tracé sa tangente au point A d'abscisse \(-1\).
Question 1 — a. / b.
Par lecture graphique, donner la valeur de :
a. \(f(3)\)
b. \(f'(-1)\)
a. \(f(3)\)
b. \(f'(-1)\)
Lire valeur et nombre dérivé
\(f(3)\) se lit comme l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 3. \(f'(-1)\) est le coefficient directeur de la tangente tracée en A : lis-le à l'aide de deux points de cette droite.
Question 2 — a.
On admet que la fonction \(f\) est définie sur \([-2\,;4]\) par \(f(x)=-x^2+2x+8\).
Calculer \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à \([-2\,;4]\).
Calculer \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à \([-2\,;4]\).
Dérivée d'un polynôme
\((x^2)'=2x\), \((x)'=1\), \((\text{constante})'=0\). Dérive terme à terme.
Question 2 — b.
Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([-2\,;4]\).
Signe d'une expression affine
\(f'\) est affine : détermine la valeur qui l'annule, puis son signe de part et d'autre, en restant dans \([-2\,;4]\).
Question 3
Donner les variations de \(f\) sur \([-2\,;4]\).
Du signe de \(f'\) aux variations
Là où \(f'>0\), \(f\) croît ; là où \(f'<0\), \(f\) décroît. Dresse le tableau de variations en calculant les valeurs aux bornes et à l'extremum.