Guide de résolution — EAM Centres étrangers 8 juin 2026

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Question 1 On considère \(A=4-2\times\dfrac{1}{3}\). On a :

a. \(A=\dfrac{2}{3}\)

b. \(A=\dfrac{10}{3}\)

c. \(A=\dfrac{4}{3}\)

d. \(A=\dfrac{11}{3}\)

Question 2 On considère \(B=2\times 5^{2}+3\). On a :

a. \(B=103\)

b. \(B=53\)

c. \(B=97\)

d. \(B=23\)

Question 3 \(25\,\%\) de 250 est égal à :

a. \(62,5\)

b. 125

c. 50

d. 225

Question 4

Un article coûtant 300 € subit une baisse de \(15\,\%\).

Pour obtenir le prix de cet article après la baisse, il faut faire le calcul :

a. \(300-0,15\)

b. \(300\times 0,85\)

c. \(300\times 1,15\)

d. \(300\times 0,15\)

Question 5

Dans un repère du plan, on a représenté la droite (AB).

L'équation réduite de la droite (AB) est :

a. \(y=4x+2\)	b. \(y=-2x+2\)
c. \(y=2x+4\)	d. \(y=-0,5x+2\)

Question 6 La valeur de l'expression \(2x^{2}-3x-4\) pour \(x=-1\) est :

a. \(-9\)

b. \(-3\)

c. \(-5\)

d. 1

Méthodes de cours

La multiplication passe avant la soustraction : on calcule d'abord \(2\times\dfrac{1}{3}\), en se rappelant que \(k\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{b}\).

Pour soustraire ensuite, il faut un dénominateur commun : réécris l'entier sous forme de fraction de dénominateur 3.

💡 Le piège est de calculer \((4-2)\times\dfrac{1}{3}\), ce qui reviendrait à ajouter des parenthèses qui n'existent pas. Vérifie l'ordre de grandeur : on retire un peu moins de 1 à 4, le résultat doit donc être un peu plus grand que 3.

L'ordre des priorités est toujours le même : les puissances d'abord, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.

💡 \(2\times 5^{2}\) n'est pas \((2\times 5)^{2}\) : l'exposant ne porte que sur le 5. Les propositions du QCM sont justement construites sur cette confusion et sur l'oubli du carré.

Prendre \(p\,\%\) d'un nombre \(N\), c'est calculer \(N\times\dfrac{p}{100}\). Avec \(25\,\%\), le plus rapide est de reconnaître un quart et de diviser par 4.

💡 Ne confonds pas « \(25\,\%\) de 250 » avec « 250 diminué de \(25\,\%\) » : la première expression donne une part, la seconde un reste. Une des propositions est précisément ce reste.

Appliquer une baisse de \(t\,\%\), c'est multiplier par le coefficient multiplicateur

\[\mathrm{CM}=1-\dfrac{t}{100}.\]

La question ne demande pas le prix final, seulement le calcul qui y conduit.

💡 Trois pièges dans les propositions : soustraire un taux à un prix n'a aucun sens (on mélange des euros et un nombre sans unité), un coefficient supérieur à 1 correspondrait à une hausse, et multiplier par \(0,15\) donnerait le montant de la remise, pas le prix payé.

Dans \(y=mx+p\), \(p\) est l'ordonnée à l'origine et \(m\) le coefficient directeur, que deux points de la droite suffisent à calculer :

\[m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.\]

Ici le point \(\mathrm{A}\) est sur l'axe des ordonnées : son ordonnée te donne \(p\) sans calcul.

💡 Procède par élimination : la droite descend, donc \(m<0\), et elle descend lentement (moins d'un carreau de hauteur perdu par carreau parcouru), donc \(m\) est compris entre \(-1\) et \(0\). Deux propositions tombent tout de suite.

Calculer la valeur d'une expression pour \(x=-1\), c'est remplacer chaque \(x\) par \((-1)\) — avec les parenthèses — puis appliquer les priorités.

💡 Double piège de signe : \((-1)^{2}=+1\) (le carré d'un négatif est positif), et \(-3\times(-1)=+3\). Si tu obtiens un résultat négatif, c'est presque sûrement l'un de ces deux signes que tu as manqué.

Première partie : automatismes — QCM (suite)

Question 7 L'expression \((x-4)^{2}\) est égale à :

a. \(x^{2}-8x+16\)	b. \(x^{2}+8x+16\)
c. \(x^{2}-8x-16\)	d. \(x^{2}+8x-16\)

Question 8

Voici la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur \([-6 ; 5]\).

L'ensemble \(\mathcal{S}\) des solutions de l'inéquation \(f(x)\geqslant 3\) est :

a. \(\mathcal{S}=[-6 ; -5]\cup[-2 ; 5]\)	b. \(\mathcal{S}=\{-5 ; -2\}\)
c. \(\mathcal{S}=[-5 ; -2]\)	d. \(\mathcal{S}=\{-3\}\)

Question 9 L'ensemble \(\mathcal{S}\) des solutions de l'équation \((2x+4)(-3x-9)=0\) est :

a. \(\mathcal{S}=\{-5\}\)

b. \(\mathcal{S}=\{-4 ; 9\}\)

c. \(\mathcal{S}=\{-2 ; 3\}\)

d. \(\mathcal{S}=\{-3 ; -2\}\)

Question 10 Soit la formule \(F=G\times\dfrac{m_{1}\times m_{2}}{R^{2}}\). On a :

a. \(m_{1}=\dfrac{F\times G}{R^{2}\times m_{2}}\)	b. \(m_{1}=\dfrac{F\times R^{2}}{G\times m_{2}}\)
c. \(m_{1}=\sqrt{\dfrac{G\times R^{2}}{F\times m_{2}}}\)	d. \(m_{1}=F\times R^{2}\times G\times m_{2}\)

Pour les questions 11 et 12, \(A\) et \(B\) sont deux événements et on considère l'arbre pondéré suivant :

Question 11 On a :

a. \(P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,3\)

b. \(P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,48\)

c. \(P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,8\)

d. \(P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,6\)

Question 12 On a :

a. \(P_{A}\left(\overline{B}\right)=0,3\)

b. \(P_{A}\left(\overline{B}\right)=0,2\)

c. \(P_{A}\left(\overline{B}\right)=0,14\)

d. \(P_{A}\left(\overline{B}\right)=0,7\)

Méthodes de cours

L'identité remarquable à mobiliser :

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.\]

Identifie \(a\) et \(b\), puis écris les trois termes dans l'ordre.

💡 Le dernier terme est un carré : il est toujours positif, même si \(b\) est soustrait. Seul le double produit central porte le signe moins. En cas de doute, teste avec \(x=0\) : l'expression de départ et ton développement doivent donner le même nombre.

Trace mentalement la droite horizontale d'équation \(y=3\). Les solutions de \(f(x)\geqslant 3\) sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus ou sur cette droite.

💡 Une inéquation a pour solutions un ou plusieurs intervalles (crochets), pas une liste de valeurs isolées : l'ensemble en accolades correspondrait à l'équation \(f(x)=3\). Repère les deux abscisses où la courbe coupe la droite, puis vérifie de quel côté elle passe entre les deux, et ce qu'elle fait aux bornes \(-6\) et \(5\).

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : tu résous donc deux équations du premier degré indépendantes.

💡 Attention au second facteur, dont le coefficient est négatif : \(-3x-9=0\) équivaut à \(-3x=9\), et diviser par \(-3\) change le signe. Réinjecte tes deux valeurs dans le produit de départ, chacune doit annuler l'un des facteurs.

On traite la formule comme une équation d'inconnue \(m_{1}\) : on remonte \(R^{2}\) par produit en croix, puis on divise par tout ce qui multiplie encore \(m_{1}\).

Règle utile : ce qui divise d'un côté multiplie de l'autre, et réciproquement.

💡 Aucune racine carrée ici : \(R^{2}\) est une donnée de la formule, ce n'est pas l'inconnue qu'on cherche. Contrôle final : place ta réponse dans la formule de départ, tu dois retomber sur \(F\).

Les probabilités inscrites sur les branches du second niveau sont des probabilités conditionnelles : la branche allant de \(A\) vers \(B\) porte \(P_{A}(B)\). Et la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.

💡 L'une des deux questions se lit directement sur une branche déjà chiffrée, l'autre demande de compléter le nœud par différence. Surtout, ne multiplie pas les branches d'un chemin : cela donnerait une probabilité d'intersection — les propositions \(0,48\) et \(0,14\) sont exactement ces produits, placés là pour piéger.

Exercice 1 (5 points)

Une compagnie aérienne mène une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Les deux questions posées lors de cette enquête sont les suivantes :

« Avez-vous acheté votre billet d'avion en agence de voyage ou par internet ? »
« Êtes-vous satisfait des services proposés par notre compagnie ? ».

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

	Billet acheté par internet	Billet acheté en agence	Total
Satisfait	720	180	900
Pas satisfait	80	20	100
Total	800	200	\(1\,000\)

On choisit au hasard un client ayant répondu aux deux questions.

On considère les deux événements suivants :

\(S\) : « Le client est satisfait » ;
\(I\) : « Le client a acheté son billet par internet ».

Calculer la probabilité qu'un client soit satisfait.
Calculer la probabilité de l'événement \(S\cap I\).
Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.
Calculer \(P_{S}(I)\).
Les deux événements \(I\) et \(S\) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
Le service marketing de la compagnie aérienne affirme que \(90\,\%\) des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits.
Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

Méthodes de cours

Le client est choisi au hasard : toutes les issues sont équiprobables, donc

\[P(E)=\dfrac{\text{effectif de }E}{\text{effectif total}}.\]

💡 Un événement qui ne porte que sur un seul critère se lit dans une marge du tableau (un total de ligne ou de colonne), jamais dans une case intérieure. Le dénominateur, lui, est l'effectif total de l'enquête.

\(S\cap I\) est l'événement « le client est satisfait et a acheté son billet par internet » : son effectif se lit dans la case croisant la ligne et la colonne concernées.

💡 La phrase d'interprétation est notée : elle doit contenir le « et », la population de référence (l'ensemble des clients interrogés) et de préférence une conversion en pourcentage. Une valeur seule ne suffit pas.

Conditionner, c'est restreindre la population de référence :

\[P_{S}(I)=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)}=\dfrac{\text{effectif de }S\cap I}{\text{effectif de }S}.\]

Avec un tableau d'effectifs, la seconde écriture est la plus directe.

💡 L'indice indique la condition, donc le dénominateur : ici on ne divise plus par l'effectif total mais par celui des clients satisfaits. C'est exactement ce qui distingue cette question de la précédente.

Le critère du cours, à appliquer tel quel :

\[I \text{ et } S \text{ indépendants} \iff P(I\cap S)=P(I)\times P(S).\]

Tu calcules donc le produit d'un côté, tu reprends la valeur de la question 2 de l'autre, et tu compares.

💡 Ne réponds pas au réflexe : on s'attend presque toujours à une dépendance, et la réponse n'est pas celle-là ici. Fais le calcul, écris les deux membres, puis conclus — une autre caractérisation valable est de comparer \(P_{S}(I)\) à \(P(I)\).

L'affirmation porte sur les clients ayant acheté en agence : c'est encore une probabilité conditionnelle, dont le dénominateur est le total de la colonne « agence ». Tu la calcules, tu la convertis en pourcentage et tu la compares aux \(90\,\%\) annoncés.

💡 Ne divise pas par l'effectif total : ce serait répondre à « quelle part des clients sont à la fois satisfaits et venus d'une agence », une tout autre question. Termine par une phrase qui valide ou invalide explicitement l'affirmation du service marketing.

Exercice 2 (4 points)

Soit la fonction \(f\) définie et dérivable sur \([0 ; 10]\) par :

\[f(x)=-x^{3}+4,5\,x^{2}-6x+2\]

Calculer l'expression de la dérivée \(f'\) en fonction de \(x\).
Vérifier que, pour \(x\) appartenant à \([0 ; 10]\),
\[f'(x)=(3x-6)(1-x)\]
Étudier le signe de \(f'(x)\) pour \(x\) appartenant à \([0 ; 10]\).
En déduire les variations de \(f\) sur \([0 ; 10]\).
Les valeurs des éventuels maximums et minimums ne sont pas demandées.

Méthodes de cours

Les formules du cours, appliquées terme à terme grâce à la linéarité de la dérivation :

\[\left(x^{3}\right)'=3x^{2},\qquad \left(x^{2}\right)'=2x,\qquad (kx)'=k,\qquad (c)'=0.\]

💡 Chaque coefficient se conserve et se multiplie par l'exposant : le \(-1\) devant \(x^{3}\) et le \(4,5\) devant \(x^{2}\) ne disparaissent pas. Attention aussi au terme constant, dont la dérivée est nulle et non \(2\).

Quand l'énoncé te donne la forme factorisée, ne cherche jamais à factoriser toi-même : développe la forme proposée et montre qu'elle redonne, terme pour terme, l'expression trouvée à la question 1. C'est plus rapide et sans risque.

💡 Développe soigneusement les quatre produits et surveille les signes de \((1-x)\). Et rédige la conclusion : « les deux expressions sont égales, donc \(f'(x)=(3x-6)(1-x)\) » — sans cette phrase, la vérification n'est pas terminée.

C'est tout l'intérêt de la forme factorisée : on étudie le signe de chaque facteur séparément (une fonction affine s'annule en une valeur et prend ensuite le signe de son coefficient directeur), puis on applique la règle des signes dans un tableau.

💡 Les deux facteurs n'ont pas le même sens de variation : \(3x-6\) est croissante, \(1-x\) est décroissante, donc leurs lignes de signes sont inversées. Range bien les deux racines dans l'ordre croissant sur \([0 ; 10]\) — ce n'est pas l'ordre dans lequel elles apparaissent dans l'écriture.

Le théorème : sur un intervalle où \(f'\geqslant 0\), \(f\) est croissante ; où \(f'\leqslant 0\), \(f\) est décroissante. Tu recopies donc la ligne de signes en dessous et tu ajoutes les flèches.

💡 Même si les images ne sont pas demandées, le tableau doit couvrir tout l'intervalle, bornes \(0\) et \(10\) comprises, et faire apparaître les deux valeurs qui annulent \(f'\) — donc trois flèches, pas deux.

Exercice 3 (5 points)

En 2025, dans une ville, le club de basketball comptait 900 adhérents.

On estime que chaque année, le club perd 10 adhérents.

On note \(B_{n}\) le nombre d'adhérents au club de basket l'année \(2025+n\).

Calculer \(B_{1}\) et interpréter le résultat.
Exprimer \(B_{n}\) en fonction de \(n\).
Justifier que le club aura perdu plus de \(10\,\%\) de ses adhérents entre 2025 et 2035.

Dans cette même ville en 2025, le club de handball comptait 200 adhérents.

Pour les années suivantes, on estime que le nombre d'adhérents au club de handball peut être représenté par le graphique suivant :

Par lecture graphique, estimer, avec la précision permise par le graphique, le nombre d'adhérents au club de handball en 2028.
On modélise le nombre d'adhérents au club de handball l'année \(2025+n\) par \(H_{n}\) et on admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(H_{n+1}=1,2\times H_{n}\). Quelle est la nature de la suite \(\left(H_{n}\right)\) ? Préciser son premier terme et sa raison.
À partir de quelle année le nombre d'adhérents au club de handball sera supérieur au nombre d'adhérents au club de basketball ? Justifier la réponse.

Méthodes de cours

« Perdre 10 adhérents chaque année » se traduit par une soustraction constante : \(B_{n+1}=B_{n}-10\). La suite est arithmétique de raison \(-10\).

💡 L'interprétation doit nommer l'année, pas seulement le rang : \(B_{0}\) correspond à 2025, donc \(B_{1}\) à l'année suivante. Et la raison est négative — c'est ce signe qui traduit la perte.

Pour une suite arithmétique de premier terme \(B_{0}\) et de raison \(r\) :

\[B_{n}=B_{0}+n\times r.\]

💡 Avec une raison négative, l'expression obtenue contient un signe moins devant \(n\) : c'est normal, la suite décroît. Vérifie ta formule en \(n=1\), tu dois retrouver la valeur de la question 1.

Deux rédactions possibles, toutes deux acceptées : calculer le nombre d'adhérents perdus entre les deux dates et le comparer à \(10\,\%\) de l'effectif de 2025 ; ou calculer le taux d'évolution

\[t=\dfrac{B_{\text{arrivée}}-B_{\text{départ}}}{B_{\text{départ}}}\]

et vérifier qu'il dépasse \(10\,\%\) en valeur absolue.

💡 Commence par traduire 2035 en rang, comme toujours. Et le pourcentage se calcule sur l'effectif de départ, celui de 2025 : c'est lui la référence, pas celui de 2035.

Tu convertis l'année en nombre d'années depuis 2025 — c'est ce que porte l'axe horizontal — puis tu lis l'ordonnée du point correspondant.

💡 « Avec la précision permise par le graphique » t'autorise une valeur arrondie, lue au demi-carreau près : donne un ordre de grandeur honnête plutôt qu'un nombre faussement précis. Et attention à l'échelle verticale, une graduation principale vaut 100 adhérents.

Une relation du type \(H_{n+1}=q\times H_{n}\) caractérise une suite géométrique de raison \(q\) ; son terme général s'écrit alors \(H_{n}=H_{0}\times q^{\,n}\).

💡 La relation de récurrence ne donne pas le premier terme : il vient du texte, l'effectif du club en 2025. Et ne confonds pas la raison \(1,2\) avec une hausse de \(120\,\%\) : un coefficient multiplicateur de \(1,2\) correspond à \(+20\,\%\) par an.

Il s'agit de trouver le premier rang \(n\) pour lequel \(H_{n}>B_{n}\). Tu disposes de deux outils : les valeurs du graphique pour le handball, et la formule explicite de la question 2 pour le basket. Compare-les rang par rang, en partant d'une zone où les deux courbes sont proches.

💡 Justifie avec les deux rangs qui encadrent le basculement : celui où le handball est encore en dessous, et le premier où il passe au-dessus. Comme une suite décroît et l'autre croît, une fois le dépassement acquis il est définitif. Réponds enfin par une année, pas par un rang.

Comment utiliser ce guide : sélectionne un exercice en haut, lis l'énoncé complet, puis déroule progressivement les méthodes pour découvrir les stratégies sans voir la solution. Essaie de résoudre avant de consulter un corrigé.

EAM Centres étrangers8 juin 2026 — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité

Première partie : automatismes — QCM (6 points)

Méthodes de cours

Première partie : automatismes — QCM (suite)

Méthodes de cours

Exercice 1 (5 points)

Méthodes de cours

Exercice 2 (4 points)

Méthodes de cours

Exercice 3 (5 points)

Méthodes de cours

EAM Centres étrangers
8 juin 2026 — Candidats n'ayant pas suivi la spécialité