f ' (x)
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et Applications

8 exercices progressifs : calcul de dérivées, équation de tangente, tableau de variations et problèmes contextuels.

Première · Spécialité Mathématiques Dérivée · Tangente · Variations CH. 03 & 10 — Dérivation Guide interactif
8
Exercices au programme
3
Niveaux de difficulté
100%
Corrigés détaillés
Première Spécialité · CH. 03 & 10 — Dérivation locale et fonctions dérivées
Travail interactif · CH. 03 & 10

Exercices guidés sur les fonctions dérivées

Sélectionne un exercice. Lis l'énoncé à gauche, déroule les méthodes à droite, puis vérifie avec la correction détaillée.

Choisir un exercice

EXERCICE 1
Dérivées de base — trois fonctions
Calcul · Noté
EXERCICE 2
Formules de dérivation — 4 fonctions
Calcul
EXERCICE 3
Lecture graphique — signe de \(f\) et \(f'\)
Graphique
EXERCICE 4
Polynôme de degré 3 — dérivée, tangente, variations
Difficile
EXERCICE 5
Dérivée d'un produit — variations de \(f\)
Calcul · Noté
EXERCICE 6
Dérivée de fraction, racine, quotient
Difficile
EXERCICE 7
Concentration d'un anesthésiant — modélisation
Contextuel
EXERCICE 8
Fraction rationnelle — domaine, dérivée, tangente
Résolution
EXERCICE 1
Dérivées de base — trois fonctions
Calculer /4 pts · Communiquer /1 pt Polynôme · Produit · Quotient
1
Énoncé

On admet que toutes les fonctions suivantes sont dérivables sur leur domaine. Calculer leurs dérivées.

a)
\(f(x) = -5x + 14\), avec \(x \in \mathbb{R}\).
b)
\(g(x) = (4 + 3x)\,x\), avec \(x \geqslant 0\).
c)
\(h(x) = \dfrac{-x^2 + 3x}{x + 2}\), avec \(x \neq -2\).
Méthodes de cours
\((k)' = 0 \qquad (x^n)' = nx^{n-1} \qquad (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\((u + v)' = u' + v' \qquad (ku)' = ku'\)
\((uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)

Pour toute fonction affine \(f(x) = ax + b\), la dérivée est simplement la pente : \(f'(x) = a\).

💡 La constante \(b\) disparaît à la dérivation.

Deux stratégies possibles :

  • Développer : \(g(x) = 4x + 3x^2\), puis dériver terme à terme.
  • Ou appliquer la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\) directement.
💡 Développer est souvent plus rapide pour un produit simple.

Identifier \(u = -x^2 + 3x\) et \(v = x + 2\), puis appliquer :

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.\]

⚠️ Ne pas oublier de simplifier l'expression obtenue au numérateur.
Correction complète
a) \(f(x) = -5x + 14\)
C'est une fonction affine de pente \(-5\).
\(f'(x) = -5\)
b) \(g(x) = (4 + 3x)x\)
On développe : \(g(x) = 4x + 3x^2\).
On dérive terme à terme : \(g'(x) = 4 + 6x\).
\(g'(x) = 6x + 4\)
c) \(h(x) = \dfrac{-x^2 + 3x}{x+2}\)
\(u(x) = -x^2 + 3x \Rightarrow u'(x) = -2x + 3\).
\(v(x) = x + 2 \Rightarrow v' = 1\).

\[h'(x) = \frac{(-2x+3)(x+2) - (-x^2+3x) \times 1}{(x+2)^2}\] Numérateur : \((-2x+3)(x+2) - (-x^2+3x)\)
\(= -2x^2 - 4x + 3x + 6 + x^2 - 3x\)
\(= -x^2 - 4x + 6\).
\(h'(x) = \dfrac{-x^2 - 4x + 6}{(x+2)^2}\), pour \(x \neq -2\).
Exercice 1 / 8
EXERCICE 2
Formules de dérivation — 4 fonctions à simplifier
Calcul de dérivées · Simplification Racine · Quotient · Produit avec \(\sqrt{x}\)
2
Énoncé

Déterminer l'expression de \(f'(x)\) pour chaque fonction, en simplifiant au maximum.

1.
\(f(x) = 4x^6 - 12x^4 - x^2 + x - 3\), \(\quad D_f = \mathbb{R}\).
2.
\(f(x) = 4x^7 + \sqrt{x} + 5x\), \(\quad D_f = \mathbb{R}_+^*\).
3.
\(f(x) = \dfrac{2x^2 - 5x - 2}{x - 2}\), \(\quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
4.
\(f(x) = (2x + 2)\sqrt{x}\), \(\quad D_f = \mathbb{R}_+\).
Méthodes de cours

Pour un polynôme, on dérive chaque terme : \((x^n)' = nx^{n-1}\).

💡 Attention : \((-3)' = 0\). La constante finale disparaît.

On dérive terme à terme en utilisant \((\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

💡 \(D_f = \mathbb{R}_+^*\) impose \(x > 0\) pour que \(\sqrt{x}\) soit défini et dérivable (\(\sqrt{0}\) n'est pas dérivable).

Avant d'appliquer la règle du quotient, chercher si le numérateur se factorise par \((x-2)\).

\(2x^2 - 5x - 2\) : essayer de diviser par \((x-2)\).

💡 Si la division euclidienne donne un reste nul, la simplification réduit considérablement le calcul.

Poser \(u = 2x+2\) et \(v = \sqrt{x} = x^{1/2}\).

\(u' = 2\), \(v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

💡 Mettre au même dénominateur pour simplifier \(f'(x)\).
Correction complète
1. Polynôme
\(f(x) = 4x^6 - 12x^4 - x^2 + x - 3\)
\(f'(x) = 24x^5 - 48x^3 - 2x + 1\)
2. Avec \(\sqrt{x}\)
\(f(x) = 4x^7 + \sqrt{x} + 5x\)
\(f'(x) = 28x^6 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + 5\), pour \(x > 0\).
3. Quotient — simplification préalable
Division euclidienne : \(2x^2 - 5x - 2 = (x-2)(2x-1) + (-4)\).
Le reste est \(-4 \neq 0\), donc on ne peut pas simplifier. On applique la règle du quotient.
\(u(x) = 2x^2 - 5x - 2\), \(u'(x) = 4x - 5\) ; \(v(x) = x - 2\), \(v'(x) = 1\).
\[f'(x) = \frac{(4x-5)(x-2) - (2x^2-5x-2) \times 1}{(x-2)^2}\] Numérateur : \(4x^2 - 8x - 5x + 10 - 2x^2 + 5x + 2 = 2x^2 - 8x + 12\).
\(f'(x) = \dfrac{2x^2 - 8x + 12}{(x-2)^2} = \dfrac{2(x^2 - 4x + 6)}{(x-2)^2}\), pour \(x \neq 2\).
4. Produit avec \(\sqrt{x}\)
\(u(x) = 2x+2\), \(u'(x) = 2\) ; \(v(x) = \sqrt{x}\), \(v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
\(f'(x) = 2\sqrt{x} + (2x+2) \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + \dfrac{x+1}{\sqrt{x}}\).
Mise au même dénominateur \(\sqrt{x}\) : \(f'(x) = \dfrac{2x + x + 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{3x+1}{\sqrt{x}}\).
\(f'(x) = \dfrac{3x + 1}{\sqrt{x}}\), pour \(x > 0\).
Exercice 2 / 8
EXERCICE 3
Lecture graphique — signe de \(f\) et de \(f'\)
Graphique · Interprétation Justification requise
3
Énoncé

On considère une fonction \(f\) définie sur \([-2\,;\,2]\) dont la courbe représentative est donnée par le graphique ci-dessous.

a)
Déterminer un intervalle sur lequel : \(f(x) > 0\) et \(f'(x) < 0\).
b)
Déterminer un intervalle sur lequel : \(f(x) < 0\) et \(f'(x) < 0\).
Méthodes de cours

\(f(x) > 0\) : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

\(f(x) < 0\) : la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses.

\(f'(x) > 0\) signifie que \(f\) est croissante : la courbe monte de gauche à droite.

\(f'(x) < 0\) signifie que \(f\) est décroissante : la courbe descend de gauche à droite.

💡 Mémo : la dérivée est le coefficient directeur de la tangente. Si la tangente penche vers le bas, \(f' < 0\).

Chercher une zone du graphique qui satisfait simultanément les deux conditions.

  • a) Trouver un intervalle où la courbe est au-dessus de l'axe ET descend.
  • b) Trouver un intervalle où la courbe est en-dessous de l'axe ET descend.
Correction — méthodologie générale
a) \(f(x) > 0\) et \(f'(x) < 0\)
On cherche un intervalle sur lequel la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (donc \(f > 0\)) et décroissante (donc \(f' < 0\)).

\(f(x) > 0\) et \(f'(x) < 0\) sur l'intervalle \(]-1; 0[\)
b) \(f(x) < 0\) et \(f'(x) < 0\)
On cherche un intervalle sur lequel la courbe est en-dessous de l'axe des abscisses et décroissante.

Exemple typique : si la courbe devient négative après avoir croisé l'axe et continue à descendre, l'intervalle immédiatement après ce croisement convient.
\(f(x) < 0\) et \(f'(x) < 0\) sur l'intervalle \(]0;1[\).
Exercice 3 / 8
EXERCICE 4
Polynôme de degré 3 — dérivée, tangente, variations et extremums
Difficile Dérivée · Tangente · Tableau de variations · Extremums
4
Énoncé

Soit \(h\) la fonction définie sur \([0\,;\,26]\) par :

\[h(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 490.\]
Question 1
Soit \(h'\) la fonction dérivée de \(h\). Exprimer \(h'(x)\) en fonction de \(x\).
Méthodes de cours

Appliquer \((x^n)' = nx^{n-1}\) terme à terme :

  • \((-x^3)' = -3x^2\)
  • \((30x^2)' = 60x\)
  • \((-108x)' = -108\)
  • \((-490)' = 0\)
Correction complète
Q1 — Dérivée
\(h'(x) = -3x^2 + 60x - 108\)
Q2a — Identification de \(\mathcal{C}\) et de \(\mathcal{C}'\)
\(h'\) est un polynôme de degré 2 à coefficient dominant négatif : la courbe de \(h'\) est une parabole tournée vers le bas.Donc la courbe \(\mathcal{C_1}\) représente \(h'\).
\(h'\) est négative, positive puis négative donc la courbe de \(h\) est décroissante, croissante puis décroissante. Donc \(C_2\) représente \(h\).
\(C_2\) représente \(h\) et \(C_1\) représente \(h'\).
Q2b — Justification de \(\mathcal{C}'\)
\(h'\) est un polynôme de degré 2 à coefficient dominant négatif : la courbe de \(h'\) est une parabole tournée vers le bas.
\(h'(0) = -108\) : la courbe passe par \((0, -108)\).
Les racines de \(h'\) (en Q4) sont \(x = 2\) et \(x = 18\) : la courbe identifiée doit couper l'axe des abscisses en ces valeurs.
Q3 — Tangente en A(0, h(0))
\(h(0) = 0 + 0 - 0 - 490 = -490\).
\(h'(0) = 0 + 0 - 108 = -108\).
Équation : \(y = -108(x - 0) + (-490)\).
\((T) : y = -108x - 490\)
Q4 — Signe de \(h'\) et tableau de variation
\(h'(x) = -3(x^2 - 20x + 36)\).
\(\Delta = 400 - 144 = 256\), \(\sqrt{\Delta} = 16\).
Racines : \(x_1 = \dfrac{20 - 16}{2} = 2\) et \(x_2 = \dfrac{20 + 16}{2} = 18\).

Comme \(-3 < 0\) : \(h'(x) < 0\) sur \([0\,;\,2[\), \(h'(x) > 0\) sur \(]2\,;\,18[\), \(h'(x) < 0\) sur \(]18\,;\,26]\).

Valeurs remarquables : \(h(0) = -490\), \(h(2) = -8+120-216-490 = -594\), \(h(18) = -5832+9720-1944-490 = 1454\), \(h(26) = -17576+20280-2808-490 = -594\).
Q5 — Tangentes aux extremums
La fonction \(h\) admet un minimum local en \(x=2\) et un maximum local en \(x=18\). Donc en \(x = 2\) ( \(h'(2) = 0\)), il existe une tangente horizontale d'équation \(y = h(2) = -594\).
En \(x = 18\) (\(h'(18) = 0\)), il existe une tangente horizontale d'équation \(y = h(18) = 1\,454\).
Tangente au minimum : \(y = -594\). Tangente au maximum : \(y = 1\,454\).
Exercice 4 / 8
EXERCICE 5
Dérivée d'un produit — variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)
Calculer /4 pts · Communiquer /1 pt Produit · Dérivabilité · Variations
5
Énoncé

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (-2x + 5)(3x^2 - 2x + 1).\]
Question 1
Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Question 2
Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Question 3
Déterminer les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Méthodes de cours

Tout polynôme est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Le produit de deux polynômes est aussi un polynôme (ou on peut citer : le produit de deux fonctions dérivables est dérivable).

Poser \(u = -2x + 5\) et \(v = 3x^2 - 2x + 1\).

\(u' = -2\), \(v' = 6x - 2\).

Puis développer et regrouper les termes de même degré.

💡 On peut aussi développer \(f\) en totalité avant de dériver — parfois plus rapide pour un produit d'un degré 1 par un degré 2.

Calculer le discriminant de \(f'(x)\) (qui est un trinôme de degré 2).

  • Si \(\Delta < 0\) et coefficient dominant négatif : \(f' < 0\) toujours → \(f\) strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  • Si \(\Delta > 0\) : trouver les racines et dresser le tableau.
Correction complète
Q1 — Dérivabilité
\(f\) est le produit de deux polynômes \((-2x+5)\) et \((3x^2-2x+1)\). Tout polynôme est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et le produit de deux fonctions dérivables l'est aussi. Donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Q2 — Calcul de \(f'(x)\)
\(u(x) = -2x+5\), \(u'(x) = -2\) ; \(v(x) = 3x^2-2x+1\), \(v'(x) = 6x-2\).
\(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -2(3x^2-2x+1) + (-2x+5)(6x-2)\)
\(= -6x^2 + 4x - 2 + (-12x^2 + 4x + 30x - 10)\)
\(= -6x^2 + 4x - 2 - 12x^2 + 34x - 10\)
\(= -18x^2 + 38x - 12\).
\(f'(x) = -18x^2 + 38x - 12\)
Q3 — Variations de \(f\)
Factoriser : \(f'(x) = -2(9x^2 - 19x + 6)\).
\(\Delta = 361 - 216 = 145\), \(\sqrt{145} \approx 12{,}04\).
Racines : \(x_1 = \dfrac{19 - \sqrt{145}}{18} \approx 0{,}39\) et \(x_2 = \dfrac{19 + \sqrt{145}}{18} \approx 1{,}72\).

Comme \(-18 < 0\) : \(f'(x) > 0\) sur \(]x_1\,;\,x_2[\) et \(f'(x) < 0\) ailleurs.
\(f\) décroît sur \(]-\infty\,;\,x_1]\), croît sur \([x_1\,;\,x_2]\), décroît sur \([x_2\,;\,+\infty[\).
Minimum local en \(x_1 \approx 0{,}39\), maximum local en \(x_2 \approx 1{,}72\).
Exercice 5 / 8
EXERCICE 6
Dérivée de fraction, racine carrée et quotient
Difficile Dérivabilité · Extremum · Tableau de variation
6
Énoncé

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par :

\[f(x) = \left(3x^2 + 2x - 1\right) \times \frac{1}{x}.\]
a)
Étudier la dérivabilité de \(f\) (et son domaine de dérivabilité).
b)
Justifier que \(f'(x) = \dfrac{3x^2 + 1}{x^2}\).
c)
La fonction \(f\) admet-elle un extremum ? Justifier.
d)
Justifier le sens de variation de \(f\) (sans tableau).
Méthodes de cours

Développer \(f(x)\) en distribuant \(\dfrac{1}{x}\) :

\[f(x) = 3x + 2 - \frac{1}{x}.\]

Cette forme est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) (somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}^*\)).

Dériver \(f(x) = 3x + 2 - x^{-1}\) terme à terme :

\(f'(x) = 3 + 0 + x^{-2} = 3 + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{3x^2 + 1}{x^2}\). ✓

Pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\) : \(3x^2 \geqslant 0\) et \(x^2 > 0\), donc \(f'(x) = \dfrac{3x^2+1}{x^2} > 0\).

💡 Une dérivée strictement positive sur tout le domaine → pas d'extremum, et \(f\) est strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.
Correction complète
1a — Dérivabilité de \(f\)
\(f(x) = 3x + 2 - \dfrac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\).
1b — Dérivée de \(f\)
\(f'(x) = 3 - (-1) \cdot x^{-2} = 3 + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{3x^2 + 1}{x^2}\). ✓
1c & 1d — Extremum et sens de variation
Pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\) : \(3x^2 \geqslant 0\) et \(1 > 0\), donc le numérateur \(3x^2 + 1 > 0\) et le dénominateur \(x^2 > 0\).
Ainsi \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\).
\(f\) n'admet aucun extremum. Elle est strictement croissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\).
2a — Domaines de \(g\)
\(g(x) = \sqrt{3x-2}\). Condition : \(3x - 2 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant \dfrac{2}{3}\).
\(D_g = \left[\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty\right[\). Dérivable sur \(\left]\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty\right[\) (exclu le point où \(3x-2 = 0\)).
2b — Dérivée de \(g\)
\(u(x) = 3x - 2\), \(u'(x) = 3\).
\(g'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}\), pour \(x > \dfrac{2}{3}\).
3a — Domaines de \(h\)
\(3x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \dfrac{1}{3}\). \(D_h = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{3}\right\}\), même domaine de dérivabilité.
3b — Dérivée de \(h\)
\(u(x) = 3x^2\), \(u'(x) = 6x\) ; \(v(x) = 3x-1\), \(v'(x) = 3\).
\(h'(x) = \dfrac{6x(3x-1) - 3x^2 \cdot 3}{(3x-1)^2} = \dfrac{18x^2 - 6x - 9x^2}{(3x-1)^2} = \dfrac{9x^2 - 6x}{(3x-1)^2}\).
\(h'(x) = \dfrac{3x(3x - 2)}{(3x-1)^2}\)
3c — Tableau de variation de \(h\)
Numérateur : \(3x(3x-2) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = \dfrac{2}{3}\).
Dénominateur \((3x-1)^2 > 0\) pour \(x \neq \dfrac{1}{3}\).

Tableau de signe de \(h'\) sur \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{3}\right\}\) :
Tableau de variation de \(h\) :
Exercice 6 / 8
EXERCICE 7
Concentration d'un anesthésiant — modélisation par une fonction dérivée
Contextuel · Interprétation Quotient · Variations · Résolution d'équation
7
Énoncé

On modélise la concentration sanguine (en µg·L⁻¹) d'un anesthésiant, \(t\) heures après son administration, par :

\[f(t) = \frac{20}{0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1}, \qquad t \in [0\,;\,36].\]
Question 1
Calculer \(f'(t)\) pour tout \(t \in [0\,;\,36]\).
Question 2
En déduire le sens de variation de \(f\) et interpréter ce résultat dans le contexte.
Question 3
On estime qu'un patient peut rentrer chez lui quand la concentration est inférieure à 10 % de la concentration au moment de l'administration. Après combien d'heures cela se produit-il ?
Méthodes de cours

Ici \(u(t) = 20\) (constante), \(v(t) = 0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1\).

\(u'(t) = 0\), \(v'(t) = 0{,}01t + 0{,}1\).

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-uv'}{v^2}\]
💡 Quand le numérateur est une constante, \(u' = 0\) simplifie immédiatement le calcul.

Le dénominateur \(v^2 > 0\). Étudier le signe du numérateur \(-20v'\).

Pour \(t \in [0\,;\,36]\) : \(v'(t) = 0{,}01t + 0{,}1 > 0\), donc le numérateur \(-20v' < 0\).

💡 Interprétation : \(f' < 0\) → la concentration diminue tout au long des 36 heures suivant l'administration.

Étape 1 : Calculer \(f(0)\) (concentration initiale).

Étape 2 : Calculer 10 % de \(f(0)\).

Étape 3 : Résoudre \(f(t) = 0{,}1 \times f(0)\) sur \([0\,;\,36]\).

💡 Simplifier l'équation en inversant la fraction, puis résoudre le trinôme obtenu.
Correction complète
Q1 — Dérivée de \(f\)
\(u(t) = 20\), \(u'(t) = 0\) ; \(v(t) = 0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1\), \(v'(t) = 0{,}01t + 0{,}1\).
\[f'(t) = \frac{0 \cdot v - 20 \cdot v'}{v^2} = \frac{-20(0{,}01t + 0{,}1)}{(0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1)^2}\]
\(f'(t) = \dfrac{-0{,}2(t + 10)}{(0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1)^2}\)
Q2 — Sens de variation et interprétation
Pour \(t \in [0\,;\,36]\) : \(t + 10 > 0\) et \((v)^2 > 0\), donc \(f'(t) < 0\).
\(f\) est strictement décroissante sur \([0\,;\,36]\).
Interprétation : la concentration de l'anesthésiant dans le sang diminue continûment pendant les 36 heures suivant l'administration.
Q3 — Heure de sortie
Concentration initiale : \(f(0) = \dfrac{20}{0 + 0 + 1} = 20\) µg·L⁻¹.
Seuil : \(10\% \times 20 = 2\) µg·L⁻¹.

Résoudre \(f(t) = 2\) :
\(\dfrac{20}{0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1} = 2 \implies 0{,}005t^2 + 0{,}1t + 1 = 10\)
\(0{,}005t^2 + 0{,}1t - 9 = 0\). Multiplier par 200 :
\(t^2 + 20t - 1\,800 = 0\).
\(\Delta = 400 + 7\,200 = 7\,600\), \(\sqrt{7600} = 20\sqrt{19} \approx 87{,}18\).
\(t = \dfrac{-20 + 87{,}18}{2} \approx 33{,}6\) heures (l'autre racine est négative, rejetée).
Le patient pourra rentrer chez lui après environ \(33{,}6\) heures, soit environ 33 heures et 36 minutes après l'administration.
Exercice 7 / 8
EXERCICE 8
Fraction rationnelle — domaine, dérivée et tangente
Résolution Domaine · Dérivée · Équation de tangente
8
Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[f(x) = \frac{4x - 1}{4x^2 - 3x + 2}.\]
Question 1
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de la fonction \(f\).
Question 2
Calculer \(f'(x)\).
Question 3
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\).
Méthodes de cours

\(f\) est définie là où le dénominateur est non nul.

Calculer \(\Delta\) du dénominateur \(4x^2 - 3x + 2\).

💡 Si \(\Delta < 0\) et \(a > 0\) : le dénominateur est toujours positif → \(D_f = \mathbb{R}\).

\(u(x) = 4x - 1\), \(u'(x) = 4\) ; \(v(x) = 4x^2 - 3x + 2\), \(v'(x) = 8x - 3\).

\[f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Développer le numérateur et simplifier.

Calculer \(f(1)\) (ordonnée du point de contact) et \(f'(1)\) (pente).

\[y = f'(1)(x - 1) + f(1)\]
Correction complète
Q1 — Domaine de définition
Dénominateur : \(4x^2 - 3x + 2\).
\(\Delta = 9 - 4 \times 4 \times 2 = 9 - 32 = -23 < 0\).
Avec \(a = 4 > 0\) et \(\Delta < 0\) : \(4x^2 - 3x + 2 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(D_f = \mathbb{R}\) (le dénominateur ne s'annule jamais).
Q2 — Dérivée \(f'(x)\)
\(u(x) = 4x-1\), \(u'(x) = 4\) ; \(v(x) = 4x^2-3x+2\), \(v'(x) = 8x-3\).
\[f'(x) = \frac{4(4x^2-3x+2) - (4x-1)(8x-3)}{(4x^2-3x+2)^2}\] Numérateur :
\(= 16x^2 - 12x + 8 - (32x^2 - 12x - 8x + 3)\)
\(= 16x^2 - 12x + 8 - 32x^2 + 20x - 3\)
\(= -16x^2 + 8x + 5\).
\(f'(x) = \dfrac{-16x^2 + 8x + 5}{(4x^2 - 3x + 2)^2}\)
Q3 — Tangente en \(x = 1\)
\(f(1) = \dfrac{4-1}{4-3+2} = \dfrac{3}{3} = 1\).

\(f'(1) = \dfrac{-16 + 8 + 5}{(4-3+2)^2} = \dfrac{-3}{9} = -\dfrac{1}{3}\).

Équation : \(y = -\dfrac{1}{3}(x - 1) + 1 = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3} + 1\).
\((T) : y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{3}\)
Exercice 8 / 8

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