Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X)=10$ et pour variance $V(X)=4$.
Majorer la probabilité $P\big(|X-10|\geqslant 5\big)$.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=5$.
La probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $5$ est donc inférieure ou égale à $0{,}16$.
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $\mu$ et pour écart-type $\sigma$.
Majorer la probabilité $P\big(|X-\mu|\geqslant 2\sigma\big)$ à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
On utilise la forme avec $\delta=k\sigma$.
Ici $k=2$, et l'inégalité donne $P\big(|X-\mu|\geqslant k\sigma\big)\leqslant\dfrac{1}{k^{2}}$.
Au plus $25\,\%$ des valeurs s'écartent de la moyenne d'au moins deux écarts-types.
On considère la moyenne $M_n$ d'un échantillon de $n=100$ variables indépendantes de même loi, de variance $V=1$.
Majorer la probabilité $P\big(|M_n-\mu|\geqslant 0{,}5\big)$.
On applique l'inégalité de concentration.
On remplace par $n=100$, $V=1$, $\delta=0{,}5$.
On considère la moyenne $M_n$ d'un échantillon d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$.
Déterminer la limite de $P\big(|M_n-\mu|\geqslant\delta\big)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, en justifiant à l'aide de l'inégalité de concentration.
On encadre la probabilité.
D'après l'inégalité de concentration, pour tout $n$ :
On passe à la limite.
Comme $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{V}{n\,\delta^{2}}=0$, le théorème des gendarmes donne :
C'est la loi (faible) des grands nombres : la moyenne se concentre autour de $\mu$.
On lance un grand nombre $n$ de fois un dé équilibré à six faces et on note $M_n$ la moyenne des résultats obtenus.
Déterminer la valeur autour de laquelle la moyenne $M_n$ se stabilise lorsque $n$ devient grand.
On calcule l'espérance d'un lancer.
On applique la loi des grands nombres.
La moyenne $M_n$ d'un grand nombre de lancers se rapproche de l'espérance $\mu$ d'un lancer.
Donc $M_n$ se stabilise autour de $3{,}5$.