Terminale · Physique-chimie · Chapitre 18

Effet photoélectrique

Exercices corrigés — énergie du photon, travail d'extraction, relation d'Einstein et rendement photovoltaïque.
Ex. 1 — Énergie d'un photon Ex. 2 — Fréquence seuil Ex. 3 — Relation d'Einstein Ex. 4 — Exploiter un graphe expérimental Ex. 5 — Cellule photovoltaïque
Rappels : \(E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}\) ; relation d'Einstein \(E_c = h\nu - W\) ; fréquence seuil \(\nu_0 = \dfrac{W}{h}\) et longueur d'onde seuil \(\lambda_0 = \dfrac{hc}{W}\) ; rendement \(\eta = \dfrac{\mathcal{P}_{\mathrm{élec}}}{E\,S}\). Données : \(h = 6{,}63\times 10^{-34}\) J·s ; \(c = 3{,}00\times 10^{8}\) m·s⁻¹ ; \(e = 1{,}60\times 10^{-19}\) C ; \(m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\) kg ; \(1\) eV \(= 1{,}60\times 10^{-19}\) J.
Exercice 1
Énergie d'un photon

On considère trois rayonnements : un infrarouge (\(\lambda_1 = 1{,}2\) µm), une lumière bleue (\(\lambda_2 = 450\) nm) et un ultraviolet (\(\lambda_3 = 250\) nm).

  1. Calculer l'énergie d'un photon de chaque rayonnement, en joules puis en électronvolts.
  2. Classer les trois rayonnements par énergie croissante et commenter.
  3. Une lampe de puissance \(\mathcal{P} = 5{,}0\) W émet uniquement dans le bleu. Combien de photons émet-elle par seconde ?
  4. Que vaut la masse d'un photon ? Que se passe-t-il lorsqu'il est absorbé ?

a. On applique \(E = \dfrac{hc}{\lambda}\), puis on divise par \(1{,}60\times 10^{-19}\) pour convertir en eV.

\[ E_1 = \frac{6{,}63\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8}}{1{,}2\times 10^{-6}} = 1{,}66\times 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}0\ \text{eV} \]
\[ E_2 = \frac{1{,}989\times 10^{-25}}{450\times 10^{-9}} = 4{,}42\times 10^{-19}\ \text{J} = 2{,}76\ \text{eV} \]
\[ E_3 = \frac{1{,}989\times 10^{-25}}{250\times 10^{-9}} = 7{,}96\times 10^{-19}\ \text{J} = 4{,}97\ \text{eV} \]

💡 Le produit \(hc = 1{,}989\times 10^{-25}\) J·m est à calculer une fois pour toutes : il fait gagner beaucoup de temps.

b. On classe et on relie à la longueur d'onde.

\[ E_1 < E_2 < E_3 \qquad\text{alors que}\qquad \lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3 \]

L'énergie est inversement proportionnelle à la longueur d'onde : plus \(\lambda\) est courte, plus le photon est énergétique.

C'est pourquoi les UV sont dangereux pour la peau alors que l'infrarouge ne fait que chauffer : chaque photon UV transporte assez d'énergie pour casser des liaisons chimiques.

c. On divise la puissance par l'énergie d'un photon.

\[ N = \frac{\mathcal{P}}{E_2} = \frac{5{,}0}{4{,}42\times 10^{-19}} = 1{,}1\times 10^{19}\ \text{photons par seconde} \]

Onze milliards de milliards par seconde : c'est ce nombre gigantesque qui explique qu'à notre échelle, la lumière paraisse continue et non granulaire.

d. On revient aux propriétés du photon.

Le photon a une masse nulle et se déplace toujours à la célérité \(c\) : il ne peut ni ralentir, ni s'immobiliser.

Lorsqu'il est absorbé, il disparaît en cédant la totalité de son énergie \(h\nu\) à la matière — jamais une fraction. C'est précisément ce caractère « tout ou rien » qui explique l'effet photoélectrique.

Exercice 2
Fréquence seuil

Le zinc a un travail d'extraction \(W = 4{,}3\) eV, le sodium \(W' = 2{,}3\) eV.

  1. Calculer la fréquence seuil et la longueur d'onde seuil de chacun de ces métaux.
  2. Une lampe à vapeur de mercure émet à \(\lambda = 365\) nm. Quel métal émet des électrons ?
  3. On éclaire le zinc avec une lumière verte (\(\lambda = 546\) nm) très intense. Que se passe-t-il ?
  4. En quoi cette dernière observation contredit-elle le modèle ondulatoire de la lumière ?

a. On convertit d'abord \(W\) en joules, puis on applique \(\nu_0 = \dfrac{W}{h}\) et \(\lambda_0 = \dfrac{hc}{W}\).

Zinc : \(W = 4{,}3\times 1{,}60\times 10^{-19} = 6{,}88\times 10^{-19}\) J.

\[ \nu_0 = \frac{6{,}88\times 10^{-19}}{6{,}63\times 10^{-34}} = 1{,}04\times 10^{15}\ \text{Hz} \qquad \lambda_0 = \frac{1{,}989\times 10^{-25}}{6{,}88\times 10^{-19}} = 289\ \text{nm} \]

Sodium : \(W' = 3{,}68\times 10^{-19}\) J.

\[ \nu'_0 = 5{,}55\times 10^{14}\ \text{Hz} \qquad \lambda'_0 = \frac{1{,}989\times 10^{-25}}{3{,}68\times 10^{-19}} = 540\ \text{nm} \]

Le zinc n'émet donc que sous UV, le sodium dès la lumière verte.

b. On compare \(\lambda\) à chaque longueur d'onde seuil.

⚠ Attention au sens de l'inégalité : l'émission a lieu si \(\lambda < \lambda_0\) (photon plus énergétique que le seuil).

Zinc : \(365 > 289\) nm, donc pas d'émission.

Sodium : \(365 < 540\) nm, donc émission. ✔

c. On applique le critère au zinc éclairé en vert.

\[ \lambda = 546\ \text{nm} > \lambda_0 = 289\ \text{nm} \]

Aucun électron n'est éjecté, et cela quelle que soit l'intensité lumineuse. Chaque photon vert transporte \(2{,}27\) eV, très insuffisant devant les \(4{,}3\) eV nécessaires.

Augmenter l'intensité augmente le nombre de photons, pas leur énergie individuelle. Or un électron ne peut absorber qu'un photon à la fois.

d. On confronte au modèle ondulatoire.

Dans le modèle ondulatoire, l'énergie de la lumière est continue et proportionnelle à l'intensité. Un électron devrait donc pouvoir l'accumuler progressivement jusqu'à atteindre \(W\), quelle que soit la fréquence — il suffirait d'attendre, ou d'éclairer plus fort.

🚨 L'existence d'un seuil en fréquence, insensible à l'intensité, est donc totalement inexplicable par ce modèle. C'est en postulant en 1905 que la lumière est quantifiée en photons, chacun cédant son énergie en une seule fois, qu'Einstein résout la contradiction — ce qui lui vaudra le prix Nobel en 1921.

Exercice 3
Relation d'Einstein

On éclaire une plaque de potassium (\(W = 2{,}3\) eV) avec un rayonnement de longueur d'onde \(\lambda = 380\) nm.

  1. Vérifier que l'effet photoélectrique a lieu.
  2. Calculer l'énergie cinétique maximale des électrons éjectés, en eV puis en joules.
  3. En déduire leur vitesse maximale.
  4. On double l'intensité lumineuse, puis on passe à \(\lambda' = 300\) nm. Décrire l'effet de chaque modification.

a. On compare l'énergie du photon au travail d'extraction.

\[ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1{,}989\times 10^{-25}}{380\times 10^{-9}} = 5{,}23\times 10^{-19}\ \text{J} = 3{,}27\ \text{eV} \]

\(3{,}27 > 2{,}3\) eV : l'énergie du photon dépasse le travail d'extraction, l'effet photoélectrique a bien lieu. ✔

b. On applique la relation d'Einstein.

\[ E_c = h\nu - W = 3{,}27 - 2{,}3 = 0{,}97\ \text{eV} \]
\[ E_c = 0{,}97\times 1{,}60\times 10^{-19} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J} \]

c. On utilise l'expression de l'énergie cinétique.

\[ E_c = \tfrac{1}{2}m_e v^{2} \qquad\Longrightarrow\qquad v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\times 1{,}55\times 10^{-19}}{9{,}11\times 10^{-31}}} \]
\[ v = \sqrt{3{,}40\times 10^{11}} = 5{,}8\times 10^{5}\ \text{m·s}^{-1} \]

💡 Contrôle : \(v/c = 1{,}9\times 10^{-3}\), largement non relativiste. Le traitement classique est légitime.

d. On distingue soigneusement l'effet de l'intensité et celui de la fréquence.

Intensité doublée : deux fois plus de photons arrivent, donc deux fois plus d'électrons sont éjectés — le courant photoélectrique double. Mais chaque photon a toujours la même énergie : \(E_c\) reste inchangée à \(0{,}97\) eV.

Longueur d'onde plus courte : chaque photon est plus énergétique.

\[ E' = \frac{1{,}989\times 10^{-25}}{300\times 10^{-9}} = 6{,}63\times 10^{-19}\ \text{J} = 4{,}14\ \text{eV} \]
\[ E'_c = 4{,}14 - 2{,}3 = 1{,}8\ \text{eV} \]

L'énergie cinétique est presque doublée, mais le nombre d'électrons ne change pas (à même nombre de photons).

🚨 À retenir : l'intensité fixe le nombre d'électrons, la fréquence fixe leur énergie. C'est la question de cours la plus fréquente du chapitre.

Exercice 4
Exploiter un graphe expérimental

On mesure l'énergie cinétique maximale des électrons éjectés d'un métal pour différentes fréquences du rayonnement incident.

\(\nu\) (\(10^{14}\) Hz)\(6{,}0\)\(8{,}0\)\(10{,}0\)\(12{,}0\)
\(E_c\) (eV)\(0{,}42\)\(1{,}25\)\(2{,}08\)\(2{,}90\)
  1. Montrer que ces mesures sont compatibles avec la relation d'Einstein.
  2. Déterminer le coefficient directeur de la droite et en déduire une valeur expérimentale de la constante de Planck.
  3. Déterminer le travail d'extraction du métal et sa fréquence seuil.
  4. Que se passerait-il pour \(\nu = 4{,}0\times 10^{14}\) Hz ?

a. La relation \(E_c = h\nu - W\) est de la forme \(y = ax + b\) : le graphe doit être une droite.

On calcule les écarts successifs, la fréquence progressant régulièrement de \(2{,}0\times 10^{14}\) Hz :

\[ 1{,}25 - 0{,}42 = 0{,}83 \qquad 2{,}08 - 1{,}25 = 0{,}83 \qquad 2{,}90 - 2{,}08 = 0{,}82 \]

Les écarts sont constants : les points sont alignés, la relation d'Einstein est vérifiée. ✔

b. Le coefficient directeur vaut \(h\). On le calcule sur les points extrêmes.

\[ a = \frac{2{,}90 - 0{,}42}{(12{,}0 - 6{,}0)\times 10^{14}} = \frac{2{,}48}{6{,}0\times 10^{14}} = 4{,}13\times 10^{-15}\ \text{eV·s} \]

On convertit en joules par seconde :

\[ h = 4{,}13\times 10^{-15}\times 1{,}60\times 10^{-19} = 6{,}6\times 10^{-34}\ \text{J·s} \]

💡 La valeur tabulée est \(6{,}63\times 10^{-34}\) J·s : l'écart relatif est inférieur à \(1\ \%\). C'est exactement de cette manière que Millikan a mesuré \(h\) en 1916, confirmant expérimentalement l'hypothèse d'Einstein.

c. L'ordonnée à l'origine vaut \(-W\). On l'obtient en partant d'un point mesuré.

\[ W = h\nu - E_c = 4{,}13\times 10^{-15}\times 8{,}0\times 10^{14} - 1{,}25 = 3{,}30 - 1{,}25 = 2{,}1\ \text{eV} \]
\[ \nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{2{,}05}{4{,}13\times 10^{-15}} = 5{,}0\times 10^{14}\ \text{Hz} \]

Contrôle : la droite doit couper l'axe des abscisses en \(\nu_0\). En extrapolant les données vers les basses fréquences, \(E_c\) s'annule bien vers \(5{,}0\times 10^{14}\) Hz. ✔

d. On compare à la fréquence seuil.

\(4{,}0\times 10^{14} < \nu_0 = 5{,}0\times 10^{14}\) Hz : aucun électron n'est éjecté.

🚨 Il serait absurde d'appliquer la formule, qui donnerait \(E_c = -0{,}4\) eV. Une énergie cinétique négative n'a aucun sens physique : la relation \(E_c = h\nu - W\) n'est valable qu'au-dessus du seuil. En dessous, il ne se passe simplement rien.

Exercice 5
Cellule photovoltaïque

Une installation domestique comporte \(12\) panneaux photovoltaïques identiques, de dimensions \(1{,}0\) m \(\times\) \(1{,}7\) m chacun. Par une belle journée, l'éclairement vaut \(E = 850\) W·m⁻² et l'installation délivre une puissance électrique de \(3{,}1\) kW.

  1. Calculer la puissance lumineuse totale reçue par l'installation.
  2. En déduire le rendement des panneaux.
  3. Le silicium des cellules a une longueur d'onde seuil \(\lambda_0 = 1{,}1\) µm. Expliquer, à l'aide du modèle du photon, deux causes de perte d'énergie.
  4. L'installation fonctionne en moyenne \(3{,}5\) h par jour à cette puissance. Quelle énergie produit-elle en un an, en kW·h ?

a. On calcule la surface totale, puis la puissance reçue.

\[ S = 12\times 1{,}0\times 1{,}7 = 20{,}4\ \text{m}^{2} \]
\[ \mathcal{P}_{\text{reçue}} = E\times S = 850\times 20{,}4 = 1{,}73\times 10^{4}\ \text{W} \]

b. On applique la définition du rendement.

\[ \eta = \frac{\mathcal{P}_{\text{élec}}}{\mathcal{P}_{\text{reçue}}} = \frac{3{,}1\times 10^{3}}{1{,}73\times 10^{4}} = 0{,}18 = 18\ \% \]

✔ Valeur cohérente avec les panneaux commerciaux actuels, dont le rendement se situe entre \(18\) et \(22\ \%\).

c. On raisonne photon par photon.

Première cause — les photons trop peu énergétiques. Tout photon de longueur d'onde \(\lambda > \lambda_0 = 1{,}1\) µm transporte moins que le travail d'extraction du silicium : il ne peut libérer aucun électron et traverse la cellule sans effet. C'est le cas de tout l'infrarouge lointain du spectre solaire.

Seconde cause — l'excédent des photons trop énergétiques. Un photon bleu de \(2{,}8\) eV n'a besoin que d'environ \(1{,}1\) eV pour libérer l'électron. Le surplus, soit \(1{,}7\) eV, se retrouve en énergie cinétique puis se dissipe en chaleur dans le matériau.

💡 Ces deux pertes sont intrinsèques au modèle du photon et fixent une limite théorique d'environ \(33\ \%\) pour une cellule à simple jonction. Le rendement de \(18\ \%\) mesuré ici n'en est donc pas si loin.

d. On calcule l'énergie annuelle.

\[ E_{\text{an}} = \mathcal{P}\times \Delta t = 3{,}1\ \text{kW}\times 3{,}5\ \text{h·j}^{-1}\times 365\ \text{j} \]
\[ E_{\text{an}} = 3{,}1\times 1277 = 4{,}0\times 10^{3}\ \text{kW·h} \]

Soit environ \(4000\) kW·h par an, ce qui couvre la consommation électrique hors chauffage d'un foyer de quatre personnes.

🚨 Attention à l'unité : le kW·h est une énergie (puissance × durée), pas une puissance. C'est l'erreur d'unité la plus fréquente sur ce type de question.

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