Terminale · Physique-chimie · Chapitre 16

Son et effet Doppler

Exercices corrigés — niveau sonore, atténuation, effet Doppler et décalage spectral.

Ex. 1 — Niveau d'intensité sonore Ex. 2 — Atténuation géométrique Ex. 3 — Isolation phonique Ex. 4 — Effet Doppler acoustique Ex. 5 — Doppler et astrophysique

Rappels : \(L = 10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\) avec \(I_0 = 1{,}0\times 10^{-12}\) W·m⁻² ; \(I = I_0\times 10^{L/10}\) ; atténuation \(A = L_1 - L_2\) ; source ponctuelle \(I = \dfrac{\mathcal{P}}{4\pi d^{2}}\). Doppler : \(f_R = f_E\dfrac{c}{c-v}\) à l'approche, \(f_R = f_E\dfrac{c}{c+v}\) à l'éloignement ; si \(v \lll c\), \(\dfrac{\Delta f}{f_E} \approx \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} \approx \dfrac{v}{c}\). Célérité du son dans l'air : \(c = 340\) m·s⁻¹ ; dans le vide \(c = 3{,}00\times 10^{8}\) m·s⁻¹.

Exercice 1

Niveau d'intensité sonore

Dans un atelier, une machine seule produit une intensité sonore \(I = 2{,}0\times 10^{-4}\) W·m⁻² au poste de travail.

Calculer le niveau d'intensité sonore correspondant.
On met en marche une seconde machine identique. Quel est le nouveau niveau ?
Combien faudrait-il de machines identiques pour atteindre \(96\) dB ?
Le seuil réglementaire d'exposition est de \(85\) dB sur 8 heures. Commenter la situation.

a. On applique la définition du niveau d'intensité sonore.

\[ L = 10\log\!\left(\frac{2{,}0\times 10^{-4}}{1{,}0\times 10^{-12}}\right) = 10\log\left(2{,}0\times 10^{8}\right) = 83\ \text{dB} \]

b. Les intensités s'additionnent, jamais les niveaux.

\[ I_{\text{tot}} = 2\times 2{,}0\times 10^{-4} = 4{,}0\times 10^{-4}\ \text{W·m}^{-2} \]

\[ L' = 10\log\!\left(\frac{4{,}0\times 10^{-4}}{1{,}0\times 10^{-12}}\right) = 86\ \text{dB} \]

🚨 Doubler l'intensité n'ajoute que 3 dB, pas \(83\) dB de plus. Le niveau sonore n'est pas une grandeur additive.

c. On cherche le nombre \(n\) de machines tel que \(L = 96\) dB.

\[ I = I_0\times 10^{96/10} = 1{,}0\times 10^{-12}\times 10^{9{,}6} = 4{,}0\times 10^{-3}\ \text{W·m}^{-2} \]

\[ n = \frac{4{,}0\times 10^{-3}}{2{,}0\times 10^{-4}} = 20 \]

💡 Contrôle par le raisonnement logarithmique : passer de \(83\) à \(96\) dB, c'est \(+13\) dB, soit un facteur \(10^{1{,}3} = 20\) sur l'intensité. ✔

d. On confronte les valeurs calculées au seuil réglementaire.

Avec une seule machine, \(83\) dB reste sous le seuil. Avec deux, on atteint \(86\) dB : le seuil est dépassé, alors que le bruit n'a « que » doublé en intensité.

La protection auditive devient obligatoire. Cet exemple montre pourquoi l'échelle en décibels est trompeuse à l'intuition : quelques décibels de plus correspondent à une énergie sonore bien plus grande.

Exercice 2

Atténuation géométrique

Une sirène assimilée à une source ponctuelle rayonne uniformément dans toutes les directions une puissance sonore \(\mathcal{P} = 1{,}2\) W.

Calculer l'intensité sonore et le niveau sonore à \(d_1 = 5{,}0\) m.
Même question à \(d_2 = 40\) m. En déduire l'atténuation.
Retrouver cette atténuation sans calculer les intensités.
À quelle distance le niveau tombe-t-il à \(50\) dB ?

a. L'énergie se répartit sur une sphère de rayon \(d\).

\[ I_1 = \frac{\mathcal{P}}{4\pi d_1^{2}} = \frac{1{,}2}{4\pi\times 5{,}0^{2}} = 3{,}8\times 10^{-3}\ \text{W·m}^{-2} \]

\[ L_1 = 10\log\!\left(\frac{3{,}8\times 10^{-3}}{10^{-12}}\right) = 96\ \text{dB} \]

b. Même calcul, huit fois plus loin.

\[ I_2 = \frac{1{,}2}{4\pi\times 40^{2}} = 6{,}0\times 10^{-5}\ \text{W·m}^{-2} \qquad L_2 = 78\ \text{dB} \]

\[ A = L_1 - L_2 = 96 - 78 = 18\ \text{dB} \]

c. On exploite la propriété du doublement de distance.

La distance a été multipliée par \(8 = 2^{3}\), soit trois doublements. Or chaque doublement de distance divise l'intensité par 4, ce qui correspond à \(-6\) dB.

\[ A = 3\times 6 = 18\ \text{dB} \]

💡 Ce raccourci est précieux en contrôle : il évite deux calculs de logarithme et permet de vérifier le résultat instantanément.

d. On remonte de \(L\) à \(I\), puis de \(I\) à \(d\).

\[ I = I_0\times 10^{50/10} = 1{,}0\times 10^{-12}\times 10^{5} = 1{,}0\times 10^{-7}\ \text{W·m}^{-2} \]

\[ I = \frac{\mathcal{P}}{4\pi d^{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad d = \sqrt{\frac{\mathcal{P}}{4\pi I}} = \sqrt{\frac{1{,}2}{4\pi\times 1{,}0\times 10^{-7}}} \]

\[ d = \sqrt{9{,}55\times 10^{5}} = 9{,}8\times 10^{2}\ \text{m} \]

Près d'un kilomètre : c'est bien l'ordre de grandeur de la portée d'une sirène en terrain dégagé. ✔

Exercice 3

Isolation phonique

Un appartement est séparé d'une rue passante par une fenêtre. Le niveau sonore de la rue est de \(82\) dB. La fenêtre simple vitrage atténue de \(22\) dB.

Calculer le niveau sonore à l'intérieur.
Quelle fraction de l'énergie sonore la fenêtre laisse-t-elle passer ?
On installe un double vitrage qui atténue de \(35\) dB. Calculer le nouveau niveau intérieur et le gain en énergie.
Distinguer l'atténuation par absorption de l'atténuation géométrique.

a. Les atténuations se retranchent directement en décibels.

\[ L_2 = L_1 - A = 82 - 22 = 60\ \text{dB} \]

Soit le niveau d'une conversation : c'est encore gênant pour dormir.

b. On revient aux intensités.

\[ \frac{I_2}{I_1} = 10^{-A/10} = 10^{-2{,}2} = 6{,}3\times 10^{-3} \]

La fenêtre laisse passer \(0{,}63\ \%\) de l'énergie sonore, donc elle en absorbe \(99{,}4\ \%\). 💡 Une atténuation qui paraît modeste en décibels correspond déjà à une absorption massive.

c. Même méthode avec la nouvelle valeur.

\[ L'_2 = 82 - 35 = 47\ \text{dB} \qquad \frac{I'_2}{I_1} = 10^{-3{,}5} = 3{,}2\times 10^{-4} \]

Le gain en intensité entre les deux vitrages vaut :

\[ \frac{6{,}3\times 10^{-3}}{3{,}2\times 10^{-4}} = 20 \]

Le double vitrage laisse passer 20 fois moins d'énergie sonore, pour \(13\) dB gagnés seulement.

d. On compare les deux causes.

Atténuation géométrique : l'énergie n'est pas perdue, elle se répartit sur une surface de plus en plus grande à mesure qu'on s'éloigne. Elle dépend uniquement de la distance, en \(1/d^{2}\).

Atténuation par absorption : l'énergie sonore est réellement convertie en énergie thermique par le milieu traversé. Elle dépend du matériau et de son épaisseur.

🚨 Les deux se cumulent, et elles s'additionnent en décibels : un voisin situé deux fois plus loin derrière la même cloison gagne \(6\) dB supplémentaires.

Exercice 4

Effet Doppler acoustique

Une voiture de course émet un son de fréquence \(f_E = 420\) Hz et roule à vitesse constante sur une ligne droite. Un spectateur immobile mesure \(f_R = 452\) Hz lorsque la voiture s'approche. On prend \(c = 340\) m·s⁻¹.

Justifier que la fréquence perçue est plus élevée à l'approche.
Calculer la vitesse de la voiture, en m·s⁻¹ puis en km·h⁻¹.
Quelle fréquence le spectateur percevra-t-il après le passage de la voiture ?
Que perçoit le pilote ? Justifier.

a. On raisonne sur les fronts d'onde successifs.

Entre deux émissions séparées de la période \(T_E\), la voiture avance de \(v\,T_E\) dans la direction du spectateur. Elle « rattrape » donc partiellement le front précédent : les fronts d'onde arrivent resserrés.

La longueur d'onde perçue \(\lambda_R = (c - v)T_E\) est plus petite. Comme la célérité \(c\) est fixée par l'air et ne change pas, la fréquence \(f_R = c/\lambda_R\) est plus grande.

b. On part de la relation Doppler à l'approche et on isole \(v\).

\[ f_R = f_E\,\frac{c}{c-v} \qquad\Longrightarrow\qquad c - v = \frac{f_E\,c}{f_R} \qquad\Longrightarrow\qquad v = c\left(1 - \frac{f_E}{f_R}\right) \]

\[ v = 340\times\left(1 - \frac{420}{452}\right) = 340\times 0{,}0708 = 24\ \text{m·s}^{-1} \]

\[ v = 24\times 3{,}6 = 87\ \text{km·h}^{-1} \]

c. On applique la relation à l'éloignement, avec la vitesse trouvée.

\[ f'_R = f_E\,\frac{c}{c+v} = 420\times\frac{340}{340 + 24{,}1} = 420\times\frac{340}{364{,}1} = 392\ \text{Hz} \]

Le spectateur entend donc la hauteur du son chuter brutalement de \(452\) à \(392\) Hz au moment du passage, soit un écart de \(60\) Hz nettement audible.

d. On identifie la situation du pilote par rapport à la source.

Le pilote est immobile par rapport à la source : il n'y a aucun mouvement relatif entre eux. Il n'y a donc aucun effet Doppler et il perçoit exactement \(f_E = 420\) Hz.

🚨 C'est le point conceptuel du chapitre : ce n'est pas la fréquence émise qui change, mais la fréquence perçue. Le son émis par la voiture est le même pour tout le monde — c'est sa réception qui diffère selon le mouvement relatif.

Exercice 5

Doppler et astrophysique

On observe le spectre de deux galaxies. La raie de l'hydrogène, mesurée à \(\lambda_0 = 656{,}3\) nm au laboratoire, apparaît :

Galaxie	A	B
\(\lambda\) observée (nm)	\(660{,}7\)	\(672{,}5\)

Ces galaxies s'approchent-elles ou s'éloignent-elles ? Justifier.
Calculer leur vitesse radiale.
Vérifier que l'approximation \(v \lll c\) est légitime.
La loi de Hubble donne \(v = H_0\,d\) avec \(H_0 = 70\) km·s⁻¹·Mpc⁻¹. Estimer la distance de la galaxie B, et expliquer ce que cette observation a révélé.

a. On compare la longueur d'onde observée à celle du laboratoire.

Dans les deux cas, \(\lambda > \lambda_0\) : la longueur d'onde a augmenté, le spectre est décalé vers le rouge. Les deux galaxies s'éloignent de nous.

💡 C'est l'équivalent lumineux du son plus grave d'une ambulance qui s'éloigne : longueur d'onde plus grande, fréquence plus faible.

b. On applique la relation du décalage Doppler pour les ondes lumineuses.

Galaxie A : \(\Delta\lambda = 660{,}7 - 656{,}3 = 4{,}4\) nm.

\[ v_A = c\,\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = 3{,}00\times 10^{8}\times\frac{4{,}4}{656{,}3} = 2{,}0\times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1} \]

Galaxie B : \(\Delta\lambda = 672{,}5 - 656{,}3 = 16{,}2\) nm.

\[ v_B = 3{,}00\times 10^{8}\times\frac{16{,}2}{656{,}3} = 7{,}4\times 10^{6}\ \text{m·s}^{-1} \]

Soit respectivement \(2{,}0\times 10^{3}\) et \(7{,}4\times 10^{3}\) km·s⁻¹.

c. On calcule le rapport \(v/c\).

\[ \frac{v_A}{c} = 6{,}7\times 10^{-3} \qquad \frac{v_B}{c} = 2{,}5\times 10^{-2} \]

Les deux rapports sont très inférieurs à 1 : l'approximation non relativiste est légitime, avec une erreur de l'ordre de quelques pour cent au plus pour B. ✔

d. On applique la loi de Hubble, en veillant aux unités.

\[ d = \frac{v_B}{H_0} = \frac{7{,}4\times 10^{3}}{70} = 1{,}1\times 10^{2}\ \text{Mpc} \]

Soit environ \(110\) mégaparsecs, ou \(3{,}5\times 10^{8}\) années-lumière.

Ce que cela a révélé : Hubble a constaté en 1929 que presque toutes les galaxies présentent un décalage vers le rouge, et que ce décalage est d'autant plus grand qu'elles sont lointaines. Toutes s'éloignent donc de nous, et d'autant plus vite qu'elles sont loin.

Ce n'est pas que la Terre occupe une position centrale : c'est l'espace lui-même qui est en expansion. Cette observation, fondée sur un simple décalage Doppler, est l'un des piliers du modèle du Big Bang.