Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{2}\left(3x^2+1\right)\,dx$.
On détermine une primitive de la fonction intégrée.
Une primitive de $3x^2+1$ est $x^3+x$.
On applique la formule $F(b)-F(a)$.
On considère la fonction définie sur $[-2\,;2]$ par $f(x)=4-x^2$.
Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine situé sous la courbe de la fonction $f$ sur $[-2\,;2]$.
On vérifie le signe de $f$.
Sur $[-2\,;2]$, $f(x)=4-x^2\geqslant 0$, donc l'aire vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$.
On calcule l'intégrale.
L'aire vaut $\dfrac{32}{3}$ unités d'aire.
On considère la fonction définie sur $[0\,;3]$ par $f(x)=x^2$.
Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;3]$.
On applique la formule de la valeur moyenne.
On calcule.
La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;3]$ est $\mu=3$.
On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$.
a. On résout $f(x)=g(x)$.
b. Sur $[-1\,;2]$, on compare les deux fonctions.
Sur cet intervalle, $g(x)\geqslant f(x)$, donc l'aire vaut $\displaystyle\int_{-1}^{2}\big(g(x)-f(x)\big)\,dx=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx$.
L'aire vaut $\dfrac{9}{2}$ unités d'aire.
Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin(x)\,dx$ à l'aide d'une intégration par parties.
On choisit $u$ et $v'$.
On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\sin(x)$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-\cos(x)$.
On applique la formule d'intégration par parties.
On calcule chaque terme.
$\big[-x\cos(x)\big]_{0}^{\pi}=-\pi\cos(\pi)-0=-\pi\times(-1)=\pi$, et $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x)\,dx=\big[\sin(x)\big]_{0}^{\pi}=0$.