Terminale · Chapitre 15

Fonctions cosinus et sinus

Exercices corrigés — parité et période, dérivées composées, équations $\cos x=\cos a$ et $\sin x=\sin a$, variations, limite usuelle.
Ex. 1 — Parité et période Ex. 2 — Dérivées composées Ex. 3 — Équation avec cosinus Ex. 4 — Équation avec sinus Ex. 5 — Variations sur un intervalle
Chaque exercice se traite d'abord seul, puis se corrige en cliquant sur le bouton vert. Les corrections détaillent chaque étape du raisonnement.
Exercice 1
Parité et période

On considère les fonctions cosinus et sinus.

Préciser la parité de chacune de ces fonctions et donner leur période.

Parité.

Pour tout réel $x$, $\cos(-x)=\cos(x)$ : la fonction cosinus est paire.

Pour tout réel $x$, $\sin(-x)=-\sin(x)$ : la fonction sinus est impaire.

Période.

Pour tout réel $x$, $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ : les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$.

Exercice 2
Dérivées composées

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

  1. $f(x)=\sin(3x)$
  2. $g(x)=\cos(x^2+1)$

a. Formule $(\sin u)'=u'\cos u$ avec $u(x)=3x$, $u'(x)=3$.

\[ f'(x)=3\cos(3x). \]

b. Formule $(\cos u)'=-u'\sin u$ avec $u(x)=x^2+1$, $u'(x)=2x$.

\[ g'(x)=-2x\sin(x^2+1). \]
Exercice 3
Équation avec cosinus

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\cos(x)=-\dfrac{1}{2}$.

On écrit $-\dfrac{1}{2}$ comme un cosinus d'angle connu.

On sait que $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$, donc l'équation devient $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

On applique la résolution de $\cos x=\cos a$.

\[ \cos(x)=\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) \iff x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \ \text{ ou } \ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \]
Exercice 4
Équation avec sinus

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

On écrit $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ comme un sinus d'angle connu.

On sait que $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc l'équation devient $\sin(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

On applique la résolution de $\sin x=\sin a$.

\[ \sin(x)=\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) \iff x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \text{ ou } \ x=\pi-\frac{\pi}{3}+2k\pi=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}. \]
Exercice 5
Variations sur un intervalle

On considère la fonction sinus sur l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Étudier les variations de la fonction sinus sur cet intervalle.

On étudie le signe de la dérivée.

$\sin'(x)=\cos(x)$, et sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\cos(x)\geqslant 0$.

On en déduit les variations.

Comme $\sin'(x)\geqslant 0$ sur tout l'intervalle, la fonction sinus est croissante sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, de $\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ à $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$.