Terminale · Physique-chimie · Chapitre 14

Diffraction et interférences

Exercices corrigés — angle de diffraction, tache centrale, différence de marche et interfrange.

Ex. 1 — Diffraction par une fente Ex. 2 — Mesurer un cheveu par diffraction Ex. 3 — Interférences à la surface de l'eau Ex. 4 — Trous d'Young Ex. 5 — Diffraction ou interférences ?

Rappels : diffraction par une fente de largeur \(a\) — angle caractéristique \(\theta = \dfrac{\lambda}{a}\) (en radians) et largeur de la tache centrale \(L = \dfrac{2\lambda D}{a}\). Interférences — différence de marche \(\delta = |S_2M - S_1M|\) ; constructives si \(\delta = k\lambda\), destructives si \(\delta = \left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda\). Trous d'Young distants de \(b\) : \(\delta = \dfrac{bx}{D}\) et interfrange \(i = \dfrac{\lambda D}{b}\).

Exercice 1

Diffraction par une fente

Un laser vert de longueur d'onde \(\lambda = 532\) nm éclaire une fente verticale de largeur \(a = 80\) µm. Un écran est placé à \(D = 3{,}0\) m.

Calculer l'angle caractéristique de diffraction, en radians puis en degrés.
Calculer la largeur de la tache centrale sur l'écran.
On remplace la fente par une autre, de largeur \(a' = 40\) µm. Que devient la tache centrale ?
Le faisceau du laser, sans fente, a un diamètre de \(2\) mm. Observerait-on de la diffraction ? Justifier.

a. On applique la définition de l'angle caractéristique, en veillant aux unités.

\[ \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{532\times 10^{-9}}{80\times 10^{-6}} = 6{,}7\times 10^{-3}\ \text{rad} \]

\[ \theta = 6{,}7\times 10^{-3}\times\frac{180}{\pi} = 0{,}38\ \text{^{\circ}} \]

⚠ La relation \(\theta = \lambda/a\) ne donne un résultat correct que si \(\lambda\) et \(a\) sont dans la même unité, et l'angle obtenu est en radians.

b. La tache centrale a pour demi-largeur \(D\theta\), donc pour largeur totale \(L = 2D\theta\).

\[ L = \frac{2\lambda D}{a} = \frac{2\times 532\times 10^{-9}\times 3{,}0}{80\times 10^{-6}} = 4{,}0\times 10^{-2}\ \text{m} = 4{,}0\ \text{cm} \]

c. On lit la relation comme une proportionnalité inverse.

\(L\) est inversement proportionnelle à \(a\) : diviser la largeur de la fente par deux double la tache centrale, qui atteint \(8{,}0\) cm.

💡 C'est le comportement caractéristique de la diffraction : plus l'ouverture est fine, plus l'onde s'étale. Si vous trouvez l'inverse, vous avez inversé la fraction.

d. On compare la taille de l'ouverture à la longueur d'onde.

\[ \frac{a}{\lambda} = \frac{2\times 10^{-3}}{532\times 10^{-9}} = 3{,}8\times 10^{3} \]

L'ouverture est près de quatre mille fois plus grande que la longueur d'onde. L'angle de diffraction vaudrait \(\theta = 2{,}7\times 10^{-4}\) rad, soit un élargissement de \(1{,}6\) mm à \(3\) m — négligeable devant les \(2\) mm du faisceau.

Conclusion : la diffraction est indétectable. Elle n'est notable que lorsque \(a\) est du même ordre de grandeur que \(\lambda\), ou au plus quelques centaines de fois plus grande.

Exercice 2

Mesurer un cheveu par diffraction

On tend un cheveu à la verticale devant un laser rouge (\(\lambda = 633\) nm) et on observe la figure de diffraction sur un écran situé à \(D = 2{,}5\) m. On mesure une tache centrale de largeur \(L = 3{,}2\) cm.

Un obstacle donne-t-il la même figure qu'une fente de même largeur ? Justifier l'utilisation de la relation du cours.
Calculer le diamètre du cheveu.
Estimer l'incertitude relative sur ce diamètre si \(L\) est mesurée à \(2\) mm près.
Pourquoi mesure-t-on la tache centrale plutôt qu'une tache latérale ?

a. On invoque la propriété des figures de diffraction complémentaires.

Oui : un obstacle de largeur \(a\) et une fente de largeur \(a\) donnent la même figure de diffraction, hormis au centre. C'est le principe de Babinet, admis ici. On peut donc appliquer \(L = \dfrac{2\lambda D}{a}\) en prenant pour \(a\) le diamètre du cheveu.

b. On isole \(a\).

\[ a = \frac{2\lambda D}{L} = \frac{2\times 633\times 10^{-9}\times 2{,}5}{3{,}2\times 10^{-2}} = 9{,}9\times 10^{-5}\ \text{m} \]

Soit environ \(99\) µm, ou \(0{,}099\) mm. ✔ L'ordre de grandeur est cohérent : un cheveu humain mesure entre \(50\) et \(100\) µm.

c. On relie les incertitudes relatives.

Comme \(a\) est inversement proportionnelle à \(L\), l'incertitude relative se transmet à l'identique :

\[ \frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{0{,}2}{3{,}2} = 6{,}3\times 10^{-2} = 6\ \% \]

\[ \Delta a = 0{,}063\times 99 = 6\ \mu\text{m} \qquad a = (99 \pm 6)\ \mu\text{m} \]

d. On raisonne sur la précision relative de la mesure.

La tache centrale est deux fois plus large que les taches latérales et bien plus lumineuse, donc ses bords sont plus faciles à repérer. Mesurer une grandeur plus grande avec la même incertitude absolue donne une incertitude relative plus faible.

💡 Même logique qu'au chapitre sur les interférences, où l'on mesure dix interfranges plutôt qu'un seul : on augmente la grandeur mesurée pour réduire l'incertitude relative.

Exercice 3

Interférences à la surface de l'eau

Dans une cuve à ondes, deux pointes \(S_1\) et \(S_2\) vibrent en phase à la fréquence \(f = 25\) Hz. Les ondes se propagent à la célérité \(v = 0{,}30\) m·s⁻¹.

Calculer la longueur d'onde.
Un point \(M\) est tel que \(S_1M = 8{,}4\) cm et \(S_2M = 12{,}0\) cm. Déterminer la nature des interférences en \(M\).
Un point \(N\) vérifie \(S_1N = 6{,}0\) cm et \(S_2N = 12{,}6\) cm. Même question.
Que se passerait-il si les deux pointes n'avaient pas exactement la même fréquence ?

a. On applique la relation qui lie célérité, fréquence et longueur d'onde.

\[ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{0{,}30}{25} = 1{,}2\times 10^{-2}\ \text{m} = 1{,}2\ \text{cm} \]

b. On calcule la différence de marche, puis on la compare à \(\lambda\).

\[ \delta = |S_2M - S_1M| = 12{,}0 - 8{,}4 = 3{,}6\ \text{cm} \]

\[ \frac{\delta}{\lambda} = \frac{3{,}6}{1{,}2} = 3{,}0 \]

Le rapport est un entier (\(k = 3\)) : les interférences sont constructives. Les deux ondes arrivent en phase et l'amplitude de vibration de la surface est maximale en \(M\).

c. Même méthode.

\[ \delta' = 12{,}6 - 6{,}0 = 6{,}6\ \text{cm} \qquad \frac{\delta'}{\lambda} = \frac{6{,}6}{1{,}2} = 5{,}5 \]

Le rapport est un demi-entier (\(k = 5\), avec \(\delta' = 5{,}5\,\lambda\)) : les interférences sont destructives. Les ondes arrivent en opposition de phase et s'annulent : la surface reste immobile en \(N\).

💡 La méthode est toujours la même : calculer \(\delta/\lambda\) et regarder si l'on tombe sur un entier ou sur un demi-entier. Aucun autre cas n'est demandé au programme.

d. On revient à la condition d'observation des interférences.

Le phénomène exige des sources synchrones (même fréquence) et cohérentes (déphasage constant dans le temps).

Avec deux fréquences différentes, le déphasage entre les deux ondes en un point donné varierait continûment. Un point donné passerait alternativement par des interférences constructives et destructives, bien trop vite pour l'œil : la figure d'interférences disparaîtrait, remplacée par une agitation uniforme.

🚨 C'est aussi pourquoi on ne peut pas faire interférer deux lampes distinctes : leurs émissions sont incohérentes. Le dispositif des trous d'Young contourne le problème en divisant une seule source en deux.

Exercice 4

Trous d'Young

Deux fentes distantes de \(b = 0{,}25\) mm sont éclairées par un laser de longueur d'onde inconnue. Sur un écran placé à \(D = 1{,}8\) m, on mesure une distance de \(34\) mm entre la première et la neuvième frange brillante.

En déduire l'interfrange.
Calculer la longueur d'onde du laser. De quelle couleur est-il ?
Déterminer la nature des interférences au point d'abscisse \(x = 6{,}4\) mm.
On écarte l'écran jusqu'à \(D' = 2{,}5\) m. Que devient l'interfrange ? Et si l'on rapproche les deux fentes ?

a. Attention au décompte : entre la 1^re et la 9^e frange, il y a 8 interfranges, pas 9.

\[ i = \frac{34}{8} = 4{,}25\ \text{mm} \]

🚨 C'est l'erreur classique. On compte les intervalles, pas les franges : neuf poteaux délimitent huit portées.

b. On isole \(\lambda\) dans l'expression de l'interfrange.

\[ i = \frac{\lambda D}{b} \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda = \frac{i\,b}{D} = \frac{4{,}25\times 10^{-3}\times 0{,}25\times 10^{-3}}{1{,}8} \]

\[ \lambda = 5{,}9\times 10^{-7}\ \text{m} = 590\ \text{nm} \]

Une longueur d'onde de \(590\) nm correspond au domaine du jaune-orangé. ✔ La valeur est bien comprise dans le domaine visible (\(400\) à \(800\) nm), ce qui valide le calcul.

c. On calcule la différence de marche, puis on la compare à \(\lambda\).

\[ \delta = \frac{b\,x}{D} = \frac{0{,}25\times 10^{-3}\times 6{,}4\times 10^{-3}}{1{,}8} = 8{,}9\times 10^{-7}\ \text{m} \]

\[ \frac{\delta}{\lambda} = \frac{8{,}89\times 10^{-7}}{5{,}90\times 10^{-7}} = 1{,}5 \]

Demi-entier : les interférences sont destructives, le point est au centre d'une frange sombre.

Contrôle : \(x = 6{,}4\) mm vaut \(1{,}5\,i\) avec \(i = 4{,}25\) mm. Un multiple demi-entier de l'interfrange tombe bien entre deux franges brillantes. ✔

d. On lit \(i = \dfrac{\lambda D}{b}\) comme une double proportionnalité.

Écran plus loin : \(i\) est proportionnelle à \(D\).

\[ i' = i\times\frac{D'}{D} = 4{,}25\times\frac{2{,}5}{1{,}8} = 5{,}9\ \text{mm} \]

Fentes plus proches : \(i\) est inversement proportionnelle à \(b\). Rapprocher les fentes écarte les franges.

💡 Les deux leviers vont dans le même sens pratique : pour obtenir une figure plus étalée, donc plus facile à mesurer, on éloigne l'écran et on rapproche les fentes.

Exercice 5

Diffraction ou interférences ?

Un professeur réalise deux expériences avec le même laser (\(\lambda = 633\) nm) et le même écran placé à \(D = 2{,}0\) m.

Expérience 1 : une fente unique. On observe une tache centrale large de \(2{,}5\) cm.
Expérience 2 : deux fentes. On observe des franges régulières espacées de \(4{,}2\) mm.

Identifier le phénomène en jeu dans chaque expérience et calculer la dimension caractéristique du dispositif utilisé.
Un élève affirme : « dans l'expérience 2, il n'y a que des interférences ». Que lui répondre ?
On remplace le laser rouge par un laser bleu (\(\lambda = 450\) nm). Calculer les nouvelles valeurs de \(L\) et de \(i\).
Que verrait-on avec une lumière blanche dans l'expérience 2 ?

a. On identifie le dispositif à partir de la figure observée, puis on applique la relation correspondante.

Expérience 1 — diffraction par une fente unique de largeur \(a\) :

\[ a = \frac{2\lambda D}{L} = \frac{2\times 633\times 10^{-9}\times 2{,}0}{2{,}5\times 10^{-2}} = 1{,}0\times 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}10\ \text{mm} \]

Expérience 2 — interférences par deux fentes distantes de \(b\) :

\[ b = \frac{\lambda D}{i} = \frac{633\times 10^{-9}\times 2{,}0}{4{,}2\times 10^{-3}} = 3{,}0\times 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}30\ \text{mm} \]

🚨 Ne pas confondre : \(a\) est la largeur d'une fente, \(b\) l'écart entre deux fentes. Et la relation de diffraction porte un facteur 2 que celle de l'interfrange n'a pas.

b. On réfléchit à ce qui se passe au niveau de chaque fente.

L'élève a tort, ou du moins il simplifie. Chacune des deux fentes est elle-même très étroite : la lumière y est donc diffractée. C'est même indispensable — sans diffraction, les deux faisceaux resteraient rectilignes et ne se recouvriraient jamais sur l'écran.

Les deux phénomènes coexistent : la diffraction par chaque fente étale la lumière et crée une large tache centrale ; les interférences entre les deux faisceaux découpent cette tache en franges régulières.

💡 C'est pour cela qu'on observe des franges dont l'intensité décroît quand on s'éloigne du centre : l'enveloppe est celle de la diffraction, les franges sont dues aux interférences.

c. Les deux grandeurs sont proportionnelles à \(\lambda\).

\[ L' = L\times\frac{\lambda'}{\lambda} = 2{,}5\times\frac{450}{633} = 1{,}8\ \text{cm} \]

\[ i' = i\times\frac{\lambda'}{\lambda} = 4{,}2\times\frac{450}{633} = 3{,}0\ \text{mm} \]

La lumière bleue, de plus courte longueur d'onde, donne une figure plus resserrée : elle se diffracte moins.

d. On raisonne sur la superposition des figures de toutes les longueurs d'onde.

La lumière blanche contient toutes les longueurs d'onde du visible. Chacune donne son propre système de franges, avec un interfrange proportionnel à \(\lambda\).

Au centre (\(x = 0\)), la différence de marche est nulle pour toutes les longueurs d'onde : la frange centrale est blanche. En s'écartant, les systèmes se décalent progressivement, ce qui produit des franges irisées — bleues du côté intérieur, rouges du côté extérieur. Plus loin encore, tout se brouille et l'écran redevient blanchâtre.