On considère l'ensemble $E=\{a\,;b\,;c\,;d\}$.
Déterminer le nombre de parties de l'ensemble $E$.
On applique la formule du nombre de parties.
Un ensemble à $n$ éléments possède $2^{n}$ parties. Ici $E$ a $4$ éléments.
L'ensemble $E$ possède donc $16$ parties.
On forme un mot de passe de $3$ caractères, chaque caractère étant une lettre choisie parmi les $26$ lettres de l'alphabet, avec répétitions possibles.
Déterminer le nombre de mots de passe possibles.
On identifie une situation de $p$-uplets.
Chaque position offre $26$ choix, indépendamment des autres : il s'agit de $3$-uplets d'un ensemble à $26$ éléments.
Il y a donc $17\,576$ mots de passe possibles.
On considère le mot $\text{MATHS}$, formé de $5$ lettres distinctes.
Déterminer le nombre d'anagrammes de ce mot (mots, ayant un sens ou non, obtenus en permutant les lettres).
On reconnaît un problème de permutations.
Il s'agit de ranger les $5$ lettres distinctes dans un ordre : le nombre d'anagrammes est le nombre de permutations de $5$ éléments.
Le mot $\text{MATHS}$ possède $120$ anagrammes.
Une course oppose $12$ chevaux. On s'intéresse au tiercé dans l'ordre, c'est-à-dire aux $3$ premiers chevaux classés dans l'ordre d'arrivée.
Déterminer le nombre de tiercés possibles.
On reconnaît un arrangement (choix ordonné, sans répétition).
On choisit $3$ chevaux parmi $12$ en tenant compte de l'ordre : le nombre de tiercés est $\dfrac{12!}{(12-3)!}$.
Il y a donc $1\,320$ tiercés possibles.
Un club de $10$ personnes doit élire un comité de $3$ membres (sans distinction de rôle).
a. On reconnaît une combinaison (choix sans ordre).
Il y a donc $120$ comités possibles.
b. On utilise la propriété de symétrie.
Choisir les $3$ membres revient à choisir les $7$ personnes écartées, ce que traduit la symétrie $\dbinom{10}{7}=\dbinom{10}{3}$.