Thermodynamique
Une bouteille de plongée de volume \(V = 12{,}0\) L contient \(n = 96\) mol d'air, à la température \(\theta = 20\) °C.
- Calculer la pression de l'air dans la bouteille.
- Un plongeur laisse sa bouteille au soleil : la température monte à 45 °C. Calculer la nouvelle pression.
- Le fabricant garantit la bouteille jusqu'à \(250\) bar (\(1\) bar \(= 1{,}0\times 10^{5}\) Pa). Y a-t-il un danger ?
- Le modèle du gaz parfait est-il bien adapté à cette situation ? Justifier.
a. On convertit d'abord en unités du système international, en particulier la température en kelvins.
Soit environ \(190\) bar : c'est bien l'ordre de grandeur d'une bouteille de plongée gonflée. ✔
b. Le volume et la quantité de matière ne changent pas : \(P\) et \(T\) sont proportionnelles.
💡 Le raisonnement par proportionnalité évite de recalculer tout : c'est possible parce que \(V\) et \(n\) sont constants.
c. On compare à la limite du fabricant.
\(210\) bar reste inférieur à \(250\) bar : la bouteille tient. Mais la marge n'est plus que de \(19\ \%\), alors qu'elle était de \(32\ \%\) à l'ombre.
🚨 Une exposition plus forte — un coffre de voiture en plein été peut dépasser \(60\) °C — donnerait \(P = 1{,}95\times 10^{7}\times \dfrac{333}{293} = 222\) bar, et le danger deviendrait réel. C'est pourquoi on ne laisse jamais une bouteille au soleil.
d. On confronte les hypothèses du modèle à la situation.
Le modèle suppose des entités ponctuelles et sans interaction. Or à \(190\) bar, les molécules sont très resserrées : leur volume propre n'est plus négligeable devant le volume offert, et les interactions ne le sont pas non plus.
Le calcul reste un bon ordre de grandeur, mais l'écart au comportement réel peut atteindre plusieurs pour cent. Le modèle est d'autant plus fidèle que la pression est faible et la température élevée.
On veut chauffer \(200\) L d'eau d'un ballon sanitaire de \(15\) °C à \(60\) °C. La résistance chauffante a une puissance \(\mathcal{P} = 2{,}4\) kW.
- Calculer l'énergie à fournir à l'eau.
- En déduire la durée théorique du chauffage.
- En réalité, le chauffage dure 4 h 30. Calculer le rendement de l'installation et proposer une explication.
- Écrire le premier principe pour l'eau du ballon en précisant les termes nuls.
a. L'eau est un système incompressible : \(\Delta U = m\,c\,\Delta T\).
⚠ Un écart de température est identique en °C et en K : aucune conversion n'est nécessaire ici.
b. On applique \(Q = \mathcal{P}\,\Delta t\).
c. On compare énergie utile et énergie consommée.
Explication : une petite partie de l'énergie sert à chauffer la cuve elle-même, et surtout le ballon perd en permanence de la chaleur vers la pièce par sa paroi. 💡 Un rendement de \(97\ \%\) est excellent — c'est pourquoi les ballons sont fortement isolés.
d. On applique le premier principe en identifiant chaque terme.
L'eau est incompressible et ne subit aucune variation de volume : elle ne reçoit aucun travail, donc \(W = 0\). Le premier principe se réduit à :
Le terme \(\Delta U\) décrit la variation de l'état de l'eau ; le terme \(Q\) décrit un échange avec la résistance chauffante. Ce ne sont pas des grandeurs de même nature.
Une paroi de \(S = 25\) m² sépare une pièce à \(19\) °C de l'extérieur à \(2\) °C. Elle est constituée de \(18\) cm de parpaing (\(\lambda_1 = 0{,}90\) W·m⁻¹·K⁻¹).
- Calculer la résistance thermique de la paroi, puis le flux thermique perdu.
- Quelle énergie est perdue en 24 heures ?
- On ajoute \(12\) cm de laine de roche (\(\lambda_2 = 0{,}038\) W·m⁻¹·K⁻¹). Calculer le nouveau flux.
- Par quel mode de transfert la chaleur traverse-t-elle la paroi ? Citer les deux autres modes en les illustrant dans cette maison.
a. On applique \(R_{\mathrm{th}} = \dfrac{e}{\lambda S}\), puis \(\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}\).
Plus de \(2\) kW perdus par cette seule paroi : c'est l'équivalent d'un gros radiateur qui fonctionnerait en permanence.
b. On utilise \(E = \Phi\,\Delta t\).
💡 Soit \(51\) kW·h par jour pour un seul mur — de quoi comprendre l'intérêt de la question suivante.
c. Les résistances thermiques en série s'additionnent.
Le flux est divisé par 16. 🚨 Remarquez que \(R_2\) représente à lui seul \(94\ \%\) de la résistance totale : c'est l'isolant, et non le mur porteur, qui fait tout le travail. Un mur épais mais non isolé isole très mal.
d. On identifie le mode de transfert dans un solide, puis les deux autres.
Dans la paroi : conduction. L'énergie se transmet de proche en proche, sans déplacement de matière.
Convection : l'air chaud du radiateur monte, se refroidit au contact des murs et redescend, ce qui brasse et chauffe toute la pièce — il y a bien déplacement de matière.
Rayonnement : le Soleil chauffe la pièce à travers les vitres, par ondes électromagnétiques et sans aucun support matériel.
La Terre reçoit du Soleil une puissance surfacique \(S_0 = 1361\) W·m⁻² et possède un albédo \(A = 0{,}30\). On assimile la Terre à un corps noir de rayon \(R_T\).
- Exprimer la puissance solaire absorbée par la Terre, puis la puissance qu'elle rayonne. Justifier la présence d'un facteur 4.
- En déduire la température d'équilibre. Comparer à la valeur réelle de \(15\) °C.
- Quel phénomène explique l'écart ? Décrire son mécanisme.
- La fonte des glaces fait passer l'albédo de \(0{,}30\) à \(0{,}28\). Calculer la nouvelle température d'équilibre et commenter.
a. On distingue soigneusement la surface qui reçoit de celle qui émet.
La Terre intercepte le rayonnement solaire sur son disque, de surface \(\pi R_T^{2}\), et n'en absorbe que la fraction \((1-A)\) :
Elle rayonne en revanche par toute sa sphère, de surface \(4\pi R_T^{2}\) :
Le facteur 4 est donc purement géométrique : une sphère a une surface quatre fois plus grande que le disque de même rayon.
b. À l'équilibre thermique, les deux puissances sont égales et \(\pi R_T^{2}\) se simplifie.
Soit \(255 - 273 = -18\) °C, alors que la température moyenne réelle est de \(+15\) °C. Le modèle sous-estime de 33 °C.
c. On identifie le terme manquant dans le bilan.
L'écart s'explique par l'effet de serre. Les gaz à effet de serre (vapeur d'eau, \(\mathrm{CO_2}\), méthane) sont transparents au rayonnement solaire visible, qui atteint donc le sol, mais ils absorbent le rayonnement infrarouge réémis par la surface terrestre.
Ils le réémettent ensuite dans toutes les directions, dont une partie vers le sol. La surface reçoit ainsi de l'énergie en plus de celle du Soleil, ce qui élève sa température d'équilibre.
💡 Sans effet de serre naturel, la Terre serait à \(-18\) °C : l'eau y serait gelée en permanence et la vie telle que nous la connaissons impossible.
d. On refait le calcul avec le nouvel albédo.
Commentaire : une baisse d'albédo de seulement \(0{,}02\) suffit à réchauffer de près de \(2\) °C. Or c'est précisément ce que provoque la fonte des glaces, qui remplace une surface blanche très réfléchissante par de l'océan sombre.
🚨 C'est une rétroaction positive : le réchauffement fait fondre les glaces, ce qui abaisse l'albédo, ce qui amplifie le réchauffement. Le système s'auto-entretient.
Un thermomètre indique \(\theta_0 = 78\) °C pour une tasse de thé posée dans une pièce à \(\theta_e = 21\) °C. On relève ensuite :
| \(t\) (min) | \(0\) | \(5\) | \(10\) | \(15\) | \(20\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\theta\) (°C) | \(78\) | \(62\) | \(50\) | \(41\) | \(35\) |
- Établir l'équation différentielle vérifiée par \(\theta(t)\) à partir du premier principe et de la loi de Newton \(\Phi = h\,S\,(\theta - \theta_e)\).
- Vérifier que \(\theta(t) = \theta_e + (\theta_0 - \theta_e)\,e^{-t/\tau}\) est solution.
- Déterminer \(\tau\) à partir des mesures.
- Au bout de combien de temps le thé sera-t-il à \(30\) °C ? Quelle est sa température limite ?
a. On écrit le premier principe pendant une durée \(\mathrm{d}t\), pour le thé assimilé à un système incompressible.
Le thé ne reçoit aucun travail. Il cède l'énergie \(\Phi\,\mathrm{d}t\), donc il reçoit \(\delta Q = -\Phi\,\mathrm{d}t\) :
On divise par \(m\,c\,\mathrm{d}t\) et on pose \(\tau = \dfrac{m\,c}{h\,S}\) :
b. On dérive la solution proposée et on reporte.
On retrouve le second membre. ✔ Et \(\theta(0) = \theta_e + (\theta_0 - \theta_e) = \theta_0\) : la condition initiale est respectée.
c. On exploite le repère caractéristique : à \(t = \tau\), l'écart de température est réduit à \(37\ \%\) de sa valeur initiale.
Sur le tableau, \(42\) °C est atteint entre \(t = 10\) min (\(50\) °C) et \(t = 15\) min (\(41\) °C), très près de \(15\) min. On retient \(\tau \approx 14\) min.
Contrôle par une autre mesure, à \(t = 10\) min :
La mesure donne \(50\) °C : l'accord est bon. ✔
d. On résout l'équation \(\theta(t) = 30\) °C.
Température limite : quand \(t \rightarrow \infty\), le terme exponentiel tend vers zéro et \(\theta \rightarrow \theta_e = 21\) °C.
💡 Le thé ne peut évidemment pas descendre sous la température de la pièce : le transfert thermique s'arrête exactement quand les deux températures sont égales. C'est le sens physique de l'asymptote.