On considère les fonctions définies sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\ln x$ et $F(x)=x\ln x-x$.
Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
On dérive $F$ en utilisant la dérivée d'un produit.
Comme $F'(x)=\ln x=f(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, la fonction $F$ est bien une primitive de $f$.
On considère la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=4x^3-\dfrac{2}{x}+e^{x}$.
Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0\,;+\infty[$.
On primitive chaque terme séparément.
Une primitive de $4x^3$ est $x^4$ ; une primitive de $\dfrac{2}{x}$ est $2\ln x$ (car $x>0$) ; une primitive de $e^{x}$ est $e^{x}$.
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes.
a. Forme $u'e^{u}$ avec $u(x)=x^2$, $u'(x)=2x$.
b. Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+2x+3$, $u'(x)=2x+2$.
Le dénominateur vérifie $x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0$, donc $u>0$ et une primitive est $\ln u$.
On considère l'équation différentielle $y'=3y$.
a. Solutions générales.
Les solutions de $y'=ay$ avec $a=3$ sont les fonctions $x\mapsto K\,e^{3x}$, $K\in\mathbb{R}$.
b. On utilise la condition initiale.
On cherche $f(x)=K\,e^{3x}$ avec $f(0)=5$ :
La solution cherchée est $f(x)=5\,e^{3x}$.
On considère l'équation différentielle $y'=2y+6$.
a. Solutions générales.
Ici $a=2$ et $b=6$, donc la solution particulière constante est $-\dfrac{b}{a}=-3$. Les solutions sont :
b. On utilise la condition initiale.
La solution cherchée est $f(x)=-3+4\,e^{2x}$.