On donne le point $A(2\,;-1\,;3)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$.
On applique la définition avec $A(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$.
On considère la droite $\begin{cases} x=1+2k \\ y=-1+k \\ z=4-3k \end{cases}$, avec $k\in\mathbb{R}$.
Déterminer si le point $D(3\,;1\,;1)$ appartient à cette droite.
On cherche le paramètre $k$ à partir de la première coordonnée.
$1+2k=3 \iff k=1$.
On teste cette valeur sur les deux autres coordonnées.
Pour $k=1$ : $y=-1+1=0$, or $D$ a pour ordonnée $1$. L'égalité $y=1$ n'est pas vérifiée.
Le point $D(3\,;1\,;1)$ n'appartient pas à la droite.
Le plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$ et passe par le point $A(2\,;1\,;0)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
On écrit l'équation à partir du vecteur normal.
Le plan a une équation de la forme $x-2y+2z+d=0$.
On détermine $d$ avec le point $A$.
Une équation cartésienne est $x-2y+2z=0$.
Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(1\,;0\,;0)$ et est dirigé par $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
On cherche un vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.
En choisissant $a=1$, on obtient $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}$.
On détermine $d$ avec le point $A(1\,;0\,;0)$.
Une équation cartésienne est $x-2y-z-1=0$.
On considère la droite $\begin{cases} x=2+k \\ y=-1+2k \\ z=k \end{cases}$ et le plan d'équation $2x-y+z-3=0$.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection.
On remplace $x$, $y$, $z$ en fonction de $k$ dans l'équation du plan.
On reporte $k=-2$ dans la représentation paramétrique.
$x=2+(-2)=0$, $\ y=-1+2\times(-2)=-5$, $\ z=-2$.
Le point d'intersection est $I(0\,;-5\,;-2)$.