Circuits électriques
On charge un condensateur de capacité \(C = 470\) nF à travers un conducteur ohmique \(R = 2{,}2\) kΩ, à l'aide d'une source idéale de tension \(E = 5{,}0\) V. Le condensateur est initialement déchargé.
- Calculer le temps caractéristique du dipôle RC.
- Au bout de combien de temps peut-on considérer la charge terminée ?
- Calculer la tension aux bornes du condensateur à \(t = \tau\), puis la charge finale emmagasinée.
- Calculer l'intensité juste après la fermeture de l'interrupteur, puis en régime permanent.
a. On convertit d'abord dans les unités du système international.
💡 Contrôle mental : \(\mathrm{k}\Omega \times \mu\mathrm{F} = \mathrm{ms}\). Ici \(2{,}2 \times 0{,}47 = 1{,}0\) ms. ✔
b. On utilise le repère à \(5\tau\).
À cet instant, la tension a atteint \(99\ \%\) de \(E\) : on considère le régime permanent établi.
c. On applique la solution de l'équation différentielle à \(t = \tau\).
En régime permanent, \(u_C = E = 5{,}0\) V, d'où la charge :
d. On raisonne sur les deux régimes extrêmes.
À \(t = 0\), le condensateur est déchargé donc \(u_C = 0\) : toute la tension \(E\) se retrouve aux bornes de \(R\).
En régime permanent, \(u_C\) est constante, donc \(\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = 0\) et :
🚨 Le condensateur chargé se comporte alors comme un interrupteur ouvert : plus aucun courant ne circule, alors que la tension à ses bornes est maximale.
On enregistre à l'oscilloscope la charge d'un condensateur inconnu à travers \(R = 15\) kΩ, sous \(E = 12\) V. Sur la courbe obtenue :
- la tangente à l'origine coupe l'asymptote \(u_C = 12\) V à l'abscisse \(t = 30\) ms ;
- la tension atteint \(12\) V (à la précision de lecture près) vers \(t = 150\) ms.
- Déduire le temps caractéristique de chacune de ces deux observations. Sont-elles cohérentes ?
- Quelle tension lit-on à \(t = 30\) ms ? Vérifier sur la courbe que c'est bien un troisième moyen de déterminer \(\tau\).
- En déduire la capacité du condensateur.
- On remplace \(R\) par \(30\) kΩ. Que deviennent \(\tau\) et la tension finale ?
a. On applique les deux repères graphiques du cours.
Tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote \(u_C = E\) à l'abscisse \(t = \tau\), donc \(\tau = 30\) ms.
Régime permanent : il est atteint à \(t = 5\tau\), donc \(\tau = \dfrac{150}{5} = 30\) ms.
Les deux déterminations donnent la même valeur : elles sont cohérentes. ✔
b. On applique la solution à \(t = \tau\).
Réciproquement, on peut donc chercher sur la courbe l'abscisse du point d'ordonnée \(0{,}63\,E = 7{,}6\) V : on retrouve \(\tau = 30\) ms. C'est le troisième moyen de lecture, et le plus rapide en pratique.
c. On inverse la relation \(\tau = RC\).
Ordre de grandeur classique pour un condensateur d'électronique. ✔
d. On distingue soigneusement ce que \(R\) influence et ce qu'il n'influence pas.
Doubler \(R\) double le temps caractéristique : \(\tau = 60\) ms. La charge dure donc deux fois plus longtemps.
En revanche, la tension finale reste \(u_C = E = 12\) V : elle ne dépend que du générateur.
💡 À retenir : \(R\) et \(C\) fixent la durée, \(E\) fixe la valeur finale. Ce sont deux questions indépendantes.
Un condensateur de capacité \(C\), initialement déchargé, est relié en série à un conducteur ohmique \(R\) et à une source idéale de tension \(E\). On ferme l'interrupteur à \(t = 0\).
- Établir l'équation différentielle vérifiée par \(u_C(t)\).
- Vérifier que \(u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\), avec \(\tau = RC\), est bien solution.
- Vérifier que cette solution respecte la condition initiale.
- En déduire l'expression de \(i(t)\) et décrire son évolution.
a. On enchaîne loi des mailles et lois des dipôles.
Loi des mailles dans le circuit série : \(E = u_R + u_C\).
Lois des dipôles : \(u_R = R\,i\) pour le conducteur ohmique, et \(i = C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\) pour le condensateur en convention récepteur. On substitue :
b. On dérive la solution proposée, puis on reporte dans l'équation.
On reporte dans le membre de gauche \(RC\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C\), en utilisant \(RC = \tau\) :
On retrouve bien le second membre : la fonction proposée est solution. ✔
c. On évalue la solution à l'instant initial.
Le condensateur est bien déchargé à \(t = 0\). ✔
🚨 Cette vérification n'est pas décorative : c'est la condition initiale qui détermine la constante d'intégration. Et elle est physiquement imposée, puisque \(u_C\) ne peut jamais subir de discontinuité — il faudrait une intensité infinie.
d. On applique la relation du condensateur.
L'intensité est maximale à \(t = 0\), où elle vaut \(E/R\) : le condensateur vide ne s'oppose à rien, il se comporte comme un fil. Elle décroît ensuite exponentiellement et tend vers zéro.
💡 Remarquez la symétrie : \(u_C\) croît vers \(E\) pendant que \(i\) décroît vers \(0\), avec exactement le même temps caractéristique \(\tau\).
Un condensateur \(C = 100\) µF a été chargé sous \(E = 9{,}0\) V. À \(t = 0\), on le relie à un conducteur ohmique \(R = 5{,}0\) kΩ, sans générateur.
- Établir l'équation différentielle de la décharge et donner sa solution.
- Calculer le temps caractéristique, puis la tension à \(t = \tau\).
- Au bout de combien de temps la tension descend-elle à \(1{,}0\) V ?
- Un technicien veut décharger ce condensateur en moins d'une seconde. Que doit-il modifier ?
a. La maille ne contient plus que \(R\) et \(C\) : le second membre devient nul.
L'équation étant sans second membre, la solution est une exponentielle pure \(u_C = A\,e^{-t/\tau}\). La condition initiale \(u_C(0) = E\) donne \(A = E\) :
b. On calcule \(\tau\) après conversion, puis on applique la solution.
Il reste \(37\ \%\) de la tension initiale — le repère caractéristique de la décharge.
c. On résout l'équation \(u_C(t) = 1{,}0\) V.
✔ Cohérent : \(1{,}1\) s représente un peu plus de \(2\tau\), et la courbe est déjà bien descendue à cet instant.
d. On identifie le seul paramètre sur lequel il peut agir.
La durée de décharge est fixée par \(\tau = RC\). La capacité \(C\) étant celle du composant à décharger, il ne peut jouer que sur \(R\) : il faut diminuer la résistance.
Pour que la décharge soit pratiquement complète en \(1{,}0\) s, il faut \(5\tau \leqslant 1{,}0\) s, soit \(\tau \leqslant 0{,}20\) s :
🚨 Attention toutefois : diminuer \(R\) augmente l'intensité initiale \(i(0) = E/R\), donc la puissance dissipée. Une résistance trop faible chaufferait dangereusement — c'est un compromis, pas une optimisation libre.
Une cuve est équipée d'une sonde formée de deux armatures verticales. Quand le liquide monte entre elles, la capacité du condensateur ainsi formé augmente : elle vaut \(C = 100\) pF cuve vide et \(C = 400\) pF cuve pleine, en variant proportionnellement au niveau.
Un microcontrôleur charge ce condensateur à travers \(R = 1{,}0\) MΩ sous \(E = 3{,}3\) V, et mesure la durée \(t_m\) au bout de laquelle la tension atteint \(2{,}1\) V.
- Calculer le temps caractéristique cuve vide, puis cuve pleine.
- Montrer que la tension seuil de \(2{,}1\) V est atteinte au bout d'une durée \(t_m\) proportionnelle à \(\tau\).
- Calculer \(t_m\) dans les deux cas.
- Le microcontrôleur mesure \(t_m = 0{,}37\) ms. Quel est le niveau de remplissage de la cuve ?
a. On applique \(\tau = RC\) après conversion des picofarads.
b. On résout \(u_C(t_m) = 2{,}1\) V littéralement.
La durée mesurée est bien proportionnelle à \(\tau\), donc à \(C\), donc au niveau de liquide. 💡 Le seuil de \(2{,}1\) V a manifestement été choisi pour valoir \(63\ \%\) de \(3{,}3\) V : la mesure donne alors directement \(\tau\).
c. On applique \(t_m \approx \tau\).
d. On interpole entre les deux valeurs extrêmes, la capacité variant proportionnellement au niveau.
La cuve est remplie à 90 %.
💡 Tout l'intérêt du montage est là : un microcontrôleur ne sait pas mesurer une capacité, mais il mesure très bien une durée. Le dipôle RC convertit une grandeur physique difficile à mesurer en une grandeur facile — c'est le principe commun à tous les capteurs capacitifs, de l'écran tactile au capteur d'humidité.