Lunette astronomique

a. On raisonne sur la nature du faisceau incident.

La Lune est à \(384\,000\) km : elle est considérée à l'infini, et les rayons qui nous en parviennent sont parallèles entre eux. Une lentille convergente fait converger un tel faisceau dans son plan focal image, c'est-à-dire à la distance \(f' = 500\) mm derrière la lentille.

b. On applique la relation entre diamètre apparent et taille de l'image.

⚠ L'angle étant petit, on confond \(\tan\theta\) et \(\theta\) — à condition que \(\theta\) soit exprimé en radians.

c. On construit le rayon passant par le centre optique.

Ce rayon n'est pas dévié : il arrive au-dessus de l'axe et repart en dessous. L'image est donc renversée.

💡 C'est pourquoi une lunette astronomique donne une image à l'envers — sans importance pour observer un astre, mais gênant pour un usage terrestre, d'où l'ajout d'un redresseur dans les longues-vues.

d. On lit la relation \(|\overline{A'B'}| = f'\theta\) comme une proportionnalité.

Doubler la focale double la taille de l'image : \(9{,}0\) mm au lieu de \(4{,}5\) mm. C'est la raison pour laquelle l'objectif d'une lunette a une grande distance focale.

a. On traduit la condition afocale.

Le foyer image de l'objectif doit être confondu avec le foyer objet de l'oculaire : \(F'_1 = F_2\). L'image intermédiaire, formée dans le plan focal image de l'objectif, se trouve alors dans le plan focal objet de l'oculaire, qui la renvoie à l'infini.

b. On additionne les deux distances focales.

La lunette mesure donc environ \(83\) cm, valeur imposée presque entièrement par l'objectif.

c. On applique la relation du plan focal image.

Elle se situe dans le plan focal image de l'objectif, à \(800\) mm de celui-ci — c'est-à-dire à \(25\) mm en avant de l'oculaire, exactement dans son plan focal objet.

d. On regarde ce que devient l'image finale.

Non, la condition \(F'_1 = F_2\) n'est plus vérifiée : la lunette n'est plus afocale. L'image intermédiaire se retrouve au-delà du foyer objet de l'oculaire, qui en donne alors une image à distance finie.

Conséquence : l'œil doit accommoder pour voir net, ce qui devient rapidement fatigant. 💡 C'est précisément le rôle de la molette de mise au point d'une lunette : replacer l'oculaire pour que l'observation se fasse sans effort.

a. On applique \(G = \dfrac{f'_1}{f'_2}\) pour chaque oculaire.

Plus l'oculaire a une petite focale, plus le grossissement est grand.

b. Le grossissement est par définition le rapport des angles.

Soit environ \(46^{\circ}\) : la Lune occupe presque la moitié du champ visuel.

c. On compare le diamètre apparent obtenu au champ disponible.

\(2{,}0\) rad est quatre fois plus grand que le champ de \(0{,}50\) rad : non, on ne voit qu'une petite portion de la surface lunaire — un cratère à la fois. Il faut alors déplacer la lunette pour explorer le disque.

d. On raisonne sur les limites physiques, pas sur la formule.

Mathématiquement, il suffirait d'un oculaire de \(900/600 = 1{,}5\) mm. Mais un tel grossissement est inexploitable pour deux raisons :

• le cercle oculaire deviendrait minuscule (\(d = D/G\)), et l'image beaucoup trop sombre ;

• la turbulence de l'atmosphère et les défauts de l'instrument limitent de toute façon la finesse des détails : grossir davantage ne fait qu'agrandir une image floue.

🚨 C'est un argument commercial trompeur classique. Le grossissement utile d'une lunette est de l'ordre de deux fois le diamètre de l'objectif en millimètres — soit environ \(\times 120\) pour un objectif de \(60\) mm.

a. On revient à la définition et à sa conséquence pratique.

Le cercle oculaire est l'image de l'objectif à travers l'oculaire. Comme toute la lumière qui entre dans la lunette traverse l'objectif, et que l'oculaire en donne une image, toute cette lumière passe par le cercle oculaire.

Y placer son œil garantit donc de recueillir la totalité du faisceau et de voir tout le champ. Ailleurs, on perd de la lumière et le champ se restreint.

b. On applique la relation de conjugaison à l'oculaire, l'objet étant l'objectif.

L'objectif est situé à \(\overline{O_2O_1} = -(f'_1 + f'_2) = -825\) mm de l'oculaire.

Le cercle oculaire se trouve à environ \(26\) mm derrière l'oculaire — soit juste là où l'on place naturellement son œil. ✔

c. On utilise la relation entre le diamètre et le grossissement.

d. On refait le calcul avec le nouvel oculaire.

Le cercle oculaire (\(0{,}50\) mm) devient bien plus petit que la pupille (2 à 7 mm) : l'œil ne reçoit qu'une fraction de la lumière qu'il pourrait capter, et l'image apparaît nettement plus sombre.

💡 Il existe donc un compromis : grossir davantage rapproche les détails, mais assombrit l'image. Le meilleur oculaire n'est presque jamais le plus puissant.

a. La longueur d'une lunette afocale est la somme des deux focales.

La lunette B est plus encombrante d'environ \(20\) cm.

b. On applique \(G = f'_1/f'_2\) quatre fois.

c. On applique \(d = D/G\) et on compare à la pupille (2 à 7 mm).

Seule la configuration B + 25 mm donne un cercle oculaire (\(2{,}5\) mm) comparable à la pupille : c'est la plus lumineuse. Les autres, en particulier A + 6,0 mm avec ses \(0{,}51\) mm, donneront des images sensiblement plus sombres.

d. On cherche les configurations pour lesquelles \(\theta' = G\,\theta\) dépasse le seuil de résolution de l'œil.

Il faut \(G\,\theta \geqslant 3{,}0\times 10^{-4}\) rad, soit :

Toutes les configurations satisfont largement ce minimum. Mais pour distinguer confortablement les anneaux, il faut aller bien au-delà du seuil. Comparons les quatre :

Recommandation : la lunette B avec l'oculaire de 10 mm. Elle offre un diamètre apparent de \(1{,}7\times 10^{-2}\) rad, soit près de 60 fois le seuil de l'œil, tout en conservant un cercle oculaire de \(1{,}0\) mm — nettement plus lumineux que celui de A + 6,0 mm, qui grossit à peine plus.

💡 Le raisonnement à retenir : c'est le diamètre de l'objectif qui détermine la quantité de lumière collectée, donc la qualité réelle de l'observation. Le grossissement, lui, ne fait qu'étaler cette lumière sur une image plus grande.