Terminale · Chapitre 11

Fonctions (IV) — Logarithme népérien

Exercices corrigés — propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivées $(\ln u)'$, limites et croissances comparées.
Ex. 1 — Propriétés algébriques Ex. 2 — Équations Ex. 3 — Dérivées avec ln Ex. 4 — Limites et croissances comparées Ex. 5 — Équation avec domaine
Chaque exercice se traite d'abord seul, puis se corrige en cliquant sur le bouton vert. Les corrections détaillent chaque étape du raisonnement.
Exercice 1
Propriétés algébriques

Écrire chacune des expressions suivantes le plus simplement possible.

  1. $A=\ln 6+\ln 2-\ln 3$
  2. $B=2\ln 3+\ln\!\left(\dfrac{1}{9}\right)$

a. On regroupe avec les propriétés du logarithme.

\[ A=\ln 6+\ln 2-\ln 3=\ln\!\left(\frac{6\times 2}{3}\right)=\ln 4=2\ln 2. \]

b. On écrit chaque terme sous forme d'un logarithme.

\[ B=2\ln 3+\ln\!\left(\frac{1}{9}\right)=\ln(3^2)+\ln\!\left(\frac{1}{9}\right)=\ln 9+\ln\!\left(\frac{1}{9}\right)=\ln\!\left(9\times\frac{1}{9}\right)=\ln 1=0. \]
Exercice 2
Équations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

  1. $e^{2x}=7$
  2. $\ln x=-1$ (avec $x>0$)

a. On applique le logarithme aux deux membres.

\[ e^{2x}=7 \iff 2x=\ln 7 \iff x=\frac{\ln 7}{2}. \]

b. On applique l'exponentielle aux deux membres.

\[ \ln x=-1 \iff x=e^{-1}=\frac{1}{e}. \]
Exercice 3
Dérivées avec ln

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

  1. $f(x)=\ln(x^2+1)$ sur $\mathbb{R}$
  2. $g(x)=x\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$

a. Forme $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2+1>0$, $u'(x)=2x$.

\[ f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}. \]

b. Formule du produit $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$.

\[ g'(x)=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x+1. \]
Exercice 4
Limites et croissances comparées

Déterminer les limites suivantes.

  1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$
  2. $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x$

a. Croissance comparée.

Le logarithme croît moins vite que $x$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$.

b. Croissance comparée en $0$.

Bien que $\ln x\to-\infty$, le facteur $x\to 0$ l'emporte : $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$.

Exercice 5
Équation avec domaine

Résoudre dans $]0\,;+\infty[$ l'équation $\ln x+\ln(x+2)=\ln 3$.

On précise le domaine.

L'équation a un sens si $x>0$ et $x+2>0$, c'est-à-dire pour $x>0$.

On regroupe puis on utilise la stricte croissance de $\ln$.

\[ \ln x+\ln(x+2)=\ln 3 \iff \ln\big(x(x+2)\big)=\ln 3 \iff x(x+2)=3 \iff x^2+2x-3=0. \]

On résout l'équation du second degré.

\[ x^2+2x-3=0 \iff (x-1)(x+3)=0 \iff x=1 \ \text{ ou } \ x=-3. \]

La valeur $x=-3$ est exclue (car $x>0$). L'unique solution est $x=1$.