On considère la suite définie pour $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.
On encadre $u_n$.
Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n=\dfrac{n}{n+1}>0$, donc $(u_n)$ est minorée par $0$.
De plus $\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}<1$, donc $(u_n)$ est majorée par $1$.
Ainsi $0
On considère la suite définie par $u_n=n^2-n$.
Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$.
Pour tout $n\geqslant 0$, $2n\geqslant 0$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.
On considère la suite définie pour $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
On calcule $u_{n+1}-u_n$.
Pour tout $n\geqslant 1$, ce quotient est strictement positif, donc $u_{n+1}-u_n>0$.
La suite $(u_n)$ est donc croissante.
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$. On admet que $(u_n)$ est croissante et que $0\leqslant u_n\leqslant 6$ pour tout $n$.
a. Théorème de convergence monotone.
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $6$. Or toute suite croissante et majorée converge : $(u_n)$ converge donc vers un réel $L$, avec $L\leqslant 6$.
b. On passe à la limite dans la relation de récurrence.
La suite $(u_n)$ converge donc vers $6$.
On considère la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+n$. On admet que la suite $(u_n)$ est croissante et non majorée.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
On applique le théorème de convergence monotone (cas non majoré).
La suite $(u_n)$ est croissante et non majorée.
Or toute suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.
Donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.