Terminale · Chapitre 9

Espace (II) — Orthogonalité et distances

Exercices corrigés — produit scalaire, orthogonalité, distance entre deux points, vecteur normal, triangle rectangle.
Ex. 1 — Produit scalaire Ex. 2 — Orthogonalité Ex. 3 — Distance entre deux points Ex. 4 — Vecteur normal à un plan Ex. 5 — Triangle rectangle
Chaque exercice se traite d'abord seul, puis se corrige en cliquant sur le bouton vert. Les corrections détaillent chaque étape du raisonnement.
Exercice 1
Produit scalaire

On donne les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}$.

Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$.

On applique l'expression analytique du produit scalaire.

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=2\times 1+(-1)\times 4+3\times(-2)=2-4-6=-8. \]
Exercice 2
Orthogonalité

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$.

Déterminer si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

On calcule le produit scalaire.

\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 2+1\times(-2)+(-2)\times 2=6-2-4=0. \]

Comme $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Exercice 3
Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, on donne $A(2\,;-1\,;3)$ et $B(4\,;1\,;2)$.

Calculer la distance $AB$.

On applique la formule de la distance.

\[ AB=\sqrt{(4-2)^2+(1-(-1))^2+(2-3)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3. \]
Exercice 4
Vecteur normal à un plan

Un plan $\mathcal{P}$ est dirigé par $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-3\\-2\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.

On vérifie l'orthogonalité de $\vec{n}$ avec les deux vecteurs directeurs.

\[ \vec{n}\cdot\vec{u}=1\times 1+(-3)\times(-1)+(-2)\times 2=1+3-4=0. \]
\[ \vec{n}\cdot\vec{v}=1\times 2+(-3)\times 0+(-2)\times 1=2+0-2=0. \]

$\vec{n}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$, qui ne sont pas colinéaires : $\vec{n}$ est donc normal au plan $\mathcal{P}$.

Exercice 5
Triangle rectangle

On donne les points $A(1\,;0\,;0)$, $B(1\,;2\,;0)$ et $C(3\,;0\,;4)$.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}. \]

On calcule leur produit scalaire.

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\times 2+2\times 0+0\times 4=0. \]

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.