On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$.
Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
On identifie la nature de la fonction.
Le numérateur $x\mapsto 2x+1$ et le dénominateur $x\mapsto x^2+1$ sont des fonctions polynômes, donc continues sur $\mathbb{R}$.
On conclut sur le quotient.
De plus $x^2+1>0$ pour tout réel $x$, donc le dénominateur ne s'annule jamais. Un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas est continu : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-1$.
Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0\,;1]$.
On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires.
$f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0\,;1]$.
On calcule les valeurs aux bornes.
Le réel $0$ est compris entre $f(0)=-1$ et $f(1)=1$.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$.
On reprend $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0\,;1]$, avec $f'(x)=3x^2+1$.
Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[0\,;1]$.
On étudie la monotonie de $f$.
Pour tout réel $x$, $f'(x)=3x^2+1>0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
$f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;1]$, et $0$ est compris entre $f(0)=-1$ et $f(1)=1$.
D'après le corollaire (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.
On reprend $f(x)=x^3+x-1$, dont l'unique solution $\alpha$ de $f(x)=0$ appartient à $[0\,;1]$.
À l'aide d'une étape de dichotomie, déterminer dans laquelle des deux moitiés de $[0\,;1]$ se trouve $\alpha$.
On calcule $f$ au milieu de l'intervalle.
Le milieu de $[0\,;1]$ est $m=0{,}5$. On calcule :
On compare les signes aux bornes.
On a $f(0{,}5)<0$ et $f(1)>0$ : ces deux valeurs sont de signes opposés.
La solution $\alpha$ appartient donc à l'intervalle $[0{,}5\,;1]$. On a ainsi divisé par $2$ la longueur de l'encadrement.
La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$.
On admet que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Déterminer la valeur de $\ell$.
On utilise la continuité de la fonction associée.
La fonction $f(x)=\sqrt{x+2}$ est continue sur $[-2\,;+\infty[$. Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, la limite $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$.
On résout l'équation $f(\ell)=\ell$.
Les solutions sont $\ell=2$ et $\ell=-1$. Or une racine carrée est positive, donc $\ell\geqslant 0$.
On conclut que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell=2$.