On lance $3$ fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
Calculer la probabilité d'obtenir, dans cet ordre, « Pile, Face, Pile ».
Les lancers sont indépendants.
À chaque lancer, $P(\text{Pile})=P(\text{Face})=\dfrac{1}{2}$. La probabilité de l'issue ordonnée est le produit :
On lance un dé équilibré à six faces. On appelle « succès » l'événement « obtenir un $6$ ». La variable $X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon.
Donner la valeur de $p$, puis calculer $P(X=0)$.
On identifie la probabilité de succès.
Une seule face donne un succès, donc $p=P(X=1)=\dfrac{1}{6}$.
On en déduit la probabilité d'échec.
On répète $6$ fois, de façon indépendante, une épreuve de succès $p=0{,}5$. On note $X$ le nombre de succès, donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(6\,;0{,}5)$.
Calculer la probabilité $P(X=3)$.
On applique la formule de la loi binomiale.
On calcule.
Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$.
Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$.
On applique les formules de la loi binomiale.
On en déduit l'écart-type.
On répète $5$ fois, de façon indépendante, une épreuve de succès $p=0{,}4$. On note $X$ le nombre de succès, donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(5\,;0{,}4)$.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès, c'est-à-dire $P(X\geqslant 1)$.
On passe par l'événement contraire.
L'événement contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », soit $X=0$.
On calcule.