Terminale · Physique-chimie · Chapitre 7

Mouvements et forces

Exercices corrigés — deuxième loi de Newton, bilan des forces, plan incliné, force centripète.

Ex. 1 — Application directe de la deuxième loi Ex. 2 — Solide sur un plan incliné Ex. 3 — Poids apparent dans un ascenseur Ex. 4 — Force centripète Ex. 5 — Déterminer une force par chronophotographie

Rappels : \(\sum \vec{F}_{\mathrm{ext}} = m\,\vec{a}_G\) dans un référentiel galiléen ; poids \(P = mg\) avec \(g = 9{,}81\) N·kg⁻¹ ; sur un plan incliné d'angle \(\alpha\), \(P_t = mg\sin\alpha\) et \(P_n = mg\cos\alpha\) ; en mouvement circulaire uniforme, \(a_G = \dfrac{v^{2}}{R}\), dirigée vers le centre.

Exercice 1

Application directe de la deuxième loi

Un palet de masse \(m = 0{,}30\) kg glisse sans frottement sur une table à coussin d'air horizontale. On lui applique une force horizontale constante \(F = 1{,}2\) N.

Faire le bilan des forces appliquées au palet.
Appliquer la deuxième loi de Newton et projeter sur un axe horizontal.
Calculer l'accélération du centre de masse.
Que devient cette accélération si la force est doublée ? si la masse est doublée ?

a. On identifie le système, le référentiel, puis les forces extérieures.

Système : le palet. Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

Trois forces : le poids \(\vec{P}\) (vertical, vers le bas), la réaction normale \(\vec{N}\) du coussin d'air (verticale, vers le haut) et la force appliquée \(\vec{F}\) (horizontale).

b. On écrit la relation vectorielle, puis on la projette.

\[ \vec{P} + \vec{N} + \vec{F} = m\,\vec{a}_G \]

La table est horizontale et le palet ne décolle pas : \(\vec{P}\) et \(\vec{N}\) se compensent, et leur projection horizontale est nulle. Sur un axe horizontal orienté dans le sens de \(\vec{F}\) :

\[ F = m\,a_G \]

c. On isole l'accélération.

\[ a_G = \frac{F}{m} = \frac{1{,}2}{0{,}30} = 4{,}0\ \text{m·s}^{-2} \]

Elle est horizontale, de même sens que \(\vec{F}\).

d. On lit la relation \(a_G = F/m\) comme une proportionnalité.

Force doublée à masse constante : \(a_G\) est doublée, soit \(8{,}0\) m·s⁻².

Masse doublée à force constante : \(a_G\) est divisée par deux, soit \(2{,}0\) m·s⁻².

💡 C'est tout le contenu physique de la deuxième loi : la masse mesure l'inertie, c'est-à-dire la résistance d'un corps à toute variation de sa vitesse.

Exercice 2

Solide sur un plan incliné

Une luge de masse \(m = 25\) kg descend une piste rectiligne inclinée d'un angle \(\alpha = 15^{\circ}\) par rapport à l'horizontale. On prend \(g = 9{,}81\) N·kg⁻¹.

En négligeant les frottements, calculer l'accélération du centre de masse et la valeur de la réaction normale.
En réalité, l'accélération mesurée vaut \(1{,}8\) m·s⁻². En déduire la valeur de la force de frottement.
Quelle inclinaison faudrait-il pour que la luge descende à vitesse constante, cette force de frottement restant la même ?
L'accélération sans frottement dépend-elle de la masse ? Commenter.

a. Bilan : poids \(\vec{P}\) et réaction normale \(\vec{N}\). On projette sur deux axes, l'un le long du plan (sens de la descente), l'autre perpendiculaire.

Le long du plan : seule la composante tangentielle du poids intervient, \(P_t = mg\sin\alpha\).

\[ mg\sin\alpha = m\,a_G \qquad\Longrightarrow\qquad a_G = g\sin\alpha = 9{,}81\times \sin 15^{\circ} = 2{,}5\ \text{m·s}^{-2} \]

Perpendiculairement : l'accélération y est nulle, donc \(N\) compense \(P_n = mg\cos\alpha\).

\[ N = mg\cos\alpha = 25\times 9{,}81\times \cos 15^{\circ} = 2{,}4\times 10^{2}\ \text{N} \]

b. On reprend la projection le long du plan, en ajoutant le frottement \(\vec{f}\), opposé au mouvement donc dirigé vers le haut de la pente.

\[ mg\sin\alpha - f = m\,a_G \qquad\Longrightarrow\qquad f = m\,(g\sin\alpha - a_G) \]

\[ f = 25\times (2{,}54 - 1{,}8) = 25\times 0{,}74 = 19\ \text{N} \]

✔ Contrôle : \(f\) est positive et inférieure à \(P_t = 25\times 2{,}54 = 64\) N, sinon la luge ne descendrait pas.

c. Vitesse constante signifie \(\vec{a}_G = \vec{0}\), donc les forces se compensent exactement.

\[ mg\sin\alpha = f \qquad\Longrightarrow\qquad \sin\alpha = \frac{f}{mg} = \frac{19}{25\times 9{,}81} = 0{,}0775 \]

\[ \alpha = \arcsin(0{,}0775) = 4{,}4^{\circ} \]

💡 C'est le cas d'équilibre : la luge glisse alors en mouvement rectiligne uniforme, ce qui ne veut pas dire immobile.

d. On regarde si \(m\) apparaît dans le résultat.

Non : \(a_G = g\sin\alpha\) ne contient pas la masse. Elle s'est simplifiée entre les deux membres, parce que le poids et l'inertie sont tous deux proportionnels à \(m\).

Sans frottement, une luge chargée et une luge vide descendent donc exactement de la même façon. 🚨 Ce n'est plus vrai avec frottement : \(a_G = g\sin\alpha - f/m\) dépend alors de la masse.

Exercice 3

Poids apparent dans un ascenseur

Une personne de masse \(m = 60\) kg est debout sur un pèse-personne dans un ascenseur. On prend \(g = 9{,}81\) N·kg⁻¹.

Que lit-on sur la balance lorsque l'ascenseur est à l'arrêt ?
L'ascenseur démarre vers le haut avec une accélération de \(1{,}5\) m·s⁻². Que lit-on alors ?
L'ascenseur monte ensuite à vitesse constante. Que lit-on ?
En phase de freinage à l'approche de l'étage, l'accélération vaut \(1{,}5\) m·s⁻² dirigée vers le bas. Que lit-on ? Quelle sensation éprouve la personne ?

a. À l'arrêt, \(\vec{a}_G = \vec{0}\) : les forces se compensent.

Deux forces s'exercent : le poids \(\vec{P}\) (vers le bas) et la réaction \(\vec{N}\) du plateau (vers le haut), qui est précisément ce qu'affiche la balance.

\[ N = P = mg = 60\times 9{,}81 = 5{,}9\times 10^{2}\ \text{N} \]

b. On projette la deuxième loi sur un axe vertical ascendant, avec \(a_G = +1{,}5\) m·s⁻².

\[ N - mg = m\,a_G \qquad\Longrightarrow\qquad N = m\,(g + a_G) \]

\[ N = 60\times (9{,}81 + 1{,}5) = 60\times 11{,}31 = 6{,}8\times 10^{2}\ \text{N} \]

La balance indique environ 15 % de plus : la personne se sent plus lourde.

c. Vitesse constante signifie accélération nulle.

\[ a_G = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad N = mg = 5{,}9\times 10^{2}\ \text{N} \]

La balance revient à l'indication du repos. 💡 On ne ressent jamais une vitesse, seulement une accélération — c'est pourquoi rien ne distingue un ascenseur qui monte régulièrement d'un ascenseur arrêté.

d. L'ascenseur monte mais ralentit : l'accélération est dirigée vers le bas, donc \(a_G = -1{,}5\) m·s⁻² sur l'axe ascendant.

\[ N = m\,(g + a_G) = 60\times (9{,}81 - 1{,}5) = 60\times 8{,}31 = 5{,}0\times 10^{2}\ \text{N} \]

La balance indique 15 % de moins : la personne se sent plus légère, avec cette sensation caractéristique de « creux à l'estomac ».

🚨 Le piège classique : croire que la sensation dépend du sens du déplacement. Elle ne dépend que du sens de \(\vec{a}_G\). Un ascenseur qui descend en accélérant et un ascenseur qui monte en freinant donnent exactement la même sensation.

Exercice 4

Force centripète

Un cycliste et son vélo, de masse totale \(m = 85\) kg, abordent un virage circulaire de rayon \(R = 25\) m à la vitesse constante \(v = 36\) km·h⁻¹.

Convertir la vitesse, puis calculer l'accélération du centre de masse. Préciser sa direction.
En déduire la valeur de la somme des forces extérieures.
Quelle force est responsable de cette résultante ?
Les pneus ne peuvent fournir au maximum qu'une force latérale de \(5{,}0\times 10^{2}\) N. À quelle vitesse maximale le cycliste peut-il aborder ce virage ?

a. Conversion, puis expression de l'accélération pour un mouvement circulaire uniforme.

\[ v = \frac{36}{3{,}6} = 10\ \text{m·s}^{-1} \]

Le mouvement est circulaire uniforme : la composante tangentielle de l'accélération est nulle (chapitre 6), il ne reste que la composante normale.

\[ a_G = \frac{v^{2}}{R} = \frac{10^{2}}{25} = 4{,}0\ \text{m·s}^{-2} \]

Elle est dirigée vers le centre du virage : elle est centripète.

b. On applique la deuxième loi de Newton.

\[ \left\| \sum \vec{F}_{\mathrm{ext}} \right\| = m\,a_G = 85\times 4{,}0 = 3{,}4\times 10^{2}\ \text{N} \]

Cette résultante est elle aussi centripète, puisqu'elle est colinéaire et de même sens que \(\vec{a}_G\).

c. On passe en revue les forces en présence.

Le poids (vertical, vers le bas) et la réaction verticale de la route se compensent : leur somme est nulle. La résultante non nulle ne peut donc provenir que des frottements latéraux des pneus sur la chaussée, dirigés vers l'intérieur du virage.

💡 Sans adhérence — sur du verglas — cette force disparaît, la résultante s'annule, et le cycliste poursuit en ligne droite : il ne « part » pas vers l'extérieur, il cesse simplement d'être dévié.

d. On impose que la force nécessaire ne dépasse pas la force disponible.

\[ m\frac{v_{\max}^{2}}{R} = F_{\max} \qquad\Longrightarrow\qquad v_{\max} = \sqrt{\frac{F_{\max}\,R}{m}} \]

\[ v_{\max} = \sqrt{\frac{5{,}0\times 10^{2}\times 25}{85}} = \sqrt{147} = 12\ \text{m·s}^{-1} = 44\ \text{km·h}^{-1} \]

🚨 La vitesse limite varie en racine carrée du rayon : un virage deux fois plus serré ne se prend pas deux fois moins vite, mais \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\) fois moins vite.

Exercice 5

Déterminer une force par chronophotographie

Un mobile autoporteur de masse \(m = 0{,}50\) kg est lancé sur une table horizontale. Le coussin d'air est coupé : le mobile est freiné par les frottements. Une chronophotographie donne les abscisses suivantes, avec \(\tau = 100\) ms.

Point	\(M_0\)	\(M_1\)	\(M_2\)	\(M_3\)	\(M_4\)
\(x\) (cm)	\(0\)	\(20{,}0\)	\(38{,}0\)	\(54{,}0\)	\(68{,}0\)

Calculer les vitesses \(v_1\), \(v_2\) et \(v_3\).
En déduire l'accélération \(a_2\) du centre de masse. Le mouvement est-il accéléré ou ralenti ?
Faire le bilan des forces et déterminer la valeur de la force de frottement.
Au bout de combien de temps, après le point \(M_2\), le mobile s'arrêterait-il si cette force restait constante ?

a. On applique la méthode des différences finies, avec les points encadrants et \(\tau = 0{,}100\) s.

\[ v_1 = \frac{x_2 - x_0}{2\tau} = \frac{38{,}0 - 0}{0{,}200} = 190\ \text{cm·s}^{-1} = 1{,}90\ \text{m·s}^{-1} \]

\[ v_2 = \frac{54{,}0 - 20{,}0}{0{,}200} = 170\ \text{cm·s}^{-1} = 1{,}70\ \text{m·s}^{-1} \]

\[ v_3 = \frac{68{,}0 - 38{,}0}{0{,}200} = 150\ \text{cm·s}^{-1} = 1{,}50\ \text{m·s}^{-1} \]

b. Même méthode, appliquée aux vitesses.

\[ a_2 = \frac{v_3 - v_1}{2\tau} = \frac{1{,}50 - 1{,}90}{0{,}200} = -2{,}0\ \text{m·s}^{-2} \]

L'accélération est négative sur l'axe du mouvement : elle est de sens opposé à \(\vec{v}\). Le mouvement est donc ralenti, ce que confirment des intervalles de plus en plus petits entre les positions.

c. Bilan puis projection sur l'axe du mouvement.

Trois forces : le poids \(\vec{P}\), la réaction normale \(\vec{N}\) de la table — qui se compensent puisque la table est horizontale — et la force de frottement \(\vec{f}\), opposée au mouvement.

\[ \vec{P} + \vec{N} + \vec{f} = m\,\vec{a}_G \qquad\text{puis, sur l'axe du mouvement :}\qquad -f = m\,a_G \]

\[ f = -m\,a_G = -0{,}50\times (-2{,}0) = 1{,}0\ \text{N} \]

✔ Le signe est cohérent : une valeur de force est toujours positive, c'est son sens qui est opposé à celui du mouvement.

d. Si \(\vec{f}\) est constante, l'accélération l'est aussi et la vitesse décroît linéairement.

\[ v(t) = v_2 + a_G\,t = 1{,}70 - 2{,}0\,t \]

\[ v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t = \frac{1{,}70}{2{,}0} = 0{,}85\ \text{s} \]

💡 Remarquez la démarche complète de ce chapitre : on part de mesures de positions, on remonte à l'accélération par la cinématique, puis à une force par la deuxième loi de Newton. C'est exactement ainsi qu'on mesure une force qu'aucun dynamomètre ne peut atteindre.