Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
a. Forme $(e^u)'=u'e^u$ avec $u(x)=3x+1$, $u'(x)=3$.
b. Forme $(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}$ avec $u(x)=2x+1$, $u'(x)=2$, $n=3$.
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sqrt{x^2+1}$.
Calculer la dérivée $h'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée.
On pose la composition.
On écrit $h=v\circ u$ avec $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=\sqrt{t}$, donc $u'(x)=2x$ et $v'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}$.
On applique $(v\circ u)'(x)=v'\big(u(x)\big)\times u'(x)$.
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-6x^2$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
On calcule la dérivée seconde.
$f'(x)=4x^3-12x$, puis $f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$.
On étudie le signe de $f''$.
$f$ est convexe sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, et concave sur $[-1\,;1]$.
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+2$.
a. Étude du signe de $f''$.
$f'(x)=3x^2-6x$, puis $f''(x)=6x-6=6(x-1)$.
$f$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$.
b. Point d'inflexion.
$f''$ s'annule en $1$ en changeant de signe : la courbe change de convexité en $x=1$. Comme $f(1)=1-3+2=0$, le point d'inflexion a pour coordonnées $A(1\,;0)$.
On considère la fonction exponentielle $f(x)=e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, et préciser si sa courbe admet un point d'inflexion.
On calcule la dérivée seconde.
$f'(x)=e^{x}$, puis $f''(x)=e^{x}$.
On étudie son signe.
Pour tout réel $x$, $e^{x}>0$, donc $f''(x)>0$ sur $\mathbb{R}$.
La fonction exponentielle est donc convexe sur $\mathbb{R}$. Comme $f''$ ne s'annule jamais, la courbe n'admet aucun point d'inflexion.