Terminale · Physique-chimie · Chapitre 6

Cinématique du point

Exercices corrigés — dérivation des équations horaires, repère de Frenet, chronophotographie.
Ex. 1 — Des équations horaires aux vecteurs Ex. 2 — Exploiter une chronophotographie Ex. 3 — Repère de Frenet Ex. 4 — Caractériser un mouvement Ex. 5 — Un mouvement circulaire non uniforme
Rappels : \(\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{OM}}{\mathrm{d}t}\) et \(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) ; dans le repère de Frenet, \(\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u_t} + \dfrac{v^{2}}{R}\,\vec{u_n}\) ; par différences finies, \(\vec{v_i} \approx \dfrac{\vec{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\tau}\).
Exercice 1
Des équations horaires aux vecteurs

Dans un repère \((O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})\), un mobile a pour équations horaires, en unités du système international :

\[ x(t) = 3{,}0\,t \qquad\qquad y(t) = -2{,}0\,t^{2} + 6{,}0\,t \]
  1. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse, puis du vecteur accélération.
  2. Calculer la vitesse du mobile à \(t = 1{,}0\) s.
  3. À quel instant le vecteur vitesse est-il horizontal ?
  4. Établir l'équation de la trajectoire et la reconnaître.

a. On dérive chaque coordonnée du vecteur position par rapport au temps.

\[ \vec{v}\begin{pmatrix} v_x = 3{,}0 \\ v_y = -4{,}0\,t + 6{,}0 \end{pmatrix} \]

Puis on dérive une seconde fois :

\[ \vec{a}\begin{pmatrix} a_x = 0 \\ a_y = -4{,}0 \end{pmatrix} \]

Le vecteur accélération est constant, vertical et dirigé vers le bas.

b. On calcule les deux coordonnées à cet instant, puis la norme.

\[ v_x = 3{,}0\ \text{m·s}^{-1} \qquad v_y = -4{,}0\times 1{,}0 + 6{,}0 = 2{,}0\ \text{m·s}^{-1} \]
\[ v = \sqrt{3{,}0^{2} + 2{,}0^{2}} = \sqrt{13} = 3{,}6\ \text{m·s}^{-1} \]

c. Le vecteur vitesse est horizontal quand sa composante verticale s'annule.

\[ v_y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -4{,}0\,t + 6{,}0 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t = 1{,}5\ \text{s} \]

💡 À cet instant, \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) sont perpendiculaires : la vitesse passe par un extremum de sa composante verticale. C'est le sommet de la trajectoire.

d. On élimine le temps entre les deux équations horaires.

\[ t = \frac{x}{3{,}0} \qquad\Longrightarrow\qquad y = -2{,}0\left(\frac{x}{3{,}0}\right)^{2} + 6{,}0\times\frac{x}{3{,}0} \]
\[ y = -\frac{2{,}0}{9{,}0}\,x^{2} + 2{,}0\,x = -0{,}22\,x^{2} + 2{,}0\,x \]

Le coefficient de \(x^{2}\) est négatif : la trajectoire est une parabole tournée vers le bas. ✔ Cohérent avec une accélération verticale descendante.

Exercice 2
Exploiter une chronophotographie

Un mobile se déplace en ligne droite. Une caméra enregistre sa position toutes les \(\tau = 50\) ms. On mesure les abscisses suivantes :

Point\(M_0\)\(M_1\)\(M_2\)\(M_3\)\(M_4\)\(M_5\)
\(x\) (cm)\(0\)\(4{,}0\)\(9{,}0\)\(15{,}0\)\(22{,}0\)\(30{,}0\)
  1. Calculer les vitesses \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\) et \(v_4\).
  2. En déduire les accélérations \(a_2\) et \(a_3\).
  3. Caractériser le mouvement.
  4. Pourquoi ne peut-on calculer ni \(v_0\) ni \(v_5\) ?

a. On utilise les positions encadrantes : \(v_i \approx \dfrac{x_{i+1} - x_{i-1}}{2\tau}\), avec \(\tau = 50\) ms \(= 0{,}050\) s.

\[ v_1 = \frac{9{,}0 - 0}{2\times 0{,}050} = 90\ \text{cm·s}^{-1} = 0{,}90\ \text{m·s}^{-1} \]
\[ v_2 = \frac{15{,}0 - 4{,}0}{0{,}100} = 110\ \text{cm·s}^{-1} = 1{,}10\ \text{m·s}^{-1} \]
\[ v_3 = \frac{22{,}0 - 9{,}0}{0{,}100} = 1{,}30\ \text{m·s}^{-1} \qquad v_4 = \frac{30{,}0 - 15{,}0}{0{,}100} = 1{,}50\ \text{m·s}^{-1} \]

⚠ Ne pas oublier de convertir les centimètres en mètres, ni le facteur 2 au dénominateur.

b. Même principe, appliqué cette fois aux vitesses.

\[ a_2 = \frac{v_3 - v_1}{2\tau} = \frac{1{,}30 - 0{,}90}{0{,}100} = 4{,}0\ \text{m·s}^{-2} \]
\[ a_3 = \frac{v_4 - v_2}{2\tau} = \frac{1{,}50 - 1{,}10}{0{,}100} = 4{,}0\ \text{m·s}^{-2} \]

c. On confronte trajectoire et accélération.

La trajectoire est une droite et l'accélération est constante, de même sens que la vitesse (qui augmente). Le mouvement est donc rectiligne uniformément accéléré.

d. On revient à la formule utilisée.

Le calcul de \(v_i\) exige les points \(M_{i-1}\) et \(M_{i+1}\). Or \(M_0\) n'a pas de prédécesseur et \(M_5\) pas de successeur : il manque une position de chaque côté. 🚨 C'est la limite structurelle de la méthode des différences finies, et une question classique en évaluation.

Exercice 3
Repère de Frenet

Une meule d'affûtage de rayon \(R = 12\) cm tourne à vitesse constante et effectue \(1500\) tours par minute. On s'intéresse à un point \(M\) situé sur son bord.

  1. Calculer la période de rotation, puis la vitesse du point \(M\).
  2. Donner les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet.
  3. Calculer la valeur de l'accélération et la comparer à \(g = 9{,}81\) m·s⁻².
  4. Le mouvement est uniforme : comment une accélération peut-elle être non nulle ?

a. On convertit la fréquence de rotation en période, puis on applique la définition de la vitesse.

\[ f = \frac{1500}{60} = 25\ \text{tours par seconde} \qquad T = \frac{1}{f} = 4{,}0\times 10^{-2}\ \text{s} \]
\[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \times 0{,}12}{4{,}0\times 10^{-2}} = 19\ \text{m·s}^{-1} \]

b. Le mouvement étant circulaire uniforme, la composante tangentielle de l'accélération est nulle.

\[ \vec{v}\begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix}_{(\vec{u_t},\,\vec{u_n})} \qquad\qquad \vec{a}\begin{pmatrix} \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0 \\[6pt] \dfrac{v^{2}}{R} \end{pmatrix}_{(\vec{u_t},\,\vec{u_n})} \]

L'accélération est donc entièrement portée par \(\vec{u_n}\) : elle est centripète.

c. On applique l'expression de la composante normale.

\[ a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{19^{2}}{0{,}12} = 3{,}0\times 10^{3}\ \text{m·s}^{-2} \]
\[ \frac{a}{g} = \frac{3{,}0\times 10^{3}}{9{,}81} = 3{,}1\times 10^{2} \]

L'accélération vaut environ 310 fois l'accélération de la pesanteur. 💡 C'est pourquoi une meule qui se fissure explose littéralement : la matière doit être maintenue par des forces énormes.

d. On revient à la définition vectorielle de l'accélération.

L'accélération mesure la variation du vecteur vitesse, pas seulement de sa norme. Ici la norme est constante, mais la direction de \(\vec{v}\) change en permanence puisque le point tourne. Cette rotation continue du vecteur vitesse est exactement ce que traduit la composante normale \(v^{2}/R\).

🚨 « Mouvement uniforme » ne signifie jamais « accélération nulle » : il faudrait pour cela que le mouvement soit rectiligne uniforme.

Exercice 4
Caractériser un mouvement

Pour chacune des situations suivantes, caractériser le mouvement du centre de masse et préciser la direction du vecteur accélération.

  1. Un train roule à \(120\) km·h⁻¹ constants sur une voie rectiligne.
  2. Une bille lâchée sans vitesse initiale tombe verticalement, sa vitesse augmentant de \(9{,}8\) m·s⁻¹ chaque seconde.
  3. Une nacelle de grande roue de rayon \(20\) m effectue un tour toutes les \(3{,}0\) minutes.
  4. Un cycliste aborde un virage en freinant.

a. Trajectoire droite, norme de la vitesse constante.

Mouvement rectiligne uniforme. Le vecteur vitesse est constant en norme et en direction, donc \(\vec{a} = \vec{0}\).

b. Trajectoire droite, vitesse qui augmente régulièrement.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré. Le vecteur accélération est constant, vertical, dirigé vers le bas, de valeur \(9{,}8\) m·s⁻².

c. Trajectoire circulaire parcourue à vitesse constante.

Mouvement circulaire uniforme. L'accélération est centripète, dirigée vers l'axe de la roue.

\[ v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi\times 20}{180} = 0{,}70\ \text{m·s}^{-1} \qquad a = \frac{v^{2}}{R} = \frac{0{,}70^{2}}{20} = 2{,}4\times 10^{-2}\ \text{m·s}^{-2} \]

Une accélération quatre cents fois plus faible que \(g\) : c'est pourquoi le passager ne ressent rien.

d. Trajectoire courbe et vitesse qui diminue : les deux composantes de Frenet sont non nulles.

Mouvement circulaire ralenti. La composante tangentielle \(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\) est négative, donc opposée à \(\vec{v}\) ; la composante normale \(\dfrac{v^{2}}{R}\) reste dirigée vers le centre.

Le vecteur accélération pointe donc « vers l'intérieur et vers l'arrière ». 💡 Règle générale : \(\vec{v}\) et \(\vec{a}\) de même sens \(\Rightarrow\) accéléré ; de sens opposés \(\Rightarrow\) ralenti ; perpendiculaires \(\Rightarrow\) la norme de la vitesse est constante.

Exercice 5
Un mouvement circulaire non uniforme

Un manège de rayon \(R = 6{,}0\) m démarre. Un enfant assis sur le bord voit la valeur de sa vitesse augmenter régulièrement selon \(v(t) = 0{,}25\,t\) (en unités SI), jusqu'à atteindre sa vitesse de croisière.

  1. Déterminer la composante tangentielle de l'accélération. Que vaut-elle à \(t = 8{,}0\) s ?
  2. Calculer la composante normale à cet instant.
  3. En déduire la valeur de l'accélération, ainsi que l'angle qu'elle fait avec la direction du centre.
  4. Que deviennent ces deux composantes une fois la vitesse de croisière atteinte ? Le mouvement est-il alors accéléré ?

a. La composante tangentielle est la dérivée de la valeur de la vitesse.

\[ a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(0{,}25\,t) = 0{,}25\ \text{m·s}^{-2} \]

Elle est constante : elle vaut \(0{,}25\) m·s⁻² à tout instant, donc aussi à \(t = 8{,}0\) s.

b. La composante normale dépend, elle, de la vitesse instantanée.

\[ v(8{,}0) = 0{,}25\times 8{,}0 = 2{,}0\ \text{m·s}^{-1} \]
\[ a_n = \frac{v^{2}}{R} = \frac{2{,}0^{2}}{6{,}0} = 0{,}67\ \text{m·s}^{-2} \]

c. Les deux composantes sont perpendiculaires : on applique le théorème de Pythagore.

\[ a = \sqrt{a_t^{2} + a_n^{2}} = \sqrt{0{,}25^{2} + 0{,}67^{2}} = \sqrt{0{,}512} = 0{,}72\ \text{m·s}^{-2} \]
\[ \tan\theta = \frac{a_t}{a_n} = \frac{0{,}25}{0{,}67} = 0{,}37 \qquad\Longrightarrow\qquad \theta = 20^{\circ} \]

Le vecteur accélération n'est donc pas centripète : il est incliné de \(20^{\circ}\) par rapport à la direction du centre, penché vers l'avant du mouvement.

d. À vitesse de croisière, la valeur de la vitesse ne varie plus.

La composante tangentielle s'annule : \(a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0\). Il ne reste que la composante normale, et le vecteur accélération redevient exactement centripète.

Le mouvement n'est plus « accéléré » au sens courant — la vitesse ne change plus en valeur — mais l'accélération reste non nulle, puisque la direction de \(\vec{v}\) continue de tourner.

💡 Ce que ressent l'enfant change de nature : au démarrage, il est plaqué vers l'arrière de son siège (composante tangentielle) ; en régime établi, il n'est plus poussé que vers l'extérieur (composante normale).

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