Dans un repère de l'espace, on donne les points $A(-1\,;2\,;0)$ et $B(3\,;-1\,;4)$.
Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
On soustrait les coordonnées de $A$ à celles de $B$.
$ABCDEFGH$ est un pavé droit, de base $ABCD$ et de face supérieure $EFGH$, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$.
Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.
On décompose le trajet de $A$ à $G$ avec la relation de Chasles.
On remplace par des vecteurs issus de $A$.
Dans le pavé, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$, donc :
On donne les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\3\\-9\end{pmatrix}$.
Déterminer si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
On cherche un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{u}$.
$-6=k\times 2 \iff k=-3$.
On vérifie sur les autres coordonnées.
$-3\times(-1)=3$ et $-3\times 3=-9$ : les trois coordonnées conviennent.
Donc $\vec{v}=-3\vec{u}$ : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
On donne $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$.
Déterminer si les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires.
On cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.
On identifie les coordonnées.
On obtient $a=2$, $b=1$, et on vérifie la troisième : $a+b=2+1=3$, ce qui convient.
Comme $\vec{w}=2\vec{u}+\vec{v}$, les trois vecteurs sont coplanaires.
$ABCDEFGH$ est un cube, de base $ABCD$ et de face supérieure $EFGH$ ($E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).
Préciser la position relative des droites $(AB)$ et $(FG)$.
On identifie les directions des deux droites.
La droite $(AB)$ a pour direction $\overrightarrow{AB}$. La droite $(FG)$ relie $F$ (au-dessus de $B$) à $G$ (au-dessus de $C$), donc $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
On compare.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles. De plus, $(AB)$ est dans le plan de base et $(FG)$ dans le plan supérieur : elles n'ont aucun point commun.
Les droites $(AB)$ et $(FG)$ sont donc non coplanaires.