Déterminer la limite de chacune des suites suivantes (pour $n\geqslant 0$).
a. On utilise la limite de $q^n$ avec $q=0{,}5$.
Comme $-1<0{,}5<1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(0{,}5)^n=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=5-0=5$.
b. On utilise la limite de $q^n$ avec $q=1{,}4$.
Comme $1{,}4>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(1{,}4)^n=+\infty$, donc par produit par $2>0$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.
Soit $a>0$. On note $P(n)$ : $\ (1+a)^n\geqslant 1+na$.
Démontrer par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 0$.
Initialisation.
Pour $n=0$ : $(1+a)^0=1$ et $1+0\times a=1$. $P(0)$ est vraie.
Hérédité.
On suppose $(1+a)^n\geqslant 1+na$. Comme $1+a>0$ :
Or $na^2\geqslant 0$, donc $(1+a)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)a$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion.
Pour tout entier $n\geqslant 0$, $(1+a)^n\geqslant 1+na$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=4$ et de raison $q=\dfrac{3}{4}$.
a. Terme général d'une suite géométrique.
b. Limite.
Comme $-1<\dfrac{3}{4}<1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n=0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=4\times 0=0$.
On pose $S_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dots+\dfrac{1}{3^n}$.
a. Somme de termes d'une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$.
b. Limite.
Comme $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n+1}\to 0$, on obtient $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac{3}{2}$.
Un capital de $1000$ € est placé à $2\,\%$ par an. On note $C_n$ le capital au bout de $n$ années, donc $C_n=1000\times(1{,}02)^n$.
Déterminer la limite de la suite $(C_n)$ et l'interpréter.
On applique la limite de $q^n$ avec $q=1{,}02$.
Comme $1{,}02>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(1{,}02)^n=+\infty$.
Par produit par $1000>0$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}C_n=+\infty$.
Le capital croît indéfiniment : placé à intérêts composés, il n'est pas majoré et tend vers $+\infty$.