Terminale · Chapitre 3

Fonctions (I) — Limites

Exercices corrigés — limites de fonctions de référence, formes indéterminées (factorisation, conjugué), asymptotes.
Ex. 1 — Fonctions de référence Ex. 2 — Polynôme — factorisation Ex. 3 — Fraction rationnelle Ex. 4 — Conjugué Ex. 5 — Asymptote verticale
Chaque exercice se traite d'abord seul, puis se corrige en cliquant sur le bouton vert. Les corrections détaillent chaque étape du raisonnement.
Exercice 1
Fonctions de référence

Déterminer les limites suivantes.

  1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3$
  2. $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x^2}$

a. Fonction puissance.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$.

b. Fonction inverse au carré.

Quand $x\to 0^{+}$, $x^2\to 0^{+}$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^2}=+\infty$.

Exercice 2
Polynôme — factorisation

Déterminer la limite de $f(x)=-2x^3+5x^2-1$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.

On factorise par le terme de plus haut degré $x^3$.

\[ f(x)=x^3\left(-2+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^3}\right). \]

En $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-2+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^3}\right)=-2$, donc par produit $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

En $-\infty$.

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ et la parenthèse tend vers $-2$, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

On retrouve la règle : un polynôme a en $\pm\infty$ la limite de son terme de plus haut degré $-2x^3$.

Exercice 3
Fraction rationnelle

Déterminer la limite de $g(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2-3}$ en $+\infty$, puis interpréter graphiquement.

Forme indéterminée $\ll\frac{\infty}{\infty}\gg$ : on factorise par $x^2$ en haut et en bas.

\[ g(x)=\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}=\frac{2+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x^2}}. \]

Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x^2}\right)=2$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{3}{x^2}\right)=1$, on obtient $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=2$.

La droite d'équation $y=2$ est donc asymptote horizontale à la courbe de $g$ en $+\infty$.

Exercice 4
Conjugué

Déterminer la limite de $h(x)=\sqrt{x^2+x}-x$ en $+\infty$.

Forme indéterminée $\ll+\infty-\infty\gg$ : on multiplie par le conjugué.

\[ h(x)=\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]

On factorise par $x$ (avec $x>0$, $\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}}$).

\[ h(x)=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}. \]

Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1$, on obtient $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Exercice 5
Asymptote verticale

On considère la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$.

  1. Déterminer les limites de $f$ en $3$ à droite et à gauche.
  2. En déduire l'asymptote verticale de la courbe de $f$.

a. Étude du signe de $x-3$ au voisinage de $3$.

En $x=3$, le numérateur vaut $2\times 3+1=7>0$.

Quand $x\to 3^{+}$, $x-3\to 0^{+}$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=+\infty$.

Quand $x\to 3^{-}$, $x-3\to 0^{-}$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=-\infty$.

b. Interprétation graphique.

Comme $f$ admet une limite infinie en $3$, la droite d'équation $x=3$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.