Terminale · Chapitre 2

Récurrence

Exercices corrigés — raisonnement par récurrence : égalités, inégalités, divisibilité, terme général d'une suite.

Ex. 1 — Somme des impairs Ex. 2 — Somme des carrés Ex. 3 — Inégalité Ex. 4 — Divisibilité Ex. 5 — Terme général d'une suite

Chaque exercice se traite d'abord seul, puis se corrige en cliquant sur le bouton vert. Les corrections détaillent chaque étape du raisonnement.

Exercice 1

Somme des impairs

On note $P(n)$ la propriété : $\ 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$.

Démontrer par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.

Initialisation.

Pour $n=1$ : à gauche $2\times 1-1=1$, à droite $1^2=1$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité.

On suppose $1+3+\dots+(2n-1)=n^2$. On ajoute $2(n+1)-1=2n+1$ :

\[ 1+3+\dots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2. \]

C'est $P(n+1)$, donc la propriété est héréditaire.

Conclusion.

D'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.

Exercice 2

Somme des carrés

On note $P(n)$ : $\ 1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Démontrer par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.

Initialisation.

Pour $n=1$ : à gauche $1^2=1$, à droite $\dfrac{1\times 2\times 3}{6}=1$. Donc $P(1)$ est vraie.

Hérédité.

On suppose $1^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. On ajoute $(n+1)^2$ :

\[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}. \]

Or $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$, donc la somme vaut $\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$, qui est bien $P(n+1)$.

Conclusion.

$P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.

Exercice 3

Inégalité

On note $P(n)$ : $\ 2^n\geqslant n+1$.

Démontrer par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 0$.

Initialisation.

Pour $n=0$ : $2^0=1$ et $0+1=1$, donc $2^0\geqslant 0+1$. $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

On suppose $2^n\geqslant n+1$. Alors :

\[ 2^{n+1}=2\times 2^n\geqslant 2(n+1)=2n+2\geqslant n+2=(n+1)+1. \]

Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion.

Pour tout entier $n\geqslant 0$, $2^n\geqslant n+1$.

Exercice 4

Divisibilité

On note $P(n)$ : $\ 4^n-1$ est divisible par $3$.

Démontrer par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 0$.

Initialisation.

Pour $n=0$ : $4^0-1=0=3\times 0$, divisible par $3$. $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

On suppose qu'il existe un entier $m$ tel que $4^n-1=3m$. Alors :

\[ 4^{n+1}-1=4\times 4^n-1=4(3m+1)-1=12m+3=3(4m+1). \]

Donc $4^{n+1}-1$ est divisible par $3$ : $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion.

Pour tout entier $n\geqslant 0$, $4^n-1$ est divisible par $3$.

Exercice 5

Terme général d'une suite

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n\geqslant 0$, $u_n=2^{n+1}-1$.

Initialisation.

Pour $n=0$ : $2^{0+1}-1=2-1=1=u_0$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité.

On suppose $u_n=2^{n+1}-1$. Alors :

\[ u_{n+1}=2u_n+1=2(2^{n+1}-1)+1=2^{n+2}-2+1=2^{n+2}-1. \]

C'est la propriété au rang $n+1$.

Conclusion.

Pour tout entier $n\geqslant 0$, $u_n=2^{n+1}-1$.