Déterminer la limite de la suite définie par $u_n=n^2+3n$.
On identifie les limites de chaque terme.
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}3n=+\infty$.
La somme de deux limites égales à $+\infty$ vaut $+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
Déterminer la limite de la suite définie par $u_n=2n^2-5n$.
On reconnaît une forme indéterminée $\ll+\infty-\infty\gg$ ; on factorise par $n^2$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac{5}{n}\right)=2$.
Par produit, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
Déterminer la limite de la suite définie par $v_n=\dfrac{3n^2-2n}{n^2+1}$.
Forme indéterminée $\ll\frac{\infty}{\infty}\gg$ : on factorise numérateur et dénominateur par $n^2$.
Comme $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{2}{n}\right)=3$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=1$, on obtient $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=3$.
On considère la suite définie par $u_n=n+(-1)^n$.
Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
On minore la suite par une suite de limite connue.
Pour tout entier $n$, $(-1)^n\geqslant -1$, donc $u_n=n+(-1)^n\geqslant n-1$.
Or $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n-1)=+\infty$.
Par comparaison, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
On considère la suite définie pour $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ à l'aide d'un encadrement.
On encadre le numérateur.
Pour tout $n$, $-1\leqslant(-1)^n\leqslant 1$, donc $1\leqslant 2+(-1)^n\leqslant 3$.
On divise par $n>0$.
Comme $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{3}{n}=0$, le théorème des gendarmes donne $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.