ABCD est un parallélogramme avec $\text{AB}=5{,}2\,\text{cm}$ et $\widehat{\text{A}} = 108^\circ$.
a. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur.
$\text{DC} = \text{AB} = 5{,}2\,\text{cm}$
b. Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.
$\widehat{\text{C}} = \widehat{\text{A}} = 108^\circ$
c. Deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut $180^\circ$).
Les diagonales [AC] et [BD] d'un quadrilatère ABCD se coupent en un point I tel que $\text{IA}=\text{IC}=3{,}6\,\text{cm}$ et $\text{IB}=\text{ID}=2{,}4\,\text{cm}$.
Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ? Justifier.
On utilise la réciproque sur les diagonales.
I est le milieu de [AC] (car $\text{IA}=\text{IC}$) et le milieu de [BD] (car $\text{IB}=\text{ID}$) : les diagonales se coupent donc en leur milieu commun. On en conclut que ABCD est un parallélogramme.
MNPQ est un quadrilatère tel que $\text{MN} = \text{QP} = 4\,\text{cm}$ et les côtés $[\text{MN}]$ et $[\text{QP}]$ sont parallèles.
Que peut-on en déduire pour MNPQ ? Justifier.
On utilise la réciproque : « deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur ».
Les côtés $[\text{MN}]$ et $[\text{QP}]$ sont parallèles et de même longueur, donc MNPQ est un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme dont les diagonales mesurent $\text{AC} = \text{BD} = 6\,\text{cm}$.
a.
ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur : c'est donc un rectangle.
b.
EFGH est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires : c'est donc un losange.
Un parallélogramme a des diagonales à la fois de même longueur et perpendiculaires.
a.
Des diagonales de même longueur donnent un rectangle ; des diagonales perpendiculaires donnent un losange. Un parallélogramme qui vérifie les deux à la fois est donc un carré (à la fois rectangle et losange).
b.
Le carré possède $4$ axes de symétrie : les deux médiatrices des côtés, et les deux diagonales.