Dans un triangle ABC, l'angle en A mesure $50^\circ$ et l'angle en B mesure $65^\circ$.
Calculer la mesure de l'angle en C.
La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$.
L'angle en C mesure $65^\circ$ (on remarque que le triangle est isocèle en C, car les angles en A et en C sont égaux).
a.
Le triangle est isocèle (deux côtés de même longueur), donc il a deux angles égaux. Si l'angle de $60^\circ$ est celui compris entre les deux côtés égaux (l'angle « au sommet »), les deux autres angles sont égaux et valent $\dfrac{180-60}{2}=60^\circ$ chacun : les trois angles valent alors $60^\circ$, donc le triangle est équilatéral.
b.
C'est un triangle rectangle isocèle.
Dans un triangle ABC, l'angle en A mesure $72^\circ$ et l'angle en B mesure $58^\circ$.
Calculer la mesure de l'angle extérieur au sommet C (formé par le prolongement du côté [AC] au-delà de C).
L'angle extérieur en C est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents (en A et en B).
L'angle extérieur en C mesure $130^\circ$. (On peut vérifier : l'angle intérieur en C vaut $180-72-58=50^\circ$, et son supplémentaire, l'angle extérieur, vaut bien $180-50=130^\circ$.)
On considère un triangle ABC. Le point O est le point de concours de ses trois médiatrices.
a.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
b.
Tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant de ses deux extrémités. O appartient à la médiatrice de [AB], donc $\text{OA}=\text{OB}$ ; O appartient aussi à la médiatrice de [BC], donc $\text{OB}=\text{OC}$. On en déduit $\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}$ : O est équidistant des trois sommets, c'est le centre du cercle passant par A, B et C.
a.
Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Une médiane passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Elles sont en général différentes (sauf dans un triangle équilatéral, où elles sont confondues).
b.
Le point de concours des hauteurs est l'orthocentre. Le point de concours des médianes est le centre de gravité.