5e · Nombres et calculs · Chapitre 4

Calcul littéral

Exercices corrigés — formules, valeur d'une expression, distributivité, tests d'égalité et équations.
Ex. 1 — Formules Ex. 2 — Valeur numérique Ex. 3 — Développer Ex. 4 — Factoriser Ex. 5 — Tester une équation
Exercice 1
Formules
  1. Écrire la formule du périmètre d'un carré de côté $c$.
  2. Écrire la formule de l'aire d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$.
  3. Simplifier l'écriture de $E = 3\times x + y\times 4$.

a.

\( P = 4\times c = 4c \)

b.

\( A = L\times \ell = L\ell \)

c. On supprime le signe $\times$ entre un nombre et une lettre.

\( E = 3x + 4y \)

Exercice 2
Valeur numérique

On donne $E = 3x+5$ et $F = 2a^2-b$.

  1. Calculer $E$ pour $x=6$.
  2. Calculer $F$ pour $a=4$ et $b=10$.

a. On remplace $x$ par $6$.

\[ E = 3\times 6+5 = 18+5=23 \]

b. La puissance se calcule avant la multiplication et la soustraction.

\[ F = 2\times 4^2 - 10 = 2\times 16-10=32-10=22 \]
Exercice 3
Développer
  1. Développer $D = 5(x-2)$.
  2. Développer $G = 8(x+7)$, puis vérifier pour $x=6$ que le résultat est le même avant et après développement.

a. On distribue le $5$ sur chaque terme de la parenthèse.

\[ D = 5\times x - 5\times 2 = 5x-10 \]

b.

\[ G = 8\times x + 8\times 7 = 8x+56 \]

Pour $x=6$ : avant développement, $8(6+7)=8\times 13=104$. Après développement, $8\times 6+56 = 48+56=104$. Les deux résultats coïncident.

Exercice 4
Factoriser
  1. Factoriser $H = 6x - 18$.
  2. En utilisant la distributivité, calculer astucieusement $15\times 98$.

a. On remarque que $18 = 6\times 3$, donc $6$ est un facteur commun.

\[ H = 6x - 6\times 3 = 6(x-3) \]

b. On écrit $98 = 100-2$.

\[ 15\times 98 = 15\times(100-2) = 1\,500 - 30 = 1\,470 \]
Exercice 5
Tester une équation

On considère l'équation $3x - 2 = 2x$.

  1. Tester si $x=2$ est solution de cette équation.
  2. Tester si $x=4$ est solution de cette équation.

a. On calcule séparément chaque membre pour $x=2$.

\[ \text{Membre de gauche : } 3\times 2 - 2 = 4 \qquad\qquad \text{Membre de droite : } 2\times 2 = 4 \]

Les deux membres sont égaux : $x=2$ est solution de l'équation.

b. On calcule séparément chaque membre pour $x=4$.

\[ \text{Membre de gauche : } 3\times 4 - 2 = 10 \qquad\qquad \text{Membre de droite : } 2\times 4 = 8 \]

$10 \neq 8$ : $x=4$ n'est pas solution de l'équation.